通信原理教程2.ppt

第二章第二章 信号信号2.1 信号的类型信号的类型2.1.1 2.1.1 确知信号和随机信号确知信号和随机信号确知信号和随机信号确知信号和随机信号ØØ什么是确知信号什么是确知信号什么是确知信号什么是确知信号ØØ什么是随机信号什么是随机信号什么是随机信号什么是随机信号2.1.2 2.1.2 能量信号和功率信号能量信号和功率信号能量信号和功率信号能量信号和功率信号ØØ信号的功率信号的功率信号的功率信号的功率: : 设设设设 R = 1, R = 1, 则则则则 P = VP = V2 2/R = I/R = I2 2R = VR = V2 2 = I = I2 2ØØ信号的能量：设信号的能量：设信号的能量：设信号的能量：设S S代表代表代表代表V V或或或或I I，若，若，若，若S S随时间变化，则写为随时间变化，则写为随时间变化，则写为随时间变化，则写为s(ts(t), ), 于是，信号的能量于是，信号的能量于是，信号的能量于是，信号的能量 E = E =     s s2 2(t)dt(t)dtØØ能量信号能量信号能量信号能量信号：满足：满足：满足：满足 ØØ平均功率：平均功率：平均功率：平均功率：，故能量信号的，故能量信号的，故能量信号的，故能量信号的P = 0P = 0。

ØØ 功率信号功率信号功率信号功率信号：：：：P P     0 0 的信号，即持续时间无穷的信号的信号，即持续时间无穷的信号的信号，即持续时间无穷的信号的信号，即持续时间无穷的信号ØØ能量信号的能量有限，但平均功率为能量信号的能量有限，但平均功率为能量信号的能量有限，但平均功率为能量信号的能量有限，但平均功率为0 0ØØ功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大12.2 确知信号的性质确知信号的性质2.2.12.2.1频域性质频域性质频域性质频域性质l l功率信号的频谱：设功率信号的频谱：设功率信号的频谱：设功率信号的频谱：设s(ts(t) )为周期性功率信号，为周期性功率信号，为周期性功率信号，为周期性功率信号，T T0 0为周期，则有为周期，则有为周期，则有为周期，则有式中，式中，式中，式中，   0 0 = 2= 2    / T / T0 0 = 2 = 2   f f0 0 ∵ ∵ C(jn 0)是复数，是复数，∴ ∴ C(jn 0) = |Cn|ej n式中，式中，|Cn| －－ 频率为频率为nf0的分量的振幅；的分量的振幅；  n －－ 频率为频率为nf0的分量的相位。

的分量的相位Ø信号信号s(t)的傅里叶级数表示法：的傅里叶级数表示法： 2【【例例2.1】】 试求周期性方波的频谱试求周期性方波的频谱 解：设一周期性方波的周期为解：设一周期性方波的周期为T，宽度为，宽度为 ，幅度为，幅度为V 求频谱：求频谱： 3频谱图频谱图4【【【【例例例例2.22.2】】】】试求全波整流后的正弦波的频谱试求全波整流后的正弦波的频谱试求全波整流后的正弦波的频谱试求全波整流后的正弦波的频谱解：设此信号的表示式为解：设此信号的表示式为求频谱：求频谱：信号的傅里叶级数表示式：信号的傅里叶级数表示式：1f(t)t5l l能量信号的频谱密度能量信号的频谱密度能量信号的频谱密度能量信号的频谱密度设一能量信号为设一能量信号为s(t)，则其频谱密度为：，则其频谱密度为：S( )的逆变换为原信号：的逆变换为原信号：【【例例2.3】】试求一个矩形脉冲的频谱密度试求一个矩形脉冲的频谱密度 解：设此矩形脉冲的表示式为解：设此矩形脉冲的表示式为则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：6【【【【例例例例2.42.4】】】】试求抽样函数的波形和频谱密度。

