2018-2019版高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 三 反证法与放缩法学案 新人教A版选修4-5.docx

三　反证法与放缩法学习目标　1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.2.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式．知识点一　反证法思考　什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？答案　(1)反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾，从而说明结论是正确的．(2)矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知的定义、定理矛盾．梳理　反证法(1)反证法的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．知识点二　放缩法思考　放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？答案　①不等式的传递性；②等量加(减)不等量为不等量．梳理　放缩法(1)放缩法证明的定义证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．(2)放缩法的理论依据①不等式的传递性．②等量加(减)不等量为不等量．③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．类型一　反证法证明不等式例1　设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋，证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．证明　由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1可知，a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，则由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1；同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．反思与感悟　当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾．跟踪训练1　设0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2，求证：(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b不可能都大于1.证明　假设(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b都大于1，即(2－a)·c＞1，(2－b)·a＞1，(2－c)·b＞1，则(2－a)·c·(2－b)·a·(2－c)·b＞1，∴(2－a)(2－b)(2－c)·abc＞1. ①∵0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2，∴(2－a)·a≤2＝1，同理(2－b)·b≤1，(2－c)·c≤1，∴(2－a)·a·(2－b)·b·(2－c)·c≤1，∴(2－a)(2－b)(2－c)·abc≤1，这与①式矛盾．∴(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b不可能都大于1.例2　已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.证明　(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2，而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，矛盾，∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.反思与感悟　(1)当欲证明的结论中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法证明．(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．跟踪训练2　若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于零．证明　假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，因此假设不成立．∴a，b，c中至少有一个大于0.类型二　放缩法证明不等式例3　已知实数x，y，z不全为零，求证：＋＋＞(x＋y＋z)．证明　＝≥＝≥x＋.同理可得≥y＋，≥z＋.由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得＋＋＞＋＋＝(x＋y＋z)．反思与感悟　(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，谨慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换成较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．跟踪训练3　求证：－＜1＋＋…＋＜2－(n∈N＋且n≥2)．证明　∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)(k∈N＋且k≥2)，∴＜＜，即－＜＜－(k∈N＋且k≥2)．分别令k＝2,3，…，n，得－＜＜1－，－＜＜－，…，－＜＜－，将这些不等式相加，得－＋－＋…＋－＜＋＋…＋＜1－＋－＋…＋－，即－＜＋＋…＜1－，∴1＋－＜1＋＋＋…＋＜1＋1－，即－＜1＋＋＋…＋＜2－(n∈N＋且n≥2)成立.1．用放缩法证明不等式时，下列各式正确的是(　　)A.＞B.＜C．x2＋x＋3＞x2＋3D．|a＋1|≥|a|－1答案　D解析　对于A，x的正、负不定；对于B，m的正、负不定；对于C，x的正、负不定；对于D，由绝对值三角不等式知，D正确．2．用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为(　　)A．a，b，c全不为0B．a，b，c至少有一个为0C．a，b，c至少有一个不为0D．a，b，c至多有一个不为0答案　C3．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．答案　a≥0，b≥0，a≠b解析　由及知a≥0，b≥0，又a＋b＞a＋b，即(－)2(＋)＞0.∴a≠b，∴a≥0，b≥0，a≠b.4．已知0＜a＜3,0＜b＜3,0＜c＜3.求证：a(3－b)，b(3－c)，c(3－a)不可能都大于.证明　假设a(3－b)＞，b(3－c)＞，c(3－a)＞.因为a，b，c均为小于3的正数，所以＞，＞，＞，从而有＋＋＞. ①但是＋＋≤＋＋＝＝. ②当且仅当a＝b＝c＝时，②中取等号．显然②与①相矛盾，假设不成立，故命题得证．1．常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设常见词语至少有一个至多有一个唯一一个不是不可能全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个或两个以上是有或存在不全不都是2.放缩法证明不等式常用的技巧(1)增项或减项．(2)在分式中增大或减小分子或分母．(3)应用重要不等式放缩，如a2＋b2≥2ab，≤，ab≤2，≥(a，b，c＞0)．(4)利用函数的单调性等．一、选择题1．P＝＋＋(a，b，c均为正数)与3的大小关系为(　　)A．P≥3 B．P＝3C．P＜3 D．P＞3答案　C解析　P＝＋＋＜＋＋＝3.2．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)A．至少有一个不大于2 B．都小于2C．至少有一个不小于2 D．都大于2答案　C解析　假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6，又a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋＝＋＋≥6，与a＋b＋c＜6矛盾．所以a，b，c至少有一个不小于2.A、B、D可用特殊值法排除．故选C.3．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a2＋b2＝c2，则an＋bn与cn(n≥3，n∈N＋)的大小关系为(　　)A．an＋bn＞cn B．an＋bn＜cnC．an＋bn≥cn D．an＋bn＝cn答案　B解析　∵a2＋b2＝c2，∴2＋2＝1，∴0＜＜1,0＜＜1，∴y＝x，y＝x均为减函数．∴当n≥3时，有n＜2，n＜2，∴n＋n＜2＋2＝1，∴an＋bn＜cn.4．设x＞0，y＞0，A＝，B＝＋，则A与B的大小关系为(　　)A．A≥BB．A＝BC．A＞BD．A＜B答案　D解析　∵x＞0，y＞0，∴A＝＋＜＋＝B.5．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3答案　C解析　对于①，假设(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，这时a＝b＝c，与已知矛盾，故(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0，故①正确；对于②，假设a＞b与a＜b及a≠c都不成立，这时a＝b＝c，与已知矛盾，故a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立，故②正确；对于③，显然不正确．6．设a，b，c是正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“P·Q·R＞0”是“P，Q，R同时大于零”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　必要性显然成立．充分性：若P·Q·R＞0，则P，Q，R同时大于零或其中有两个负的，假设其中有两个负的成立，不妨设P＜0，Q＜0，R＞0，因为P＜0，Q＜0，即a＋b＜c，b＋c＜a.所以a＋b＋b＋c＜c＋a.所以b＜0，与b＞0矛盾，故假设不成立，故充分性成立．二、填空题7．若A＝＋＋…＋，则A与1的大小关系为________．答案　A＜1解析　A＝＋＋…＋＜＋＋…＋＝＝1.共210个8．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形的内角和为180°矛盾，故结论错误．②所以一个三角形不可能有两个直角．③假设△ABC有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.上述步骤的正确顺序是________．答案　③①②解析　由反证法的证明题步骤可知，正确顺序应该是③①②.9．已知a∈R＋，则，，从大到小的顺序为________．答案　＞＞解析　因为＋＞＋＝2，＋＜＋＝2，所以2＜＋＜2，所以＞＞ .10．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，满足|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|＜，那么它的反设应该是________．答案　存在x1，x2∈[0,1]且x1≠x2满足|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|，使|f(x1)－f(x2)|≥成立三、解答题11．实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，且ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数，证明　假设a，b，c，d都是非负数．由a＋b＝c＋d＝1知，a，b，c。