倍角和半角公式.doc

倍角和半角公式倍角和半角公式田云江田云江[基本要求]掌握倍、半角公式，并能熟练地正用、逆用和变用[知识要点]1、二倍角公式在 Sα+β，Cα+β，Tα+β中含 α=β 得到：S2α： sin2α=2sinαcosαC2α： cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αT2α: tg2α=说明：①在运用二倍角公式时，要注意不仅限于2α 是 α 的二倍的形式，还有如4α 是2α 的二倍，3α 是的二倍，α+β 是的二倍等②由二倍角公式可以推出如下变形公式：(1)降幂公式：sinαcosα=,sin2α=,cos2α=,如需讨论函数性质如求函数的值域、最值、单调区间，周期、画图等，一般利用降幂公式化函数为 y=Asin(ωx+φ）+B 或 Acos(ωx+φ)+B 形式，(2)升幂化积公式：1+cosα=2cos2,1-cosα=2sin2如遇开方，用此公式较方便，(3)cosα=,如求 coscos的值，求 cos20°cos40°cos60°的值等用此公式就非常简便2、三倍角公式： sin3α=3sinα-3sin3α, cos3α=4cos3α-3cosα3、半角公式：: sin=±: cos=±: tg=± ,:tg==对于半角公式，必须明确， “半角”是相对而言，不能认为才是半角如2α 是4α 的半角，α 是3α 的半角，反之，5α 分别是，的倍角，因此二倍角公式与半角公式是互逆的。

对于半角公式中根号前的双重符号，它取决于所在的象限，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负号；若 α 属于某一给定区间，则先求出的所在范围，然后根据所在范围选用符号因无“土”号和根式 ∴在化简证明中更常用4、万能公式sinα= cosα= tgα=说明：①从左到右，α 范围变小②右端周期均为2π5、合一变形①asinx+bcosx=(sinx+cosx）=(sinxcosφ+cosxsinφ)=sin(x+φ)其中φ 由sinφ=确定或由 tgφ=及点(a,b)所在象限（即角 φ 所在象限）确定cosφ=②asinx+bcosx=(sinx+cosx)=(sinxsinφ+cosxcosφ)=cos(x-φ)其中 φ由{ sinφ=确定或由 tgφ=及点(b,a)所在象限（即角 φ 所在象限）确定cosφ=[例题选讲]1、已知 α 是第三象限的角，sin4α+cos4α=,求 sni2α,cos2α,tg2α 的值解：∵(2k+1)π＜α＜2kπ+ (k∈z)∴4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π (k∈z)又∵sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α∴1-sin22α= ∴sin22α= ∴sin2α=∴cos2α=∴tg2α=2、求 sin10°sin50°sin70°的值解：sin10°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°=cos40°cos80°=cos80°==3、求函数 y=cos4x-sin4x 的最小正周期 解：y=cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x∴周期 T=π4、求值①已知 sin-cos=-,450°＜θ＜540° 求 tg的值 ②已知7cos2α+5sin2α=5 求 tgα 的值③已知= 求 cosθ 的值④已知=-5 求3cos2θ+4sin2θ 的值解①：∵sin-cos=- 两边平方∴1-2sincos= ∴sinθ=∵450°＜θ＜540° ∴cosθ=- =- ∴tg== 又112.5°＜＜135°∴tg== 又 tg＜0∴tg=②由万能公式及已知有7×+5×=5即7-7tg2α+10tgα=5+5tg2α即6tg2α-5tgα-1=0∴tgα=-或1③ctg===== (等比定理)∴tg=2∴cosθ==-④解由万能公式：3cos2θ+4sin2θ=+又==-5∴tgθ=2∴3cos2θ+sin2θ==5、若 tg2α=2tg2β+1 求证 cos2α+sin2β=0证明：∵tg2α=2tg2β+1∴1+tg2α=2(1+tg2β)∴sec2α=2sec2β ∴=∴cos2β=2cos2α∴1-cos2β=1-2cos2α∴sin2β=-cos2α∴cos2α+sin2β=0[自我检测]1、如果函数 y=sinωxcosωx 的最小正周期是4π,那么正实数 ω 的值等于（ ）A、4 B、2 C、 D、2、的值是（ ）A、sin2 B、-cos2 C、cos2 D、-cos23、已知 sin= cos=-则角 α 在第（ ）象限A、一 B、二 C、三 D、四4、若＜α＜2π 则等于（ ）A、cos B、-sin C、-cos D、sin5、化简得（ ）A、tg2α B、ctg2α C、tgα D、ctgα6、如果|cosθ|=,＜θ＜3π ，则 sin的值（ ）A、- B、 C、- D、7、X∈[，π]且 sinxcosx=-，则 tg等于（ ）A、1+ B、-1 C、1± D、-18、化简得（ ）A、ctg B、ctg(-) C、tg D、tg(-)9、已知2sinθ=1+cosθ 则 ctg的值为（ ）A、2 B、 C、或0 D、2或010、已知 sin(θ-)= 则等于（ ）A、 B、± C、 D、±[参考答案]1、D 2、D 3、C 4、C 5、B 6、C 7、A 8、B 9、D 10、B来自: 中基网>>教学参考 。