试求抽样函数的波形和频谱密度试求抽样函数的波形和频谱密度试求抽样函数的波形和频谱密度解：抽样函数的定义是解：抽样函数的定义是而而Sa(tSa(t) )的频谱密度为：的频谱密度为：和上例比较可知，和上例比较可知，Sa(tSa(t) )的波形和上例中的的波形和上例中的G( ( ) )曲线相同，曲线相同，而而Sa(tSa(t) )的频谱密度的频谱密度Sa(Sa( ) )的曲线和上例中的的曲线和上例中的g(tg(t) )波形相同波形相同例例例例2.52.5】】】】单位冲激函数及其频谱密度单位冲激函数及其频谱密度单位冲激函数及其频谱密度单位冲激函数及其频谱密度 解：单位冲激函数常简称为解：单位冲激函数常简称为 函数，其定义是：函数，其定义是：  (t)的频谱密度：的频谱密度：7ØSa(tSa(t) )及其频谱密度的曲线：及其频谱密度的曲线：Ø 函数的物理意义：函数的物理意义： 高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1 1的脉冲Ø用抽样函数用抽样函数Sa(t)表示表示 函数：函数：Sa(tSa(t) )有如下性质有如下性质当当 k k    时，振幅时，振幅   ，， 波形的零点间隔波形的零点间隔  0 0，，故有故有tttf(f)10t(t)08Ø 函数的性质函数的性质n对对f(t)的抽样：的抽样：n 函数是偶函数：函数是偶函数：n 函数是单位阶跃函数的导数：函数是单位阶跃函数的导数：Ø能量信号的频谱密度能量信号的频谱密度S(f)和功率信号的频谱和功率信号的频谱C(jn 0)的区别的区别:nS(f) －－ 连续谱；连续谱； C(jn 0) －－ 离散谱离散谱nS(f)的单位：的单位：V/Hz；； C(jn 0) 的单位：的单位：VnS(f)在一频率点上的幅度＝无穷小。

在一频率点上的幅度＝无穷小u (t) =  (t) t10图2.2.6 单位阶跃函数9【【【【例例例例2.62.6】】】】试求无限长余弦波的频谱密度试求无限长余弦波的频谱密度试求无限长余弦波的频谱密度试求无限长余弦波的频谱密度 解：设一个余弦波的表示式为解：设一个余弦波的表示式为f (t) = cos 0t，则其频谱密，则其频谱密度度F( )按式按式(2.2-10)计算，可以写为计算，可以写为参照式参照式(2.2-7)，上式可以改写为，上式可以改写为Ø引入引入 (t)，就能将频谱密度概念推广到功率信号上就能将频谱密度概念推广到功率信号上t0－00(b) 频谱密度(a) 波形10l l能量谱密度能量谱密度能量谱密度能量谱密度设一个能量信号设一个能量信号s(t)的能量为的能量为E，则其能量由下式决定：，则其能量由下式决定：若此信号的频谱密度，为若此信号的频谱密度，为S(f)，则由巴塞伐尔定理得知：，则由巴塞伐尔定理得知：上式中上式中|S(f)|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的信称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的信号能量上式可以改写为：号能量。

上式可以改写为：式中，式中，G(f)＝＝ |S(f)|2 （（J / Hz）） 为能量谱密度为能量谱密度ØG(f)的性质：因的性质：因s(t)是实函数，故是实函数，故|S(f)|2 是偶函数，是偶函数，∴∴11l l功率谱密度功率谱密度功率谱密度功率谱密度令令s(t)的截短信号为的截短信号为sT(t)，，-T/2 < t

