2019人教版精品教学资料·高中选修数学[课时作业][A组 基础巩固]1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A．8 B.C．－1 D．－8解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.答案：C2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( )A．10 B．15C．25 D．50解析：如图，CDEF为半圆O的内接矩形，C、D为圆上的动点，连接OC，设∠COF＝α，则CF＝5sin α，OF＝5cos α，∴S矩形CDEF＝2×5cos α·5sin α＝25sin 2α(0<α<)．∴S矩形CDEF的最大值为25.答案：C3．某人要购买8件礼物，分两次购买，商家规定每次购买礼物付款金额为当次购买礼物数量的三次方，若使购买礼物付款额最省，此人每次购买礼物的数量分别为( )A．2,6 B．4,4C．3,5 D．1,7解析：设第一次购买了x件礼物，则第二次购买了8－x件，则付款额f(x)＝x3＋(8－x)3，f′(x)＝3x2－3(8－x)2＝3(16x－64)，令f′(x)＝0，得x＝4，∴当x＝4时，付款额最省．答案：B4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x，(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A．150 B．200C．250 D．300解析：由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390，由P′(x)＝－＋300＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当3000)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为( )A．0.032 B．0.024C．0.04 D．0.036解析：设存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x∈(0，0.048)．所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(00；当0.0320)，y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5，或x＝－5(舍去)．当05时，y′>0.因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．答案：59.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解析：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积，S＝2πRh＋2πR2由V＝πR2h，得h＝，则S(R)＝2πR＋2πR2＝＋2πR2，令S′(R)＝－＋4πR＝0，解得，R＝，从而h＝＝＝＝2·.即h＝2R.因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．所以当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．10．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解析：设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm3.则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(00，V(x)是增函数；当100；当d0，则另一个在抛物线上的顶点为(－x，y)，在x轴上的两个顶点分别为(－x,0)，(x,0)．设矩形的面积为S，则S＝2x(4－x2)(00；当0)，y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，当x∈(0,25)时，y′>0，当x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以当x＝25时，y取得最大值．答案：25件4．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为________．解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcos θ，l＝2rsin θ.∴S侧＝2πR·l＝2πrcos θ×2rsin θ＝4πr2sin θcos θ.∴由S′侧＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝0，得θ＝.∴当θ＝，即R＝r时，S侧最大，且S侧最大值为2πr2.答案：2πr25．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)．(1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入资金)解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(00；当20表示12点以后，t<0表示12点以前．若测得该物体在8点的温度为8 ℃，12点的温度为60 ℃，13点的温度为58 ℃，并且该物体的温度在8点和16点有相同的变化率．(1)写出该物体的温度T与时间t之间的函数表达式；(2)该物体在10点到14点这段时间内(包括10点和14点)，在何时温度最高？最高值是多少？解析：(1)根据题意，得即又∵该物体的温度在8点和16点有相同的变化率，且T′＝3at2＋2bt＋c，∴T′(－4)＝T′(4)，即48a－8b＋c＝48a＋8b＋c.∴b＝0.将b＝0代入上述方程组中，并进行化简得∴∴该物体的温度T与时间t之间的函数表达式为T＝t3－3t＋60.(2)由(1)，T′(t)＝3t。
