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浅谈解题的大方向 关传平【摘要】如果说灯塔是茫茫大海中的一抹亮光，那么解题方向就是浩瀚题海中的成功向导，方向是解题之本，是解题路上的星辰，引导我们沿着正确的道路前行所谓解题的大方向，就是从总体上化难为易、从混沌到有序、拉近条件和结论等在把握大方向的前提下，再探寻并确定具体的解题方法关键字】数学 解题G633.6A1992-7711（2020）08-157-01方向一：化难为易、化繁为简例1已知函数 ， 对任意的 都有 的图像在 图像的上方，求m的取值范围解析：因为对任意的 都有 的图像在图像的上方，所以 ，对 恒成立，即m< ex-xlnx对 恒成立，令 = ex-xlnx ，则只需求p（x）在 上的最小值即可，转化成求最值问题，最值问题是高中阶段学生非常熟悉的问题，从而实现了化难为易、化繁为简的目的这也是我们经常说的熟悉化原则，就是把不熟悉的知识和问题转化为教材上或大家熟知的知识和问题，或者转化成解题者曾经解答过的问题。

现在 处理 = ex-xlnx在的最小值，根据解析式的特点，应该想到导数法，则 = ex-lnx-1，如何判断 的符号，常规的方法是继续求导，求导 = 后在 上的值有正有負， 有增有减，仍然不易确定 的符号，会陷入复杂的运算当中现在我们另辟捷径，不等式ex≥x+1（x=0时取等号）和lnx≤x-1（x=1时取等号）是高中阶段学生需要掌握的两个重要的结论，所以在区间 上有：ex≥x+1>x>lnx+1，所以ex>lnx+1（这里是给出解题的方向，解答题使用时需要写出简单地证明），即p（x）= ex-lnx-1>0，p（x）在上单调递增，所以 p（x）>p（ ）=e - ln = e+ ln3，故得：m≤ e+ ln3.复杂问题简单化，是数学永远追求的主题，这就要求我们解题时，要朝着简化的大方向前行，才能速战速决方向二：从混沌到有序例2已知关于x的函数f（x）=4-a- （a∈R） 的定义域为D，存在区间[m，n]? D，f（x）的值域也是[m，n]，当a变化时，试求n-m的最大值。

解析：本题求n-m的最值，而[m，n]只不过是定义域的一个子区间，恰好又是值域，解析式里面又含a，很难求出结果，使问题处于混沌状态，思路不清，方向不明，怎么办？下面让我们理顺一下，弄清问题的来龙去脉，从条件入手，先研究f（x）的性质：f（x）=4-a- （a∈R）的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），a=0时显然不满足题意，则f（x）的单调性（-∞，0），（0，+∞）是在上单调递增由题意[m，n] ? D，则0?[m，n]，且m因此满足：，也即是 ，问题分析到此处，让我们关注问题解决的目标，题意中给出的是当a变化时，求n-m的最值，上面已经找到它们之间的关系，于是用a表示n-m即可，所以n-m=（m+n）2-4mn=（4-a）2-4 a2= -8a2-8a+16= -8（a+ ）+18因为-2方向三：拉近条件与结论例3已知sin（ -α）=k，则sin（ +α）+cos（ -α）的值是 .解析：本题中给出的已知角是 -α，待求的角是 +α和 -α，寻找联系，拉近条件和结论，因为 +α= π-（-α）、 -α= + （ -α），所以由誘导公式可以得到：sin（ +α）=sin[ π-（ -α）]=sin（ -α）=k，cos（ -α）=cos[ +（ -α）]=-sin（ -α）=-k，sin（ +α）+cos（-α）=k+（-k）=0.例4已知正四面体V-ABC，其内切球的球心是O，半径为3，线段PQ是球O的一条动直径（P、Q是直径的两端点），动点M是正四面体V-ABC的表面上任意一点，则MPMQ取值范围是 .解析：MPMQ=（MO+OP）（MO+OQ）=MO2+MO（OQ+OP）+OPOQ=MO2-9由于正四面体的外接球的半径与内切球的半径之比为3，这个结论我们可以证明，也要求学生需记住，方便解题，于是MO∈[3，9]，所以MO2-9∈[0，72]。

这里面关键的一步是将MP用MO+OP表示，MQ用MO+OQ表示，为什么这样表示，因为题中OP和OQ共线且反向，它们的模都是3，是已知的，其实就是用已知表示未知，从而拉近了条件和结论一桥飞架南北，天堑变通途，解题如架桥，就是在条件和结论之间架起联系的桥梁通过以上例题可以发现，解题时把握大方向至关重要有时方向一开始不太清晰，需要我们在探索和辨析中逐步明确，但无论如何，我们在踏踏实实解题的同时，不能只顾拉车，还要抬头看路，寻找正确的大方向！ -全文完-。