等于信号的平均功率等于信号的平均功率等于信号的平均功率13l l互相关函数互相关函数互相关函数互相关函数ØØ能量信号的互相关函数定义：能量信号的互相关函数定义：能量信号的互相关函数定义：能量信号的互相关函数定义：ØØ功率信号的互相关函数定义：功率信号的互相关函数定义：功率信号的互相关函数定义：功率信号的互相关函数定义：ØØ性质：性质：性质：性质：n nR R1212( (   ) )只和只和只和只和     有关，和有关，和有关，和有关，和 t t 无关；无关；无关；无关；n n 证：证：证：证：令令x = t +  ，则，则 142.3 随机信号的性质随机信号的性质2.3.12.3.1 随机变量的概率分布随机变量的概率分布随机变量的概率分布随机变量的概率分布l随机变量的概念：若某种试验随机变量的概念：若某种试验A的随机结果用的随机结果用X表示，则称此表示，则称此X为一个随机变量，并设它的取值为为一个随机变量，并设它的取值为x例如，在一定时间内例如，在一定时间内交换台收到的呼叫次数是一个随机变量交换台收到的呼叫次数是一个随机变量l随机变量的分布函数：随机变量的分布函数：Ø定义：定义：FX(x) = P(X   x) Ø性质：性质： ∵ ∵ P(a < X   b) + P(X   a) = P(X   b),P(a < X   b) = P(X   b) – P(X   a)，， ∴∴ P(a < X   b) = FX(b) – FX(a) 15Ø离散随机变量的分布函数：离散随机变量的分布函数：n设设X的取值为：的取值为：x1   x2   …   xi   xn，其取值的概率分别，其取值的概率分别为为p1, p2, … , pi, … , pn，则有，则有P (X < x1) = 0,P(X   xn) = 1n n ∵∵P(X   xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + … + P(X = xi), ∴∴n性质：性质：p FX(-  ) = 0p FX(+ ) = 1p 若若x1 < x2，则有，则有: FX(x1)   FX(x2) ，，为单调增函数。

为单调增函数16Ø连续随机变量的分布函数：连续随机变量的分布函数： 当当x连续时，由定义分布函数定义连续时，由定义分布函数定义 FX(x) = P(X   x) 可知，可知， FX(x) 为一连续单调递增函数：为一连续单调递增函数：172.3.22.3.2 随机变量的概率密度随机变量的概率密度随机变量的概率密度随机变量的概率密度l连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度pX (x)ØpX (x)的定义：的定义：ØpX (x)的意义：的意义：npX (x)是是FX (x)的导数，是的导数，是FX (x)曲线的斜率曲线的斜率n能够从能够从pX (x)求出求出P(a < X   b)：：ØpX (x)的性质：的性质：n n n pX(x)   018l离散随机变量的概率密度离散随机变量的概率密度离散随机变量的分布函数可以写为：离散随机变量的分布函数可以写为：式中，式中，pi －－ x = xi 的概率的概率 u(x) －－ 单位阶跃函数单位阶跃函数将上式两端求导，得到其概率密度：将上式两端求导，得到其概率密度：Ø性质：性质：当当 x   xi 时，时，px (x) = 0，， 当当 x = xi 时，时， px (x) =  192.4 常见随机变量举例常见随机变量举例l l正态分布随机变量正态分布随机变量正态分布随机变量正态分布随机变量ØØ定义：概率密度定义：概率密度定义：概率密度定义：概率密度式中，式中，式中，式中，    > 0, a = > 0, a = 常数常数常数常数ØØ概率密度曲线：概率密度曲线：概率密度曲线：概率密度曲线：20l l均匀分布随机变量均匀分布随机变量均匀分布随机变量均匀分布随机变量ØØ定义：概率密度定义：概率密度定义：概率密度定义：概率密度式中，式中，式中，式中，a a，，，，b b为常数为常数为常数为常数ØØ概率密度曲线：概率密度曲线：概率密度曲线：概率密度曲线：bax0pA(x)21l l瑞利瑞利瑞利瑞利( (RayleighRayleigh) )分布分布分布分布随机变量随机变量随机变量随机变量 Ø定义：概率密度为定义：概率密度为式中，式中，a > 0，为常数。

