椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题.docx
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椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题22XV（1）过椭圆_2+22=1的右焦点F（c,0）作两条互相垂直的弦AB,CD若弦AB,CDab2的中点分别为M,N,那么直线MN恒过定点（：C2,0）a2b222XV（2）过椭圆二+%=1的长轴上任意一点S（s,0）（—a 22(3)过椭圆%•匕a2=1的短轴上任意一点b2T（0,t）（—t 线11与12（均不与x轴重合）分别与椭圆交于ABCD四点线段AB,CD的中点分别是M,N，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标4，设直线AB:y=k（x—1）,联立椭圆方程3x2+4y2=12得:(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,4k21 8k24k2yM=_，—2=2，xn2 4k234k2318k2*一24k23一4k23'A_；2=24,yN=-[%-1)=^2^A33k4k3k4好3由题意，若直线BS关于x轴对称后得到直线B'S',则得到的直线ST'与ST关于y轴对称,所以若直线ST经过定点，则该定点定是直线ST'与ST的交点，该点必在x轴上设该定点坐标（t,0）,二t-xm八一为=七=*办一版冲，代入M,N坐标化简得yN一yMxN-xM4十4t=~，所以过定点弓,0）2a2bkb2k2由题意，若直线BS关于y轴对称后得到直线BS',则得到的直线ST'与ST关于x轴对称,22XV结论（一）以（XVo）为直角定点的椭圆一y=1内接直角三角形的斜边必过定点ab2,2,22za-bb-a、(-22冷，一2yabba推论1：以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在y轴上。 一，一1证明：设右顶点P（0,b）,设y=kx+b,y=—1x+bk，y=kx+b22222」222222，（ak+b）x+2abkx=0n,b222222x+ay-ab=02x〔=~T~22，，将k换成—得：x2=2所以若直线ST经过定点，则该定点一定是直线ST'与ST的交点，该点必在y轴上kx1-b)x2-为(x2b)设该定点坐标(0,t),5=Bint=4^=——-——宜——--x〔x2-xix2-x〔x2-xi.22222、k1x2xib(b—a)b(b—a入t十22(0,22)kx2-x1ba'x2x1.22ba推论2:以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在1证明：设右顶点P（a,0），设x=my+a,y=-一x+amx轴上x=my+a、b2x2+a2y2-a2b2=0(b2m2+a2)y2+2b2amy=0n,22-2bam1,曰2bamV1=l22+2，将m换成一碍：y2=/+22bmambam由题意，若直线BS关于x轴对称后得到直线B'S',则得到的直线ST'与ST关于y轴对称,所以若直线ST经过定点，则该定点一定是直线ST'与ST的交点，该点必在x轴上。 my〔a）y2-y〔（一ya）设该定点坐标（t,0）,d=七=号2一火为=mt—x〔x2—x〔y2一y1y2一y1a2k2b2ka22222,2、m1Y2Y1a(a-b)a(a-b)t=X+a=22—，所以口正点(22—,0)my2-y1abab卜面探求AABP面积的最大值:./.2222、a(a-b)99999a(a-b)x=my―代入椭圆得:(b2m2a2)y22b2a(a)ab2-4a4b4八my『v二°4a2b4[(a2b2)m24a4]ab222222ababm2a2b4(a2b2)m24a4(a2b2)2a2b2m24a2b4<4a99，当且仅当m=0时等号成立取最大值面积在m2在［0,(a2b2)22=S，心)单调递减结论2：以(Xo,yo)为直角定点的抛物线2y=2px内接直角三角形的斜边必过定点(x°+2p,-y°)x2y2结论3:以(x0,y0)为直角定点的双曲线2-2=1内接直角三角形的斜边必过定点ab2222abab(~~27~2x0,2y0)a-bb-a重庆高2018级文科二诊20(本题满分12分)22xV已知Fi(—1,0),F2(1,0)是椭圆一十二=1的左右焦点，B为椭圆的上顶点。 