教学课件PPT高斯定理.ppt

§1.4 高斯定理高斯定理 在介绍高斯定理之前，首先引入一个基本概念，在介绍高斯定理之前，首先引入一个基本概念，叫叫“通量通量” 通量是矢量场的共性，并且它总是和一通量是矢量场的共性，并且它总是和一个假想的面联系在一起的个假想的面联系在一起的一一 任意矢量场的通量任意矢量场的通量S中有闭合中有闭合任意矢量任意矢量场合面合面S，将它分成，将它分成许多无限多无限 小面元小面元ds，，ds很小，以致很小，以致每每 常量常量 个面元上的场矢量个面元上的场矢量可视为可视为定义面元矢量定义面元矢量 矢量矢量通通过面元面元的的通量定通量定义为 对整个整个闭合面的通量合面的通量对有限开曲面对有限开曲面 二二（电）通量（电）通量 电场中的中的场矢量是矢量是电场强强度矢量度矢量，，故故（（电）） 通量为通量为对闭曲面对闭曲面 对开曲面对开曲面 说明说明通量通量 1、、 通量通量 是是标量量，但它，但它不是点函数，不是点函数，只能只能说 某面元或某曲面的某面元或某曲面的 而而不能说某点的不能说某点的 通量2、、通量是代数量（即通量是代数量（即可正可可正可负）在场强强一定时，其正负取决于面元法向的选取。

如图：一定时，其正负取决于面元法向的选取如图：两种取法，通量等值异号两种取法，通量等值异号 时，通量为零时，通量为零 对于闭合曲面，通常规定自内对于闭合曲面，通常规定自内向外的方向为面元法线的正方向，向外的方向为面元法线的正方向，对非闭合曲面，应根据情况事先规对非闭合曲面，应根据情况事先规定好法线方向定好法线方向 三三 高斯定理高斯定理 1、定义及数学表达式（、定义及数学表达式（P18））在真空中的任何静在真空中的任何静电场中，中，场强强通通过任意任意闭合合通量等于通量等于该闭合曲面所包合曲面所包围的所有的所有电荷量的荷量的数学表达式数学表达式为 曲面的曲面的代数和除以代数和除以（（4.1）） 或或 （（4.1′））由库仑定律及场强叠加原理证明其正确性由库仑定律及场强叠加原理证明其正确性 2、证明、证明 （（1）包围点电荷）包围点电荷+q的闭合曲面为球面的闭合曲面为球面 在正点电荷在正点电荷q的电场中，以的电场中，以+q为中心，作半径为为中心，作半径为r的的球面，在球面上任取一面元球面，在球面上任取一面元, 通通过面元面元的通量的通量 r+q对整个球面有整个球面有即取不同即取不同r值的任一球面都能得出上述结果。

值的任一球面都能得出上述结果q是负是负电荷时同理可以证明，只是将电荷时同理可以证明，只是将q换为换为-q即可 与与q成正比，与球面的半径成正比，与球面的半径r无关（无关（r显任意性），显任意性），（（2）包围点电荷）包围点电荷+q的闭合曲面的闭合曲面S是任意形状是任意形状 任意形状的任意形状的闭合面合面S，其，其间有点有点电荷荷+q 以以q为球心，任一球心，任一r1为半径作一球面半径作一球面S1，，以以q为顶点顶点和和，，作任一小锥体，分别在作任一小锥体，分别在S1和和S上截出面元上截出面元其电通量分别为其电通量分别为现在又以在又以q为中心，中心，r2为半径作球面半径作球面S2，与，与锥体截出体截出，如，如图面元为面元为由由立体几何知立体几何知都非常小，故都非常小，故认为有认为有因为面元因为面元∴∴ 有相等的有相等的通量，而通量，而S面及面及S1面可用面可用许多多锥体分成这样一对对面元，锥体分成这样一对对面元，故故S面的电通量等于面的电通量等于S1面面的电通量的电通量，而，而S1面是球面，故有面是球面，故有即包围点电荷即包围点电荷q的曲面为任意曲面时，仍能得到的曲面为任意曲面时，仍能得到（（4.1）式的结果（既高斯定理仍然成立）。