为常数Ø概率密度曲线：概率密度曲线：222.5 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2.5.1 数学期望数学期望l l定义：对于连续随机变量定义：对于连续随机变量定义：对于连续随机变量定义：对于连续随机变量l l性质：性质：性质：性质：ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ 若若X和和Y互相独立，且互相独立，且E(X)和和E(Y)存在ØØ 232.5.2 方差方差l定义：定义：式中，式中，Ø方差的改写：方差的改写：证：证：Ø对于离散随机变量，对于离散随机变量，Ø对于连续随机变量，对于连续随机变量，l性质：性质：ØD( C ) = 0 ØD(X+C)=D(X)，，D(CX)=C2D(X) ØD(X+Y)=D(X)+D(Y)ØD(X1 + X2 + … + Xn)=D(X1) + D(X2) + … + D(Xn) 242.5.3 矩矩l l定义：随机变量定义：随机变量定义：随机变量定义：随机变量X X的的的的k k阶矩为阶矩为阶矩为阶矩为ØØk k阶原点矩：阶原点矩：阶原点矩：阶原点矩：a a = 0 = 0时的矩：时的矩：时的矩：时的矩：ØØk k阶中心矩：阶中心矩：阶中心矩：阶中心矩： 时的矩：时的矩：时的矩：时的矩：l l性质：性质：性质：性质：ØØ 一阶原点矩为数学期望：一阶原点矩为数学期望：一阶原点矩为数学期望：一阶原点矩为数学期望：ØØ 二阶中心矩为方差：二阶中心矩为方差：二阶中心矩为方差：二阶中心矩为方差：252.6 随机过程随机过程2.6.1 随机过程的基本概念随机过程的基本概念lX(A, t) －－ 事件事件A的全部可能的全部可能“实现实现”的总体；的总体；lX(Ai, t) －－ 事件事件A的一个实现，为确定的时间函数；的一个实现，为确定的时间函数；lX(A, tk) －－ 在给定时刻在给定时刻tk上的函数值。

上的函数值Ø简记：简记： X(A, t)  X(t) X(Ai, t)  Xi (t)l例：接收机噪声例：接收机噪声l随机过程的数字特征：随机过程的数字特征：Ø统计平均值：统计平均值：Ø方差：方差：Ø自相关函数：自相关函数：262.6.2 平稳平稳随机过程随机过程l平稳随机过程的定义：平稳随机过程的定义：统计特性与时间起点无关的随机过程统计特性与时间起点无关的随机过程又称严格平稳随机过程）（又称严格平稳随机过程）l广义平稳随机过程的定义：广义平稳随机过程的定义：平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程l广义平稳随机过程的性质：广义平稳随机过程的性质：Ø Ø Ø l严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程但是，广义严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程 272.6.3 各态历经性各态历经性l l“ “各态历经各态历经各态历经各态历经” ”的含义：的含义：的含义：的含义： 平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。

平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态l l各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值，例各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值，例各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值，例各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值，例Ø各态历经过程的统计平均值各态历经过程的统计平均值mX：：Ø各态历经过程的自相关函数各态历经过程的自相关函数RX( ):Ø一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳随一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳随机过程但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经机过程但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经性 28l稳态通信系统的各态历经性：稳态通信系统的各态历经性： 假设信号和噪声都是各态历经的假设信号和噪声都是各态历经的Ø一阶原点矩一阶原点矩mX = E[X(t)] －－ 是信号的直流分量；是信号的直流分量；ØØ一一一一阶原点矩的平方阶原点矩的平方mX 2 －－ 是信号直流分量的归一化功率；是信号直流分量的归一化功率；Ø二阶原点矩二阶原点矩E [X 2( t )] －－ 是信号归一化平均功率；是信号归一化平均功率；Ø二阶原点矩的平方根二阶原点矩的平方根{E [X 2(t)]}1/2 －－ 是信号电流或电压是信号电流或电压的的均方根值（有效值）；均方根值（有效值）；Ø二阶中心矩二阶中心矩 X2 －－ 是信号交流分量的归一化平均功率是信号交流分量的归一化平均功率;Ø若若mX = mX 2 = 0，则，则 X2 = E [X 2( t )] ；；Ø标准偏离标准偏离 X －－ 是信号交流分量的均方根值；是信号交流分量的均方根值； Ø若若mX = 0，则，则 X就是信号的均方根值就是信号的均方根值 。

292.6.4 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度l l自相关函数的性质自相关函数的性质自相关函数的性质自相关函数的性质ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ l功率频谱密度的性质功率频谱密度的性质 Ø复习：确知信号的功率谱密度：复习：确知信号的功率谱密度：Ø类似地，平稳随机过程的功率谱密度为：类似地，平稳随机过程的功率谱密度为：n平均功率：平均功率：30l l自相关函数和功率谱密度的关系自相关函数和功率谱密度的关系自相关函数和功率谱密度的关系自相关函数和功率谱密度的关系由由由由式中，式中，式中，式中， 令令令令  =t – t’，，k =t + t’，则上式可以化简成，则上式可以化简成 于是有于是有31上式表明，上式表明，PX(f )和和R(  )是一对傅里叶变换：是一对傅里叶变换：lPX(f )的性质：的性质：ØPX(f )   0, 并且并且PX(f )是实函数是实函数ØØ PX(f ) ＝＝PX(-f )，即，即PX(f )是偶函数是偶函数 【【例例2.7】】设有一个二进制数字信号设有一个二进制数字信号x(t)，，如图所示，其振幅如图所示，其振幅为为+a或或-a；在时间；在时间 T 内其符号改变的次数内其符号改变的次数k服从泊松分布服从泊松分布 式中，式中， 是单位时间内振幅的是单位时间内振幅的符号改变的平均次数。

