线性代数练习题及答案.doc

第一部分 　选择题 (共2８分)一、 单选题（本大题共１4小题，每题2分,共28分）在每题列出的四个选项中只有一种是符合题目规定的,请将其代码填在题后的括号内错选或未选均无分1.设行列式=m,=n,则行列式等于( 　 ） A. ｍ+n ﻩ ﻩﻩﻩ ﻩﻩB. -(m+n) Ｃ. n-m ﻩ D.　m-n2.设矩阵Ａ=，则A-1等于( ） Ａ. ﻩ ﻩﻩﻩ B． 　C. ﻩ ﻩ ﻩ D． 3.设矩阵A=，A*是A的随着矩阵,则A　*中位于(１，2）的元素是(　 ) A. –6ﻩ ﻩﻩ ﻩ ﻩﻩ B.　6 　C. ２ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩD.　–2４．设Ａ是方阵，如有矩阵关系式AB=AＣ，则必有（ ）　　Ａ. Ａ ＝0ﻩ ﻩ ﻩﻩ ﻩB． BC时A=0 C. A0时B=Cﻩ ﻩﻩﻩ D. ｜Ａ|０时B=C5.已知3×４矩阵A的行向量组线性无关,则秩(ＡＴ）等于( 　 ) A. 1 ﻩﻩ ﻩﻩB． ２ C. ３ ﻩﻩ ﻩﻩﻩ D.　4６.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…，βs均线性有关,则（ 　 ) 　A．有不全为0的数λ1,λ２,…,λｓ使λ1α１+λ2α2+…+λsαｓ＝0和λ1β1+λ2β２+…λsβs=0 B．有不全为０的数λ１,λ2,…,λs使λ1（α１+β1)+λ2（α2+β2)+…+λs（αs＋βｓ)=0 　C．有不全为0的数λ1,λ2，…,λs使λ1(α1-β１）＋λ2（α２-β2)+…＋λｓ（αs－βs）＝0 Ｄ.有不全为0的数λ１，λ2，…，λｓ和不全为0的数μ１，μ2，…，μs使λ１α1+λ2α2+…＋λsαs＝0和μ１β１＋μ2β2+…+μsβs＝0７.设矩阵A的秩为r，则A中(　 ） 　Ａ．所有r-1阶子式都不为０ﻩﻩﻩ B.所有ｒ-1阶子式全为0　 C．至少有一种r阶子式不等于０ ﻩ D.所有r阶子式都不为08．设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1,η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）　　A.η1＋η2是Ax=０的一种解 ﻩ Ｂ.η1+η2是Aｘ＝b的一种解 　C．η1-η2是Ax＝０的一种解ﻩﻩﻩD．2η１-η２是Ax＝b的一种解９．设n阶方阵A不可逆，则必有（ 　 ） A．秩(A)＜n ﻩ ﻩＢ.秩(Ａ)＝ｎ-1 Ｃ.A=０ ﻩ ﻩD.方程组Ａx=0只有零解10.设A是一种n(≥３)阶方阵,下列陈述中对的的是（ 　 　） Ａ.如存在数λ和向量α使Ａα=λα，则α是A的属于特性值λ的特性向量 B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=０,则λ是A的特性值　　Ｃ.A的２个不同的特性值可以有同一种特性向量 Ｄ.如λ１，λ2，λ3是A的3个互不相似的特性值，α1，α2,α3依次是A的属于λ1，λ2,λ3的特性向量,则α１，α2，α３有也许线性有关11．设λ０是矩阵Ａ的特性方程的３重根，A的属于λ0的线性无关的特性向量的个数为ｋ，则必有（ 　 ） A. k≤3 ﻩ ﻩ B. ｋ＜３　 Ｃ. k＝3 ﻩﻩﻩﻩﻩ D． k＞312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是( )　 Ａ.|A|２必为１ ﻩﻩＢ.｜Ａ|必为１ C.Ａ-1=ATﻩﻩ D.A的行（列)向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,Ｂ＝CＴAC.则（　 ) Ａ.A与B相似 B. Ａ与B不等价　 C. A与B有相似的特性值 　Ｄ. A与Ｂ合同１4.下列矩阵中是正定矩阵的为( 　） A.ﻩﻩ ﻩﻩ B. C. ﻩﻩ ﻩD.第二部分 非选择题（共７２分)二、填空题(本大题共10小题,每题2分,共20分)不写解答过程，将对的的答案写在每题的空格内。

