如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平分差.doc

1、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平分差，那么称这个正整数为“神秘数” ．如： ，240，1，6因此4，12，20都是“神秘数”（1）28和2 012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数） ，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方数（取正数）是神秘数吗？为什么？[解析] （1 ）28= 4×7= ；2012=4×503= 所以是神秘数；286250（2） 因此由 2k+2 和 2k 构造的神秘数是 4 的倍数．2()(4()kk（3）由（2）知神秘数可表示为 4 的倍数但一定不是 8 的倍数因为两个连续奇数为 2k+1 和 2k-1，则 ，即两个连续奇数的平方差不是神秘数．22(1)()82、我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休” ．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．例如，求 1＋2＋3＋4＋…＋n 的值，其中 n 是正整数．对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加） ，问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对 n 的奇偶性进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求 1＋2＋3＋4＋…＋n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为 1，2，3，…，n 个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子 1＋2＋3＋4＋…＋n 的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有 n 行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为 n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为 ，21）（ n即 1＋2＋3＋4＋…＋n＝ ．2）（ 2006 年中考数学创新题汇编及解析（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求 1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中 n 是正整数． （要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求 1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中 n 是正整数． （要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）[解析] （1）因为组成此平行四边形的小圆圈共有 n 行，每行有[（2n －1）＋1]个，即 2n 个，所以组成此平行四边形的小圆圈共有（n×2n）个，即 2n2 个．∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝ ＝n 2 ． 〕）—〔 （ （2）因为组成此正方形的小圆圈共有 n 行，每行有 n 个，所以共有（n×n）个， 即 n2 个．∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n 2 ． 3、图 14－1 至图 14－7 的正方形霓 虹 灯 广 告 牌 ABCD 都 是 20×20 的 等 距 网 格 （ 每 个 小 方 格的 边 长 均 为 1 个 单 位 长 ） ， 其 对 称 中 心 为 点 O．图 14-7ECB ADF GHMQNOP如图 14－1，有 一 个 边 长 为 6 个 单 位 长 的 正 方 形 EFGH 的 对 称 中 心 也 是 点 O，它以 每 秒 1 个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点 O 不动，正方形 EFGH 经过一秒由 6×6 扩大为 8×8；再经过一秒，由 8×8 扩大为 10×10；……） ，直到充满正方形 ABCD，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．另有一个边长为 6 个单位长的正方形 MNPQ 从如图 14－1 所示的位置开始，以每秒 1 个单位长的速度，沿正方形 ABCD 的内侧边缘按 A→B→C→D→A 移动（ 即 正 方 形 MNPQ 从 点 P 与 点 A 重合 位 置 开 始 ，先 向 左 平 移 ，当 点 Q 与 点 B 重 合 时 ，再 向 上 平 移 ，当 点 M 与 点 C 重 合 时 ，再 向 右 平 移 ，当 点 N与 点 D 重 合 时 ，再 向 下 平 移 ，到 达 起 始 位 置 后 仍 继 续 按 上 述 方 式 移 动 ） ．正方形 EFGH 和正方形 MNPQ 从 如 图 14－ 1 的 位 置 同 时 开 始 运动，设运动时间为 x 秒，它们的重叠部分面积为 y 个平方单位．（1）请你在图 14－2 和图 14－3 中分别画出 x 为 2 秒、18 秒时，正 方 形 EFGH 和正方形MNPQ 的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示） ，并分别写出重叠部分的面积；（2）①如图 14－4，当 1≤x ≤3.5 时，求 y 与 x 的 函数关系式；②如图 14－5，当 3.5≤x ≤7 时，求 y 与 x 的 函数关系式；③如图 14－6，当 7≤x ≤10.5 时，求 y 与 x 的 函数关系式；④如图 14－7，当 10.5≤x ≤13 时，求 y 与 x 的 函数关系式．（ 3） 对 于 正 方 形 MNPQ 在 正 方 形 ABCD 各 边 上 移 动 一 周 的 过 程 ， 请 你 根 据 重 叠 部 分 面 积 y 的 变 化情 况 ， 指 出 y 取 得 最 大 值 和 最 小 值 时 ， 相 对 应 的 x 的 取 值 情 况 ， 并 指 出 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是 多 少 ．