符号改变的平均次数试求其相关函数试求其相关函数R( )和功率谱密度和功率谱密度P(f)a-ax(t)tt0t-32解：解：由图可以看出，乘积由图可以看出，乘积x(t)x(t- )只有两种可能取值：只有两种可能取值：a2, 或或 -a2因此，式因此，式 可以化简为：可以化简为： R( ) = a2   [a2出现的概率出现的概率] + (-a2)   [(-a2)出现的概率出现的概率]式中，式中，“出现的概率出现的概率”可以按上述泊松分布可以按上述泊松分布 P(k)计算若在若在   秒内秒内x(t)的符号有偶数次变化，则出现的符号有偶数次变化，则出现 + a2;若在若在   秒内秒内x(t)的符号有奇数次变化，则出现的符号有奇数次变化，则出现 - a2因此，因此，用用   代替泊松分布式中的代替泊松分布式中的T，得到，得到33由于在泊松分布中由于在泊松分布中   是时间间隔，所以它应该是非负是时间间隔，所以它应该是非负数所以，在上式中当数所以，在上式中当 取负值时，上式应当改写成取负值时，上式应当改写成 将上两式合并，最后得到：将上两式合并，最后得到：其功率谱密度其功率谱密度P( f )可以由其自相关函数可以由其自相关函数R( )的傅里的傅里叶叶变换求出：变换求出： P( f )和和R( )的曲线：的曲线：34【【例例2.8】】设一随机过程的功率谱密度设一随机过程的功率谱密度P( f )如图所示。

试求如图所示试求其自相关函数其自相关函数R( )解：解：∵∵功率谱密度功率谱密度P( f )已知，已知，∴∴ 式中，式中，式中，式中，Ø自相关函数曲线：自相关函数曲线：35【【例例2.9】】试求白噪声的自相关函数和功率谱密度试求白噪声的自相关函数和功率谱密度 解：解：白噪声是指具有均匀功率谱白噪声是指具有均匀功率谱密度密度Pn( f )的噪声，即的噪声，即Pn( f ) ＝＝ n0/2式中，式中，n0为单边功率谱密度（为单边功率谱密度（W/Hz）） 白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得: 由由上上式式看看出出，，白白噪噪声声的的任任何何两两个个相相邻邻时时间间（（即即    0时时））的的抽抽样值都是不相关的样值都是不相关的 白噪声的平均功率白噪声的平均功率 : 上式表明，白噪声的平均功率为无穷大上式表明，白噪声的平均功率为无穷大 Pn(f)n0/20fRn()n0/2036l带限白噪声的功率谱密度和自相关函数带限白噪声的功率谱密度和自相关函数Ø带限白噪声：带宽受到限制的白噪声带限白噪声：带宽受到限制的白噪声Ø带限白噪声的功率谱密度：带限白噪声的功率谱密度：设白噪声的频带限制在设白噪声的频带限制在(-fH, fH)之间，则有之间，则有 Pn(f) = n0 / 2,-fH < f < fH= 0,其他处其他处其自相关函数为：其自相关函数为：Ø曲线：曲线：n0/2Pn(f)0f-fHfHRn()01/2fH-1/2fH372.7 高斯过程（正态随机过程）高斯过程（正态随机过程）l l定义：定义：定义：定义：Ø一维高斯过程的概率密度：一维高斯过程的概率密度：式中，式中，a = E[X(t)] 为均值为均值  2 = E[X(t) - a]2 为方差为方差   为标准偏差为标准偏差Ø∵∵高斯过程是平稳过程，故高斯过程是平稳过程，故其概率密度其概率密度pX (x, t1)与与t1无关，无关，即，即， pX (x, t1) ＝＝ pX (x)ØpX (x)的曲线：的曲线：38Ø高斯过程的严格定义：任意高斯过程的严格定义：任意n维联合概率密度满足：维联合概率密度满足：式中，式中，ak为为xk的数学期望（统计平均值）；的数学期望（统计平均值）；  k为为xk的标准偏差；的标准偏差； |B|为归一化协方差矩阵的行列式，即为归一化协方差矩阵的行列式，即|B|jk为行列式为行列式|B|中元素中元素bjk的代数余因子；的代数余因子； bjk为归一化协方差函数，即为归一化协方差函数，即39l ln n维高斯过程的性质维高斯过程的性质维高斯过程的性质维高斯过程的性质ØpX (x1, x2, … , xn; t1, t2, … , tn)仅由各个随机变量的数学仅由各个随机变量的数学期望期望ai、标准偏差、标准偏差 i和归一化协方差和归一化协方差bjk决定，因此它是一个决定，因此它是一个广义平稳随机过程广义平稳随机过程 。

