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2000考研数一真题及解析 - 文档，知识共享！ 2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题(此题共5小题，每题3分，总分值15分，把答案填在题中横线上) (1) ?102x?x2dx? (2) 曲面x2?2y2?3z2?21在点?1, -2, 2?的法线方程为 (3) 微分方程xy\?3y'?0的通解为 1-x1-1-12---(4) 方程组23a?2x2?3无解，那么a? ----1a?2--x3--0-(5) 设两个互相独立的事件A和B都不发生的概率为生A不发生的概率相等，那么P(A) = 二、选择题(此题共5小题，每题3分，共15分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数，且f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0,那么当a?x?b 时，有 ( ) (A)f(x)g(b)?f(b)g(x) (B) f(x)g(a)?f(a)g(x) (C)f(x)g(x)?f(b)g(b) 1 , A发生B不发生的概率与B发9 (D) f(x)g(x)?f(a)g(a) (2) 设S:x2?y2?z2?a2(z?0),S1为S在第一卦限中的局部，那么有 ( ) (A)(C)-xdS?4-xdS (B)-ydS?4-xdS SS1SS1-zdS?4-xdS (D)-xyzdS?4-xyzdS SS1SS1(3) 设级数?un?1?n收敛，那么必收敛的级数为 ( ) -?un2(A)-?1?. (B)?un. (C)?(u2n?1?u2n). (D)?(un?un?1). nn?1n?1n?1n?1n?(4) 设n维列向量组?1,-?,?m(m?n)线性无关，那么n维列向量组?1,-?,?m线性无关的充分必要条件为 ( ) (A) 向量组?1,-?,?m可由向量组?1,-?,?m线性表示. 文档，知识共享！ (B) 向量组?1,-?,?m可由向量组?1,-?,?m线性表示. (C) 向量组?1,-?,?m与向量组?1,-?,?m等价. (D) 矩阵A-?1,-?,?m?与矩阵B-?1,-?,?m?等价. (5) 设二维随机变量?X ,Y?服从二维正态分布，那么随机变量-X?Y与-X?Y不相关的充分必要条件为 ( ) 22(A) E(X)?E(Y). (B) E(X)-E(X)-E(Y)-E(Y)?. 22(C) E(X2)?E(Y2). (D) E(X)-E(X)-E(Y)-E(Y)?. 2222 三、(此题总分值5分) 1-x2?esinx?. 求lim-4x?0?x-1?ex-?四、(此题总分值6分) ?x-x-2z设z?f?xy,-g-,其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求. ?x?y?y-y?五、(此题总分值6分) 计算曲线积分I-Lxdy?ydx R为半径的圆周?R >1?，,其中L是以点?1,0?为中心，224x?y取逆时针方向. 六、(此题总分值7分) 设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面S, 都有-Sxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0, f(x)?1,= 求f(x). 其中函数f(x)在(0, +?)内具有连续的一阶导数，且lim?x?0七、(此题总分值6分) 1xn求幂级数?n的收敛区域，并讨论该区间端点处的收敛性. nnn?13?(?2)?八、(此题总分值7分) 设有一半径为R的球体，P0是此球的外表上的一个定点，球体上任一点的密度与该点k?0)，求球体的重心位置. 到P0间隔 的平方成正比(比例常数九、(此题总分值6分) 文档，知识共享！ 设函数f(x)在?0,-上连续，且-0f(x)dx?0,?f(x)cosxdx?0,试证：在(0,?)内0?至少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0. 十、(此题总分值6 分) ?10?01设矩阵A的伴随矩阵A*-?10-0?3位矩阵，求矩阵B. 十一、(此题总分值8分) 00100?0-,且ABA?1?BA?1?3E,其中E为4 阶单0-8?某试验性消费线每年一月份进展纯熟工与非纯熟工的人数统计，然后将1纯熟工支援其6他消费部门，其缺额由招收新的非纯熟工补齐，新、老非纯熟工经过培训及理论至年终考核有2成为纯熟工.设第n年一月份统计的纯熟工和非纯熟工所占百分比分别为xn,yn记成向5?xn?1-xn-xn?1-xn-xn?量-. (1) 求?与的关系式并写成矩阵形式：?A-y--?; yy?n?1-n-n-yn?1-yn?(2) 验证?1-?,?2-?4-1-?1-是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； 1-?1-x?(3) 当?x1-?2?时，求?n?1?. --?yn?1-y1-1-?2-十二、(此题总分值8分) 某流水消费线上每个产品不合格的概率为p?0?p?1?,各产品合格与否互相独立，当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已消费了产品的个数为X , 求X的数学期望E?X?和方差D?X?. 十三、(此题总分值8分) ?2e?2(x-),x-设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x;?)- ?0, x-其中-0为未知参数，又设x1,x2,-?,xn是X的一组样本观测值，求参数?的最大似然估计值. 文档，知识共享！ 2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题 (1)【答案】? 4【详解】I-102x?x2dx-1?(x?1)2dx 01解法1：用换元积分法：设x?1?sint，当x?0时，sint-1，所以下限取?时，sint?0，所以上限取0. 所以 Ix?1?sint?2；当x?1-?costcostdt ?20由于在区间[-2,0]，函数cost非负，那么 I-?costdt-2cos2t-200?2?4 解法2：由于曲线y?2x?x2?1?(x?1)2是以点(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆周，它与直线x?1和y?0所围图形的面积为圆面积的 (2)【答案】1?，故答案是 44x?1y?2z?2-. 1?46【详解】曲面方程F(x,y,z)?0在点(x0,y0,z0)的法矢量为： n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)} 令F(x,y,z)?x?2y?3z?21, 那么有 222Fx'?1, -2, 2-2x|?1, -2, 2-2,Fy'?1, -2, 2-4y|?1, -2, 2-?8, Fz'?1, -2, 2-6z|?1, -2, 2-12.所以曲面在点(1,?2,2)处的法线方程为： (3)【答案】y?x?1y?2z?2x?1y?2z?2-. 即 -. 2?8121?46C1?C2 2x【分析^p 】此方程为二阶可降阶的微分方程，属于y\?f(x,y')型的微分方程. 【详解】令p?y'，有y\?dpdpdpp?3p?0，-3?0 .原方程化为：xdxdxdxx文档，知识共享！ 别离变量： dpdx-3 pxdpdx-3?p?x?lnp-3lnx?C1 ?3lnx?C1两端积分： 从而 p?e?eC1e?3lnx?eC1x?3?eC11x3 因记C2?eC1?0是大于零的任意常数，上式可写成 p-C3，便得方程的通解p?C3x?3， 3xC2； 3x记C3-C2，p?即 dy?C3x?3?dy?C3x?3dx，其中C3是任意常数 dx对上式再积分，得： y-C3x?3dx-所以原方程的通解为： C3?2C5C-x?C4?2?C4,?C5-3? 2x2-y?C1?C2 x2 (4)【答案】?1. 【详解】化增广矩阵为阶梯形，有 1?12?23a?2-?1a?21-121?0?13-a-0--0a?2?31?1- a?3-1?1- ?1-1?12-a?0?1-00(a?3)(a?1)当a = ?1时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，根据方程组解的断定，其系数矩阵与增广矩阵的秩不同，因此方程组无解. 当a = 3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为2，由方程组解的断定，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，而且小于未知量的个数，所以方程组有无穷多解. (5)【答案】23(由A,B独立的定义：P(AB)?P(A)P(B)) 【详解】由题设，有P(AB)?1,P(AB)?P(AB) 9因为A和B互相独立，所以A与B，A与B也互相独立. 第 页 共 页。