式的结果（既高斯定理仍然成立）q是负电是负电荷的情况同理可以证明，只需将荷的情况同理可以证明，只需将q换为换为-q即可 （（3）点电荷）点电荷q在任意闭合曲面在任意闭合曲面S之外之外 任意任意闭合曲面合曲面S，，在在S面上面上选一一闭合曲合曲线L，把，把S分成分成S1和和S3两部分（非两部分（非闭合） 再以再以L为边线作非闭合曲面为边线作非闭合曲面S2，使，使S2分别与分别与S1和和S3组成闭组成闭合曲向并包围了合曲向并包围了q，这时，这时 （利用步骤（（利用步骤（2）的结果））的结果） S1qS2S3LS=S1+S3（正负电荷都有此结果）（正负电荷都有此结果） 根据场强叠加原理将上述结论进行推广根据场强叠加原理将上述结论进行推广 （（4）推广）推广 ①①面面S内有内有q1、、q2、、……qn个点电荷，且它们可正个点电荷，且它们可正可负可负 S1qS2S3LS=S1+S3（（4.2）） 即多个点即多个点电荷的荷的通量等于它通量等于它们单独存在独存在时的代数和的代数和通量通量②②闭合曲面闭合曲面S外有多个点电荷外有多个点电荷 ③③电荷为连续分布的任意带电体电荷为连续分布的任意带电体 把把带电体分体分为点点电荷的集合，再利用叠加原理，荷的集合，再利用叠加原理，积分，即分，即 （（4.2）式仍成立，只是这时面内净电荷量）式仍成立，只是这时面内净电荷量改成改成3、对高斯定理的、对高斯定理的说明说明 ①①高斯定理是静电场的基本定理之一，揭示了场和高斯定理是静电场的基本定理之一，揭示了场和场源的内在联系，它说明场源的内在联系，它说明静电场是有源场静电场是有源场。

②②高斯定理和库仑定律可以互相推导高斯定理和库仑定律可以互相推导，都可以作为，都可以作为静电学的基础，从这点来说，它们是等价的静电学的基础，从这点来说，它们是等价的 对于迅速变化（迅变）电磁场，库仑定律不成立，对于迅速变化（迅变）电磁场，库仑定律不成立，而高斯定理可以推广到迅速变化的电磁场，所以而高斯定理可以推广到迅速变化的电磁场，所以高斯高斯定理比库仑定律应用更广泛定理比库仑定律应用更广泛 使用上有不同的分工：使用上有不同的分工：库仑定律（及叠加原理）解库仑定律（及叠加原理）解决从电荷分布求场强的问题，高斯定理使我们能从场决从电荷分布求场强的问题，高斯定理使我们能从场强（场强作为已知的点函数）求出电荷分布强（场强作为已知的点函数）求出电荷分布③③通量中的通量中的场强强，是，是闭合曲面内外所有合曲面内外所有电荷共同荷共同激发的激发的，即是说，闭合面，即是说，闭合面S上任一点的场强，是上任一点的场强，是S内外内外所有电荷在该点产生的场强的矢量和，而高斯定理数学所有电荷在该点产生的场强的矢量和，而高斯定理数学表达式右端的电荷量，只是闭合面内的净电荷量表达式右端的电荷量，只是闭合面内的净电荷量。

若点若点电荷恰好位于荷恰好位于闭合面上，它合面上，它对这个个闭合面的合面的通量有没有通量有没有贡献呢？献呢？ A1带电体带电体SA2 当带电体与闭合面相交时，带电当带电体与闭合面相交时，带电体不能被看成点电荷实际上，闭合体不能被看成点电荷实际上，闭合面把带电体面把带电体A分成两部分分成两部分A1和和A2，根，根据高斯定理，只有位于闭合面内的那据高斯定理，只有位于闭合面内的那部分部分A2才对整个闭合面的电通量有贡才对整个闭合面的电通量有贡献 ④④总通量的三个无关通量的三个无关 总通量与通量与闭合面内合面内电荷的分布无关荷的分布无关 总通量与通量与闭合面合面S的形状、大小无关的形状、大小无关 总通量与通量与S面外的面外的电荷无关 注注意意理理解解四四 用高斯定理求场强用高斯定理求场强1、解题步骤、解题步骤（（1）分析电场的对称性）分析电场的对称性 （（2）根据电场不同的对称性，选取相应的适当的高）根据电场不同的对称性，选取相应的适当的高斯面（斯面（高斯面是闭合曲面并过场点高斯面是闭合曲面并过场点）） （（3）分）分别计算通算通过高斯面的高斯面的电通量和高斯面内的通量和高斯面内的净电荷量，根据高斯定理列出方程，求出荷量，根据高斯定理列出方程，求出场强强的大小。