Ø若若x1, x2, … , xn等两两之间互不相关等两两之间互不相关 ，则有当，则有当 j   k 时，时，bjk = 0这时，即，此即，此n维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积Ø若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者互不相互不相关关；若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率；若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率密度之积，则称为两者密度之积，则称为两者互相独立互相独立互不相关的两个随机变互不相关的两个随机变量不一定互相独立互相独立的两个随机变量则一定互不量不一定互相独立互相独立的两个随机变量则一定互不相关Ø高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立 40l正态概率密度的性质正态概率密度的性质Øp(x)对称于直线对称于直线 x = a，即有：，即有：Øp(x)在区间在区间(- , a)内单调上升，在区间内单调上升，在区间(a,  )内单调下降，内单调下降，并且在点并且在点a处达到其极大值处达到其极大值 当当x  -  或或 x  +  时，时，p(x)  0。

Ø Ø若若a = 0,   = 1，则称这种分布为标准化正态分布：，则称这种分布为标准化正态分布： 41l正态分布函数正态分布函数Ø将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数 ：：式中，式中，式中，式中，   ( (x x) )称为概率积分函数称为概率积分函数称为概率积分函数称为概率积分函数 ：：此积分不易计算，通常用查表方法计算此积分不易计算，通常用查表方法计算 42l l用误差函数表示正态分布用误差函数表示正态分布用误差函数表示正态分布用误差函数表示正态分布Ø误差函数定义：误差函数定义：Ø补误差函数定义：补误差函数定义： ØØ 正态分布表示法：正态分布表示法：43频率近似为fc2.8 窄带随机过程窄带随机过程2.8.1 窄带随机过程的基本概念窄带随机过程的基本概念l l何谓窄带？何谓窄带？何谓窄带？何谓窄带？ 设设设设随机过程的频带宽度为随机过程的频带宽度为 f，中心频率为，中心频率为fc若 f << fc，，则称此随机过程为窄带随机过程则称此随机过程为窄带随机过程 l l窄带随机过程的波形和表示式窄带随机过程的波形和表示式窄带随机过程的波形和表示式窄带随机过程的波形和表示式Ø波形和频谱：波形和频谱：44Ø表示式表示式 式中，式中，aX(t) －－ 窄带随机过程的随机包络；窄带随机过程的随机包络；  X(t) －窄带随机过程的随机相位；－窄带随机过程的随机相位；  0 －－ 正弦波的角频率。

