贵阳人文科技学院《高等数学》课件-第11章曲线积分与曲面积分.ppt

第第11章章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分贵阳人文科技学院高等数学机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束一、一、 问题的提出问题的提出二、二、 对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的概念三、三、 对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算四、四、 小结小结 思考题思考题 第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分回顾与展望回顾与展望定定积分积分二重积分二重积分三重积分三重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分数轴上的闭区间数轴上的闭区间平面闭区域平面闭区域空间闭区域空间闭区域平面曲线平面曲线空间曲线空间曲线空间曲面空间曲面一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量线密度为常量时线密度为常量时分割分割求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值取近似取近似二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念1【定义定义】2. 【存在条件存在条件】3. 【推广推广】（充分条件）（充分条件）曲线形构件的质量曲线形构件的质量积分和式积分和式被积函数被积函数积分弧段积分弧段(路径路径)弧微分弧微分【注意注意】规定规定【思考思考】(1) 若在若在 L 上上 f (x, y)1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否否! 对对弧长的曲线积分要求弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但但定积分中定积分中dx 可能为负可能为负.4. 【性质性质】由由弧长的曲线积分定义可知有如下性质弧长的曲线积分定义可知有如下性质(4)与积分路径的方向无关，即与起点、终点无关与积分路径的方向无关，即与起点、终点无关. .（补充）（补充）(5)比较性质比较性质特别地，有特别地，有三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算复习复习 平面曲线的弧长公式平面曲线的弧长公式1.直角坐标：直角坐标：弧微分（弧长元素）弧微分（弧长元素）即即弧长公式弧长公式弧长元素弧长元素其中其中3.极坐标：极坐标：2.参数方程：参数方程：弧长公式弧长公式弧长元素弧长元素弧长公式弧长公式弧长元素弧长元素【定理定理】“三代一定三代一定”法、与方向无关法、与方向无关对对弧长曲线积分的计算弧长曲线积分的计算化为定积分计算化为定积分计算【注意注意】【特殊情形特殊情形】【推广推广】为空间曲线为空间曲线“四四代代一定一定”(3)【例例1】【解解】【解解】【例例2】【解解】【解解】其中其中【例例3】【解解】为螺旋线为螺旋线“四四代代一定一定”计算曲线积计算曲线积分分 其中其中 为螺旋为螺旋的一段弧的一段弧.解解: 线线【例例4】【例例5】【解解】参数方程参数方程四、小结四、小结1.对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的概念2.对弧长曲线积分的计算对弧长曲线积分的计算3.对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用【思考题思考题】 对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗？可能为负吗？【思考题解答思考题解答】的符号永远为正，它表示弧段的长度的符号永远为正，它表示弧段的长度. .第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、问题的提出一、问题的提出二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算四、两类曲线积分之间的联系四、两类曲线积分之间的联系五、小结五、小结 思考题思考题1. 【 引例引例】 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用在在 xoy 平面内从点平面内从点 A 沿光滑曲线弧沿光滑曲线弧 L 移动到点移动到点 B, 求移求移“分割分割” “取近似取近似”“求和求和” “取极限取极限”恒力沿直线所作的功恒力沿直线所作的功解决办法解决办法:动过程中变力所作的功动过程中变力所作的功W.一、问题的提出一、问题的提出1) 1) “分割分割”.2) “取近似取近似”把把L分成分成 n 个小弧段个小弧段,有向小弧段有向小弧段近似代替近似代替, 则有则有所做的功为所做的功为F 沿沿则则用有向线段用有向线段 上任取一点上任取一点在在3) “求和求和”4) “取极限取极限”(其中其中 为为 n 个小弧段的个小弧段的 最大长度最大长度)二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念1. 【定义定义】类似地定义类似地定义2.【存在条件存在条件】（充分性）（充分性）3.【组合形式组合形式】4.【推广推广】5. 【性质性质】(2)【注意注意】 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 对坐标的曲线积分无比较性质对坐标的曲线积分无比较性质!(3)(1)三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算【定理定理】【方法方法】化为定积分计算化为定积分计算【注注】1. “二代一定二代一定”法法 ，与方向有关，与方向有关特殊情形特殊情形“三代一定三代一定”【例1】计算计算其中其中L 为沿抛物线为沿抛物线【解法解法1】 取取 x 为参数为参数, 则则【解法解法2】 取取 y 为参数为参数, 则则从点从点的一段的一段. 【例例2】计算计算其中其中 L 为为(1) 半径为半径为 a 圆心在原点的圆心在原点的 上半圆周上半圆周, 方向为逆时针方向方向为逆时针方向;(2) 从点从点 A ( a , 0 )沿沿 x 轴到点轴到点 B ( a , 0 ). 【解解】 (1) 取取L的参数方程为的参数方程为(2) 取取 L 的方程为的方程为则则则则【问题问题】被积函数相同，起点和终点也相同，但被积函数相同，起点和终点也相同，但 路路径不同积分结果不同径不同积分结果不同.