43(2)过点B作两条互相垂直的直线与椭圆交于S,T两点(异于点B),证明：直线ST过定点，并求该定点的坐标2)解：设S(x1,y1),T(x2,y2),直线BS:y=kx+J3,联立椭圆方程得：(4k2+3)x2+873kx=0,-83kx283日3k238,3k23k4由题意，若直线BS关于y轴对称后得到直线B'S',则得到的直线ST'与ST关于x轴对称,所以若直线ST经过定点，则该定点一定是直线ST'与ST的交点，该点必在y轴上设该定点坐标t一yi%=——为X2—Xiy〔X2-x〔y2t=X2—Xi(kx3；3)x2-x1(x2.3)kx2-xi3代入x1,x2化简得t=-万一，所以过定点3(0*重庆巴蜀中学高2已知椭圆C:：12分)2018级届月考卷九理科20（本小题满分2+'=1的左右焦点分别是F1,F2,上顶点M,右顶点为N（2,0）,AMF1F2ab的外接圆半径为21）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C交于A,B两点，若以AB为直径的圆经过点N，求AABN面积的最大值解：(I)•.•右顶点为(2,0),a=2,MFi=MF2=2,.sin—MFRM°MFi椭圆的标准方程为MF2b2'si^MFiF24—=2R=4,--b=i,b4+E4分)(□)设直线l的方程为my=x+b,A(x,yi),B(x^,y?),与椭圆联立得（m2，4）y2-2mby，b2-4=0,〜..26分)2mbb-4--yiy2=——，yiy2=—m一4m一4以AB为直径的圆经过点N,=0,••NA=(xi-2,yi),NB=(*—2,y2),•■-xix2—2(xi+x2)+4+yiy2=0,①7分)8b224b「4m-xi+x2=m(yi+y2)—2b=—2，xi*=myiy2—mb(yi+y2)+b=2m4m4代入①式得5b2+i6b+i2=0,...b=-^或b=—2(舍去)，5故直线i过定点,0L(59分)商仲「”2喝25_8'25m64|yi-y2|=222225(m4)25(m4)i0分)令h(t)=",t=m2[0,二),(t4)2228则h'(t)>0n25t+128t+112<0ntw.W,——25.•h（t）在tE[0,+8）上单调递减,Max小0)=4,12分)（一般化结论）：直线AB与椭圆2+}=1交于A,B两点，P为上顶点。 ⑴若kpA^kpB=t,则直线AB过定点；（2）若kPA+kPB=t，则直线AB过定点;证明：设直线AB方程为y=kx+m,y=kxm22222^2bxay-ab=0(b2k2a2)x22kma2xa2(m2-b2)=0，.=4a2b2(k2a2b2「m2)0,-2kma2a2(m2-b2)x1x1-~2~22，x1x^-2~2矿，kabkab(1)kPAkPA=t仁具e=t仁虹A性jWtx1x2xiX222—(k-t)x〔x2k(m-b)(x〔x?)(m-b)=0=2(k-t)2,22、a(m-b)222akbk(m「b)-2a2km222akb，•、2_(m-b)=0,,m=0时，S^AABNmax—25等式两边同时除以（m-b）,化简得:(k2-t)a2(mb)-2a2k2m(m-b)(a2k2b2)=0=OOOOOOOOOOOOOQ_22_2\22222_222_2\23akmakb-amt—abt—2akmakmbm—akb—b=0一b2a2t...nm=22b,所以直线AB过te点b-at(0,.2.2.bat22b-atb)2)kpA'kpA=t=.^^=t=2k(m—b)(x1灼^x1x2为x2x1x2.t(mb)t(mb)=k=—y=xm=2b2b2bx=-2by「tbx=(tx2b)m=ty=-b所以直线AB过定点2b（一；，—b）（2017年全国卷1理科12分）已知椭圆与+&顼，四点p（"）,P2（0,1）,如一1,如），R（1,J3）中恰有三点在椭圆ab22上。 1）求椭圆方程；j+y2=1（2）设直线l不经过点P2且与椭圆相交于A,B两点,解析：（1）略；（2）（一）当直线l斜率不存在时，设若直线P2A与直线P2B的斜率之和为-1,证明：l过定点l：x=m，A(m,yA)，B(m,—yA),kp2A此时直线l过椭圆右顶点，无两个交AgyJ,Bg,y2),联立,yA-1-yA-1-2—ckp2A=+=—=—1，得m=2,mmm点，故不满足二）当直线l斜率存在时，设l:y=kx+m（m#1）,y=kxm2c222-8km4(m-1)\x22n(1+4k)x+8kmx+4(m—1)。