的大小4）讨论）讨论2、举例、举例 例例1（（补充）充）：求均匀：求均匀带正正电的无限的无限长细棒的棒的电场分布，分布，该棒上棒上线电荷密度荷密度为 rlr高斯面高斯面POdq2dq1 解：解：细棒无限长，其上任一点都可视为中点，图中细棒无限长，其上任一点都可视为中点，图中取取O点为中点，在点为中点，在O点上下的对称位置，取任一对等点上下的对称位置，取任一对等量的电荷元：量的电荷元： 由叠加原理，由叠加原理，P点的总场强必然垂直于棒而离开棒点的总场强必然垂直于棒而离开棒 场场具具有有轴轴对对称称性性 根据场强具有轴对称性的特点，根据场强具有轴对称性的特点，选取与细棒同轴选取与细棒同轴的半径为的半径为r的封闭圆柱面为高斯面的封闭圆柱面为高斯面，设柱面高，设柱面高l，通过，通过高斯面的电通量为高斯面的电通量为 高斯面内的净电荷量为高斯面内的净电荷量为根据高斯定理列方程得根据高斯定理列方程得 无限无限长细棒外任一点棒外任一点P的的总场强强 其方向垂直于棒而离开棒其方向垂直于棒而离开棒 例例2（（书P19例例1））：：电荷以面密度荷以面密度均匀分布于一均匀分布于一个无限大平面上，求其激发的场强。

个无限大平面上，求其激发的场强 解：解：用反证法证明无限大带电平面外的场强方向用反证法证明无限大带电平面外的场强方向垂直于平面垂直于平面 PS1PS2面对称或中心对称面对称或中心对称高斯面取圆柱面、正方体或长方体的表面高斯面取圆柱面、正方体或长方体的表面根据高斯定理得根据高斯定理得  写成矢量写成矢量 为背离带电平面的单位矢为背离带电平面的单位矢 讨论讨论①①②②无限大均匀带电平面的电场中，各点的场强与场点无限大均匀带电平面的电场中，各点的场强与场点的位置无关，的位置无关，带电平面的两边各形成一个均匀电场带电平面的两边各形成一个均匀电场③③利用上述结果，得到利用上述结果，得到 a、、两个带等量同号电荷的无限大平行平面两个带等量同号电荷的无限大平行平面的场强的场强分布分布 b、、两个带等量异号电荷的无限大平行平面两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场的电场分布分布  例例3(补充充)：求无限：求无限长均匀均匀带电圆柱面的柱面的电场柱面半径半径R，，电荷面密度荷面密度 RlSPr解解：电场分布具有轴对称性：电场分布具有轴对称性 过P点作与点作与圆柱面同柱面同轴的高的高为l，，半径半径为r的封的封闭圆柱面柱面为高斯面。

高斯面 由高斯定理得由高斯定理得 令令表示表示圆柱面每柱面每单位位长度上的度上的电荷，荷，则 （和例（和例1无限长带电直线的结果一样）无限长带电直线的结果一样） 带电圆柱面内部各点场强等于零带电圆柱面内部各点场强等于零 例例4：：求均匀带电球面内外的电场求均匀带电球面内外的电场 P21例例2 q例例5：：求均匀带电球体内外的电场求均匀带电球体内外的电场 P22例例3 ①① 用高斯定理求场强的关键，在于分析电场的对用高斯定理求场强的关键，在于分析电场的对称性称性 ②②应选取适当的高斯面应选取适当的高斯面 ③③对于非对称电场，虽然不能用高斯定理求出场对于非对称电场，虽然不能用高斯定理求出场强，但定理仍然是成立的强，但定理仍然是成立的 结论结论：习题：习题：1.4.5；；1.4.8；； 1.4.9；； 1.4.10 电场分布具有球对称性电场分布具有球对称性高斯面取球面高斯面取球面。