【例例3】计算计算其中其中L为为(1) 抛物线抛物线 (2) 抛物线抛物线 (3) 有向折线有向折线 【解解】(1) 原式原式(2) 原式原式(3) 原式原式【问题问题】被积函数相同，起点和终点也相同，但被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同. .【例例4】【解解】化为参数方程得化为参数方程得故故【例例5】求求其中其中从从 z 轴正向往负向看为顺时针方向轴正向往负向看为顺时针方向.【解解】 取取 的参数方程的参数方程四、两类曲线积分之间的联系：四、两类曲线积分之间的联系：其中其中2.推广推广空间曲线空间曲线：可用向量表示可用向量表示有向曲线元；有向曲线元；3.向量表示法向量表示法【例例6】将将积分积分化为对弧长的积化为对弧长的积分分,【解解】其中其中L 沿上半圆周沿上半圆周【例例7】已知已知为折线为折线 ABCOA(如图如图), 计算计算【提示提示】【机动题机动题】.设曲线设曲线C为曲面为曲面与与曲面曲面从从 ox 轴正向看去为逆时针方向轴正向看去为逆时针方向,(1) 写出曲线写出曲线 C 的参数方程的参数方程 ;(2) 计算曲线积分计算曲线积分【解解】 (1)(2) 原式原式 =令令利用利用“偶倍奇零偶倍奇零”五、小结五、小结1 1对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念2 2对坐标曲线积分的计算对坐标曲线积分的计算3 3两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系思考题思考题思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定. .第三节第三节一、格林公式一、格林公式 三、平面上曲线积分与路径无关的三、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用格林公式及其应用 二、格林公式简单应用二、格林公式简单应用四、小结四、小结引言引言牛牛莱公式：莱公式：特点特点：格林公式格林公式特点特点：在在平面闭区域平面闭区域D上的二重积分可通过沿闭区域上的二重积分可通过沿闭区域D的边界曲线的边界曲线L上的曲线积分来表达上的曲线积分来表达. .两者共性两者共性（实质实质）：）：把把内部内部问题转化为问题转化为边界边界问题来处理问题来处理. .区域区域 D 分类分类单单连通区域连通区域 ( 无无“洞洞”区域区域 )多多(复复)连通区域连通区域 ( 有有“洞洞”区区域域 )域域 D 边界边界L 的的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左【定理定理1】 设区域设区域 D 是由分段光滑是由分段光滑正向曲线正向曲线 L 围成围成,则有则有( 格林公式格林公式 )函数函数在在 D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数,一、一、 格林公式格林公式【应用格林公式时应注意应用格林公式时应注意】1. .积分曲线积分曲线L必须是必须是封闭封闭曲线，取曲线，取D的正向边界的正向边界. .2. . （三条缺一不可）（三条缺一不可）3. .D可为可为单单连通域，也可为连通域，也可为复复连通域；连通域；当当D为复连通域时，为复连通域时，L包括包括D的所有正向边界的所有正向边界. .格林公式格林公式二、格林公式简单应二、格林公式简单应用用【例例1】设设 L 是分段光滑的闭曲线是分段光滑的闭曲线, 证明证明【证证】 令令则则利用格林公式利用格林公式 , 得得1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分其中其中L 为上半为上半从从 O (0, 0) 到到 A (4, 0).【解解】 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线段添加辅助线段它与它与L 所围所围圆周圆周区域为区域为D , 则则【例例2】计算计算原式原式其中其中D 是以是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域为顶点的三角形闭域 . 【解解】 令令, 则则利用格林公式利用格林公式 , 有有有多种取法有多种取法, ,则选最简单的则选最简单的2. 简化二重积分简化二重积分【例例3】 计算计算其中其中L L为一无重点且不过原点为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线的分段光滑正向闭曲线. .【解解】令令设设L所围区域为所围区域为D, ,由格林公式知由格林公式知【例例4】计算计算由于由于P,Q在在 (0,0)点无定义，不满足格林公式条件点无定义，不满足格林公式条件记记 L 和和 l 所围的区域为所围的区域为 , 在在D 内作圆周内作圆周取逆时取逆时针方向，针方向，对区域对区域应用格应用格林公式林公式 得得为了使用格林公式为了使用格林公式3. 计算平面面积计算平面面积【例例5】, 求椭圆求椭圆 的面积的面积 解：解：其参数方程为其参数方程为法法：法法：法法：三、平面上曲线积分与路径无关的等价三、平面上曲线积分与路径无关的等价条件条件GyxoBA【定理定理2】 设设D 是是单连通域单连通域 ,在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1) 沿沿D 中中任意光滑闭曲线任意光滑闭曲线 L , 有有(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分(3)(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 根据定理根据定理2 , 若在某区域内若在某区域内则则2) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求可用积分法求d u = P dx + Q dy在域在域 D 内的原函数内的原函数:及动点及动点或或则原函数为则原函数为若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可可添加辅助线添加辅助线;取定点取定点1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;【说明说明】【例例7】【解解】是某个函数的全微分是某个函数的全微分, 并求并求出这个函数出这个函数. 【解解】则则由定理由定理2 可知可知, 存在函数存在函数 u (x , y) 使使。

利用曲线积分与路径无关利用曲线积分与路径无关设设【注注】所取所取起点不同，所起点不同，所求函数的最后结果求函数的最后结果中的常数可能不同中的常数可能不同. .【例例8】验证验证【解解 】 不定积分法不定积分法(求原函数的方法求原函数的方法)由于由于故故由由(1)式得式得求导得求导得结合结合(2。