正弦波的角频率 上式可以改写为：上式可以改写为：式中，式中， －－ X (t)的同相分量的同相分量 －－ X (t)的正交分量的正交分量 452.8.2 窄带随机过程的性质窄带随机过程的性质lXc(t)和和Xs(t)的统计特性：的统计特性：设设X(t)是一个均值为是一个均值为0的平稳窄带高斯过程，则的平稳窄带高斯过程，则ØØ Xc(t)和和Xs(t)也是高斯过程；也是高斯过程；Ø Xc(t)和和Xs(t) 的方差相同，且等于的方差相同，且等于X(t)的方差的方差；；；；Ø在同一时刻上得到的在同一时刻上得到的Xc和和Xs是不相关的和统计独立的是不相关的和统计独立的laX(t)和和 X(t)的统计特性：的统计特性：Ø窄带平稳随机过程包络窄带平稳随机过程包络aX(t)的概率密度等于：的概率密度等于：Ø窄带平稳随机过程相位窄带平稳随机过程相位 X(t)的概率密度等于：的概率密度等于： 462.9 正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程uu通信系统中的正弦波加窄带高斯过程：通信系统中的正弦波加窄带高斯过程：通信系统中的正弦波加窄带高斯过程：通信系统中的正弦波加窄带高斯过程：uu正弦波加噪声的表示式：正弦波加噪声的表示式：正弦波加噪声的表示式：正弦波加噪声的表示式：式中，式中，式中，式中， A A －－－－ 正弦波的确知振幅；正弦波的确知振幅；正弦波的确知振幅；正弦波的确知振幅；    0 0 －－－－ 正弦波的角频率；正弦波的角频率；正弦波的角频率；正弦波的角频率；     －－－－ 正弦波的随机相位；正弦波的随机相位；正弦波的随机相位；正弦波的随机相位； n n( (t t) ) －－－－ 窄带高斯噪声。

窄带高斯噪声窄带高斯噪声窄带高斯噪声uur r ( (t t ) )的包络的概率密度的包络的概率密度的包络的概率密度的包络的概率密度 ：：式中，式中，   2 －－ n(t)的方差；的方差； I0( ) －－ 零阶修正贝塞尔函数零阶修正贝塞尔函数upr(x) 称为广义瑞利分布，或称莱斯称为广义瑞利分布，或称莱斯(Rice)分布当当当当A A = 0 = 0时，时，时，时， pr(x) 变成瑞利概率密度变成瑞利概率密度47uur r ( (t t ) )的相位的条件概率密度的相位的条件概率密度的相位的条件概率密度的相位的条件概率密度 ：：式中，式中，  －－ r( t )的相位，包括正弦波的相位的相位，包括正弦波的相位  和噪声的相位和噪声的相位 pr(  /  ) －－ 给定给定  的条件下，的条件下， r( t )的相位的条件概率的相位的条件概率密度密度uur r ( (t t ) )的相位的概率密度的相位的概率密度的相位的概率密度的相位的概率密度: :l当当  = 0时，时，式中，式中，48瑞利分布r概率密度包络r(a) 莱斯分布包络的概率密度均匀相位相 位概率密度(b) 莱斯分布相位的概率密度uu莱斯分布的曲线莱斯分布的曲线莱斯分布的曲线莱斯分布的曲线l当当A/  = 0时，时，包络包络瑞利分布瑞利分布相位相位均匀分布均匀分布l当当A/ 很大时，很大时，包络包络正态分布正态分布相位相位冲激函数冲激函数492.10 信号通过线性系统信号通过线性系统2.10.1 线性系统的基本概念线性系统的基本概念l l线性系统的特性线性系统的特性线性系统的特性线性系统的特性ØØ有一对输入端和一对输出端有一对输入端和一对输出端有一对输入端和一对输出端有一对输入端和一对输出端ØØ无源无源无源无源ØØ无记忆无记忆无记忆无记忆ØØ非时变非时变非时变非时变ØØ有因果关系：先有输入、后有输出有因果关系：先有输入、后有输出有因果关系：先有输入、后有输出有因果关系：先有输入、后有输出ØØ有线性关系：满足叠加原理有线性关系：满足叠加原理有线性关系：满足叠加原理有线性关系：满足叠加原理若当输入若当输入若当输入若当输入为为xi(t)时，输出为时，输出为yi(t)，则当输入，则当输入为为 时，输出为：时，输出为：式中，式中，a1和和a2均为任意常数。