（说明：问题（3）是额外加分题，加分幅度为 1～4 分）[解析] （1 ）相应的图形如图 2-1，2-2． 当 x=2 时 ， y=3； 当 x=18 时 ， y=18．图 14-6ECB ADF GHMQNOP图 14-2 图 14-3CB ADOCB ADO图 14-4ECB ADF GHMQNOP图 14-1ECB A(P)DF GHMQNO图 14-5ECB ADF GHMQNOP （2）①当 1≤x ≤3.5 时，如图 2-3，延 长 MN 交 AD 于 K，设 MN 与 HG 交于 S，MQ 与 FG 交于 T，则MK=6＋x，SK= TQ=7－ x， 从而 MS=MK－SK =2x－ 1，MT=MQ－TQ=6－（7－x）= x－1．∴y=MT·MS =（x － 1） （2x － 1）=2x 2－ 3x＋1． ②当 3.5≤x ≤7 时，如图 2-4，设 FG 与 MQ 交于 T，则TQ=7－x ，∴MT=MQ－TQ=6－（7－x）=x－1．∴y=MN ·MT=6（x－1）=6x－6． ③当 7≤x ≤10.5 时，如图 2-5，设 FG 与 MQ 交于 T，则TQ=x－ 7，∴MT=MQ－TQ=6－（x－7）= 13－x．∴y= MN·MT =6（13－x）=78－6x． ④当 10.5≤x ≤13 时，如图 2-6，设 MN 与 EF 交于 S，NP 交 FG 于 R，延长 NM 交 BC于 K，则 MK=14－x ，SK= RP=x－ 7，∴SM= SK－MK=2x － 21，从而 SN=MN－SM =27－ 2x，NR=NP－RP=13－x．∴y=NR ·SN=（13 － x） （27 － 2x）=2x 2－ 53x＋351． （3）对于正方形 MNPQ，①在 AB 边上移动时，当 0≤x ≤1 及 13≤x ≤14 时，y 取 得 最 小 值 0；当 x=7 时， y 取得最大值 36． ②在 BC 边上移动时，当 14≤ x≤15 及 27≤x≤28 时，y 取得最小值 0；当 x=21 时，y 取得最大值 36． ③在 CD 边上移动时，当 28≤x≤29 及 41≤x≤42 时，y 取得最小值 0；当 x=35 时，y 取得最大值 36． ④在 DA 边上移动时，当 42≤ x≤43 及 55≤x≤56 时，y 取得最小值 0；当 x=49 时，y 取得最大值 36． 图 2-4ECB ADF GHMQNOPT图 2-5ECB ADF GHMQNOPT图 2-6ECB ADF GHKQNOPRSM图 2-3ECB ADF GHMQNOPKST图 2-2ECB ADF GHMQN OP图 2-1ECB ADF GHMQ NOP4、探索在图 12—1 至图 12—3 中，已知△ABC 的面积为 a ．（1）如图 12—1，延长△ABC 的边 BC 到点 D，使 CD=BC，连结DA．若△ACD 的面积为 S1，则 S1=______（用含 a 的代数式表示） ；（2）如 图 12—2， 延 长 △ ABC 的 边 BC 到 点 D， 延 长 边 CA 到 点 E，使 CD=BC， AE=CA，连结 DE．若△DEC 的面积为 S2，则S2=__________（用含 a 的代数式表示） ；（3）在图 12—2 的基础上延长 AB 到点 F，使 BF=AB，连结 FD，FE，得到△DEF（如图 12—3） ．若阴影部分的面积为 S3，则S3=__________（用含 a 的代数式表示） ，并运用上述（2）的结论写出理由．发现像 上面那样，将 △ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得 到△DEF（如图 12—3），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的倍．应用要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC 的空地上种红花，然后将△ABC 向外扩展三次（图 12—4 已给出了前两次扩展的图案）．在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ABC）的面积是 10 平方米，请你运用上述结论求出：（1）种紫花的区域的面积；（2）种蓝花的区域的面积．[解析] 探索（1）a ； （2）2a ； （3）6a ；理由：∵CD=BC，AE =CA， BF=AB ∴由（2）得 S△ECD =2a，S △FAE =2a，S △DBF =2a，∴S 3=6a．发现 7 倍．应用 （1） （7 2－7）×10=420（平方米） ；（2） （7 3－7 2）×10=2940（平方米） ．AB C DE图 12—2图 12—1AB C D图 12—4紫AB C紫 紫紫红黄黄黄DEAB CF图 12—35、有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．图 11 是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间 x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：（1）乙队开挖到 30 米时，用了_____小时．开挖 6 小时时，甲队比乙队多挖了______米；（2）请你求出：①甲队在 0≤x≤6 的时段内，y 与 x 之间的函数关系式；②乙队在 2≤x≤6 的时段内，y 与 x 之间的函数关系式； ③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖 6 小时后，施工速度增加到 12 米/时，结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？[解析] （1 ）2；10； （2）①设甲队在 0≤x≤6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式为 y=k1x，由图可知，函数图象过点（6，60） ，∴6 k 1=60，解得 k1=10，∴y =10x.②设乙队在 2≤x≤6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式为 y =k2x+b，由图可知，函数图象过点（2，30） 、 （6，50） ，∴ 解得 230,5.kb25,0.kb∴y =5x＋20．③由题意，得 10x＞5。