特殊函数的常微分方程课件.ppt

§9、、1 特殊函数的常微分方程特殊函数的常微分方程球坐标下拉普拉斯方程的分离变量球坐标下拉普拉斯方程的分离变量一般情况一般情况欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程轴对称情况轴对称情况勒让德方程勒让德方程柱柱坐标下拉普拉斯方程的分离变量坐标下拉普拉斯方程的分离变量一般情况一般情况亥姆霍兹方程，贝塞尔方程亥姆霍兹方程，贝塞尔方程轴对称情况轴对称情况特殊函数的常微分方程•前面应用分离变量法求解数理问题时，需要求解二阶常前面应用分离变量法求解数理问题时，需要求解二阶常微分方程的本征值问题再进一步的讨论中，如用球坐微分方程的本征值问题再进一步的讨论中，如用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程．用其他坐贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程．用其他坐标系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出标系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出现各种各样的特殊函数方程．它们大多是二阶线性变系现各种各样的特殊函数方程．它们大多是二阶线性变系数常微分方程．这向我们提出求解带初始条件的线性二数常微分方程．这向我们提出求解带初始条件的线性二阶常微分方程定解问题阶常微分方程定解问题. .不失一般性，我们讨论线性二不失一般性，我们讨论线性二阶常微分方程阶常微分方程 特殊函数的常微分方程一、球坐标系下拉普拉斯方程一、球坐标系下拉普拉斯方程 参数为：参数为： 代如拉普拉斯方程代如拉普拉斯方程: :得到球坐得到球坐标系下的方程。

系下的方程  xyz(x,y,z)(r, , ) r特殊函数的常微分方程特殊函数的常微分方程特殊函数的常微分方程方程转化为：方程转化为： 为欧拉型方程为欧拉型方程用代换法求解：设用代换法求解：设:代入方程得：代入方程得：可得：可得：其中：其中： 特殊函数的常微分方程方程的解为：方程的解为：讨论：讨论： ①①对于球对于球 内部问题内部问题②②对于球对于球 外部问题外部问题特殊函数的常微分方程特殊函数的常微分方程特殊函数的常微分方程特殊函数的常微分方程二、柱坐标系下拉普拉斯方程参数为：二、柱坐标系下拉普拉斯方程参数为： 参数为：参数为：其中：其中： 代入拉普拉斯方程代入拉普拉斯方程: :得到柱坐得到柱坐标系下的方程系下的方程  xyz(x,y,z)( ,  ,z) 特殊函数的常微分方程特殊函数的常微分方程第二次分离第二次分离变量：量： 讨论分析的值：的值：为欧拉型方程其解为：为欧拉型方程其解为：①特殊函数的常微分方程②②关于关于R R的方程作代换：设的方程作代换：设 （（x x不是直角坐标）不是直角坐标） 方程转化为：方程转化为：特殊函数的常微分方程代如代如的值：的值：为m m阶贝塞塞尔尔方程，属于特殊函数方程，可用方程，属于特殊函数方程，可用级数解法求解。

数解法求解 求得：求得：值由由边界条件确定界条件确定 ③③解为：解为：作代换：设作代换：设 （（x x不是直角坐标）不是直角坐标） 特殊函数的常微分方程 方程转化为：方程转化为：代如代如的值：的值：为为m m阶虚宗量贝塞尔方程，属于特殊函数方程，可用级阶虚宗量贝塞尔方程，属于特殊函数方程，可用级数解法求解数解法求解求得：求得： 值由由边界条件确定界条件确定 特殊函数的常微分方程三、亥姆霍兹方程：1 1、波动方程：、波动方程：设：设：代入方程得：代入方程得：解为：解为： 叫亥姆霍叫亥姆霍兹方程 特殊函数的常微分方程2 2、输运方程：、输运方程：设：设：代入方程得：代入方程得： 解为：解为：为亥姆霍兹方程为亥姆霍兹方程特殊函数的常微分方程3、球坐标系下的亥姆霍兹方程：、球坐标系下的亥姆霍兹方程：第一次分离变量：设：第一次分离变量：设：代入方程得：代入方程得：两边乘以两边乘以 得：得：特殊函数的常微分方程关于关于Y的方程为球函数方程可以分解成关于的方程为球函数方程可以分解成关于的方程，的方程， 关于关于的方程为连带勒让德方程。

的方程为连带勒让德方程叫叫阶球贝塞尔方程阶球贝塞尔方程关于关于R的方程：的方程：本征函数为本征函数为:特殊函数的常微分方程作代作代换：： 整理得：整理得：阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程4 4、柱坐标系下的亥姆霍兹方程、柱坐标系下的亥姆霍兹方程 的方程，本征函数为的方程，本征函数为叫: :•分离变量得：关于分离变量得：关于特殊函数的常微分方程关于关于Z Z的方程：的方程：亥姆霍兹方程边界条件可齐次化方程为非齐次的）亥姆霍兹方程边界条件可齐次化方程为非齐次的）齐次边界排除了齐次边界排除了的情况，的情况，特殊函数的常微分方程关于关于R R的方程的方程: : 作代换：作代换：得到：得到：为为m m阶贝塞尔方程，属于特殊函数方程，可用级数解法求解阶贝塞尔方程，属于特殊函数方程，可用级数解法求解特殊函数的常微分方程。