均为任意常数50l l线性系统的示意图线性系统的示意图线性系统的示意图线性系统的示意图2.10.2 确知信号通过线性系统确知信号通过线性系统l l时域分析法时域分析法时域分析法时域分析法设设设设h(t) －－ 系统的冲激响应系统的冲激响应 x(t) －－ 输入信号波形输入信号波形 y(t) －输出信号波形－输出信号波形则有：则有：线性系统输入输出x(t)y(t)X(f)Y(f)h(t)H(f)图2.10.1 线性系统示意图t(t)h(t)t00对于物理可实现系统：对于物理可实现系统：51l l频域分析法频域分析法频域分析法频域分析法Ø设：输入为能量信号，令设：输入为能量信号，令 x( t ) －－输入能量信号输入能量信号H( f ) －－ h( t )的的傅里叶变换傅里叶变换 X( f ) －－ x( t )的的傅里叶变换傅里叶变换 y( t ) －－ 输出信号输出信号 则此系统的输出信号则此系统的输出信号y( t )的频谱密度的频谱密度Y( f )为：为：n由由Y( f )的逆傅里叶变换可以求出的逆傅里叶变换可以求出y( t )：：52Ø设：输入设：输入x( t )为周期性功率信号，则有为周期性功率信号，则有 式中，式中， 输出为：输出为：Ø设：输入设：输入x( t )为非周期性功率信号，则当作随机信号处理为非周期性功率信号，则当作随机信号处理0 = 2/T0T0 － 信号的周期 f0 = 0 / 2是信号的基频53Ø【【例例2.10】】若有一个若有一个RC低通滤波器，如图低通滤波器，如图2.10.4所示。

试所示试求出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出信求出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出信号表示式号表示式 解解:设设 x(t) －输入能量信号－输入能量信号 y(t) －－ 输出能量信号输出能量信号 X(f) －－ x(t)的频谱密度的频谱密度 Y(f) －－ y(t)的频谱密度的频谱密度则则此电路的传输函数为：此电路的传输函数为： 此滤波器的冲激响应此滤波器的冲激响应h(t)：： 图2.10.4 RC滤波器RCx(t)y(t)54滤波器输出和输入之间的关系：滤波器输出和输入之间的关系：假设假设输入输入x(t)等于：等于：则此滤波器的输出为：则此滤波器的输出为： 55l l无失真传输条件无失真传输条件无失真传输条件无失真传输条件设：系统是无失真的线性传输系统，输入为一能量信号设：系统是无失真的线性传输系统，输入为一能量信号x(t) ，，则其无失真输出信号则其无失真输出信号y(t)为：为：式中，式中，k －－ 衰减常数，衰减常数， td －－ 延迟时间延迟时间Ø求系统的传输函数：求系统的传输函数： 对上式作傅里叶变换：对上式作傅里叶变换：∴ ∴ 式中，式中，Ø无失真传输条件：无失真传输条件：n振幅特性与频率无关；振幅特性与频率无关；n相位特性是通过原点的直线。

相位特性是通过原点的直线实际中，（实际中， 难测量，常用测量难测量，常用测量td代替H(f)|k0ff0562.10.3 随机信号通过线性系统随机信号通过线性系统l物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有 若输入为平稳随机信号若输入为平稳随机信号X(t)，则输出，则输出Y(t)为为l输出输出Y(t)的数学期望的数学期望E[Y(t)]由于已假设输入是平稳随机过程，故由于已假设输入是平稳随机过程，故∵∵∴∴输出的数学期望：输出的数学期望：E[X(t-)] = E[X(t)] = k，k = 常数57l输出输出Y(t)的自相关函数的自相关函数由自相关函数定义，有由自相关函数定义，有由由X(t)的平稳性知，上式中的数学期望与的平稳性知，上式中的数学期望与t1无关，故有无关，故有∴∴l由于由于Y(t)的数学期望和自相关函数都和的数学期望和自相关函数都和t1无关，故无关，故Y(t)是广义平是广义平稳随机过程稳随机过程58l输出输出Y(t)的功率谱密度的功率谱密度PY( f ) ：：由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，故有由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，故有令令  =   +u - v代入上式，得到代入上式，得到∴∴输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度 乘以乘以 |H( f )|2。

59【【例例2.11】】已知一个白噪声的双边功率谱密度为已知一个白噪声的双边功率谱密度为n0/2试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声功率 解：解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成： 所以有所以有 输出信号的功率谱密度为输出信号的功率谱密度为 输出信号的自相关函数输出信号的自相关函数 输出噪声功率：输出噪声功率： PY ＝＝ RY(0) = k2 n0 fH 602.11 小结小结61。