错填或不填均无分1５. 　 　　　．１6.设A＝,B=．则A＋2B= 　 　　 　.1７.设A=(aij)3×３，|A|=２，Aiｊ表达|Ａ|中元素ａij的代数余子式（i,j＝１,2,３),则(a１１Ａ２１+a１2Ａ2２+a13Ａ23)2+(ａ21A2１+a２２A22+ａ23A23)2+(a3１A2１+a32A２2+a3３A23)2=　 　 　 ．18．设向量（2，-3，5)与向量(－4，6，a)线性有关,则a＝　　　 　 ．19.设A是3×4矩阵,其秩为3，若η１，η２为非齐次线性方程组Ａｘ＝ｂ的2个不同的解，则它的通解为　　 .20.设Ａ是m×ｎ矩阵,Ａ的秩为ｒ（

２9．设矩阵A=.求:（1）秩(A）;(2)A的列向量组的一种最大线性无关组30.设矩阵A=的所有特性值为１，1和－8．求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D.3１．试用配措施化下列二次型为原则形 　 　f(ｘ1,x2,x３)=,并写出所用的满秩线性变换四、证明题(本大题共2小题，每题5分，共10分)32.设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆,且(E-A）-1=E+Ａ+A2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一种特解,ξ1，ξ2是其导出组Ａx=0的一种基本解系.试证明(1）η1=η０+ξ１,η2=η0+ξ2均是Aｘ＝b的解; （2）η０,η1，η２线性无关答案:一、单选题（本大题共14小题，每题2分,共２8分）１.Ｄ ﻩﻩ2．Bﻩ ﻩ3.B ﻩ4.Dﻩ 5.Ｃ6.Ｄ ﻩ7．C ﻩ ８.Aﻩ 9.A ﻩﻩ10.B１１.A 12.B ﻩ13．Dﻩ １4．Ｃ二、填空题（本大题共10空，每空2分,共２0分)１5.　６16. １7.　41８． –1０１9. η1+c(η２-η1)（或η2+c(η２-η1）)，ｃ为任意常数20. n-ｒ2１． –52２．　–２23. 124. 三、计算题（本大题共7小题,每题6分，共42分)25.解(1）ＡＢT＝=.(2)｜4Ａ|＝４3｜A|＝64|Ａ|,而|A|=.因此|4A｜＝64·(-２）=-12826.解　　==27.解 　AＢ=A+2B即(A-2Ｅ)B=A，而(A-2E）-1=因此 B＝（Ａ－2E）-1A=＝2８.解一 因此α4=２α1＋α2+α3，组合系数为（2，１，1).解二 考虑α４=x1α1+x2α2＋x3α３，即 方程组有唯一解（2,１，1）T，组合系数为（２,1,1）．29.解 　对矩阵A施行初等行变换A=B.（１）秩（B)=3,因此秩（A)=秩（B）=3.（２)由于A与B的列向量组有相似的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、２、4列是Ｂ的列向量组的一种最大线性无关组,故A的第１、２、4列是A的列向量组的一种最大线性无关组。

A的第１、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是)3０．解　 A的属于特性值λ=１的2个线性无关的特性向量为ξ1=(2,-1,0）T, 　ξ２=(２，0，1)T.经正交原则化，得η１=，η2=.λ＝-８的一种特性向量为ξ3=,经单位化得η３＝所求正交矩阵为　　T＝.对角矩阵　　D=（也可取T＝.）31.解 　ｆ(ｘ1,x2，x3)=（x1+２x2-2x3）２－2ｘ２2+4x2x3-７ｘ32=(ｘ１+2x２-2x３）2－2(ｘ2-x3）2-5x32.设，　　即,因其系数矩阵C=可逆,故此线性变换满秩经此变换即得ｆ(x1,x2,x3)的原则形　　 y１2-2y22-5y32　.四、证明题（本大题共2小题，每题5分,共10分)3２.证 由于（E-A）（Ｅ+A+Ａ２）=E-A３=E,因此Ｅ－A可逆,且(Ｅ－A)-1＝　E+A+A2 .3３.证　 由假设Aη0=ｂ，Aξ1=0，Aξ2=0.(1)Ａη１=A（η0+ξ1)=Aη0+Ａξ1=b，同理Aη2= b，因此η１,η２是Ａx=b的2个解2）考虑l０η0+ｌ１η１+l2η2=0，即 （ｌ0+l1+l２）η０+ｌ1ξ1＋l2ξ2=0．则ｌ0+l1+l２=０,否则η0将是Ａx=０的解，矛盾。

因此l1ξ１＋ｌ2ξ2=０．ﻩ 又由假设，ξ1，ξ2线性无关,因此l1＝０，l2=0，从而 　l0=0　.因此η0,η1，η２线性无关。