微积分的创立.doc

微积分的创立原婉琪[摘要]介绍了古希腊时代安提丰、中国的刘徽等著作中微积分思想的萌芽，到17世纪初费尔马、巴罗、沃利斯等对微积分的贡献,重点介绍了微积分的创始人牛顿及莱布尼兹在微积分方面的学术成果及学术思想[关键词]穷竭法；不可分量；微分三角形；首末比分法；微积分基本定理1、微积分的先驱1.1穷竭法公元前400多年，古希腊数学家安提丰（公元前480——411）在研究化圆为方的问题时首创了“穷竭法”他认为内接于圆的一个正三角形，如果依次把图形的边数增倍（成为内接六边形，十二边形等），内接多边形的顶点归根到底占用圆周上所有点，最后得到多边形与圆相符合即多边形的面积越来越接近圆的面积，使圆与内接多边形的面积之差最终将被穷竭我国早在公元263年刘徽（约225—295）给《九章算术》作的注释中，创造了“割圆术”来计算圆周率的方法他从圆的内接正六边形算起，依次将边数加倍，一直算到内接192边形的面积，从而得到圆周率π的近似值为157/50=3.14的“微率”,以后他又算到圆内接正3070边形的面积,从而得到π=3927/1250=3.1416刘徽认为如此增加圆内接多边形的边数，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。

这里他已把极限的思想应用于近似值的计算，他的方法除缺少极限表达式外，与现代方法相差无几1.2不可分量原理意大利数学家卡瓦列（1598—1647）对微积分的最大贡献是建立“不可分原理”,他于1653年发表了名著《用新方法促成的连续不可分几何学》，认为：“几何图形是由无数多个维数较低的不可分量组成，即面积是由无数个等距平行线段构成，体积是无数个平行的平面构成的，他分别把这些元素叫做面积和体积的‘不可分量’，并承认组成面积和体积的不可分量的数目一定是无穷多的这种用不可分法求和的原理就是尔后的定积分概念的雏形，他的方法明显地隐含着计算面积和体积的求极限过程，算出了表如=an+1 /n+1的基本结果,使早期的积分学突破了体积计算的现实原形,而向一般的算法过渡.他的不可分量在后来牛顿的瞬时概念和莱布尼兹的微积分概念中都有所反映,因此卡瓦列利的原理是通向无穷小的微积分学的阶梯1.3微分学的起源与积分学相比，微分学的起源则要晚得多，刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率，以及求函数的极大值、极小值问题法国数学家费尔马（1610—1665）在1629年获得求函数极值的法则，他的法则可用现在的记号表示如下：欲求f(x)（费尔马先取个别整有理数）的极值，先把表达式[f(x＋h)-f(x)]/h按h的乘幂展开，并弃去含h的各项，再令所得的结果为零，这时方程的根就能使f(x)在这一点上有极值，他还用类似的方法求出平面曲线y=f(x)的切线，写出所谓次切线的表达式f(x)·h/[f(x+h)-f(x)]约掉h 后再弃去含h的各项，费尔马在这两个问题中的计算都用到了相当于求极限limf[x+h]-f(x)]/h的式子。

他的求极值的方法给出了可微函数有极值的必要条件f1(X)=0他不用类似的方法求出了抛物线的重心，在微积分史上是非常独特的他还区分极大值和极小值的准则，并有求拐点的方法费尔马的这些成果对后来微积分的建立产生了深远的影响英国数学家马罗（1630—1677）与费尔马不同，他使用了几何方法，引入了“微分三角形”[1]的概念，即相当于现在的dx,dy,ds为边的三角形（如图1），Py a Q e 0 T M x设有曲线f(X,Y)=0，欲求其上一点P处的切线，巴罗考虑一段“任意小的弧”PQ，它是由增量QR=e引起的，PQR就是所谓的微分三角形，巴罗认为当这个三角形越来越小时,它与⊿TPM应趋近于相似，故应有PM/TM=PR/QR 即y/x=a/e Q，P在曲线上，故应有f（x-e，y-a）-f（x，y）=0在上式中消去一切包含e，a的幂或二者乘积的项，从所得方程中解出e/a ，即切线斜率y/x， 于是可得到x值而做出切线，巴罗的方法实质上是把切线看作是当a和e趋于零时割线PQ 的极限位置，并列用忽略高阶无限小来取极限在这里a和e分别相当于现代的dy和dx，而a/e则相当于dy/dx英国数学家沃里斯（1616——1703）是将分析方法引入微积分贡献最突出的数学家，沃里斯最重要的著名作是《无穷算术》（1655年），他用算术不可分量方法获得了许多重要结果，其中之一就是卡瓦列利的幂函数的积分公式∫a0xndx=an+1/n+1的推广到分数幂情形。

他从已知的极限lim(0k+1k+…+nk)/(nk+nk+…nk)=k+1,得=1/[p/(q+1)]=q/(p+q)并进而猜测∫a0xndx=ap/(q+1)/[(p/q)+1]=[q/(p+q)]a(p+q)/q沃利斯另一项重要研究是计算1/4单位圆的面积，并由此得到π的无穷乘积表达式沃利斯的工作直接引导牛顿发现了有理数幂的二项式定理(P+PQ)m/n=Pm/n+m/nAQ+[(m-n)/2n]BQ+[(m-2n)/3n]CQ+[(m-3n)/4n]DQ+…其中：A=Pm/n,B=m/nPm/nQ,m/n是任意有理数[1].二项式定理作为有力的代数工具，在微积分的创立中发挥了重要作用2微积分的创立2．1 牛顿的微积分思想微积分的发明是牛顿（1642——1727）最卓越的数学成就之一，微积分所处理的一些具体问题，如切线问题、求积问题4瞬时速度问题以及函数的极大、极小值问题，在牛顿之前即已受到人们的研究，有的（如求和问题）甚至可以追溯到古代，如开普勒的旋转体积计算法，费尔马求极大、极小值的方法，卡瓦列利的不可分量原理，沃利斯的分数幂积分，巴马的“微分三角形”等，这一系列前驱性的工作，对于求解各类具体无穷小问题做出了宝贵的贡献，但却缺乏一般性。

牛顿超越前人的功绩在于，他能站在更高的角度，对以往分散的努力加以综合，将自古希腊以来求解无限小问题各种特殊技巧统一为两类普遍的算法—微分和积分，并确立了两类运算的互逆运算，从而完成了微积分发明的最关键一步据牛顿自述：1665年11月发明正流术（微分法）次年5月又建立了反流数术（积分法），1666年10月写成一篇总结性论文《1666年10月流数间论》是历史上第一篇系统的微积分文献牛顿的微积分理论主要体现在下述三部论著里：《流术语与无穷级数》中对流数作如下解释：我们把看作是连续流的流动或增长，而其它量则随时间连续增长，我们从时间的流动性出发，把所有其他量的增长速度称之为流数，又从时间的瞬息出发，把任何其它量在瞬息时间产生的部分称之为瞬流数语言的使用使牛顿的微积分算法在应用方面获得更大成功，以极大、极小值为例，牛顿借流数概念给出下述法则：“一个量在取极大或极小值的一瞬，它既不向前也不向后流动，如果它向前流动或增加的话，那么它就比原来大，并将变的更大反之，若它向后流动或减少的话，情况恰好相反，因此求出它的流数，而且令此流数等于零这相当于f1（x）=0，求f（x）的极值点《运用无穷多次方程的分析学》这一著作中，他给出了求瞬时变化率的普遍方法，阐明了求变化率和求面积是两个互逆问题，从而揭示了微分和积分的联系，即沿用至今的微积分的基本定理，并在《流数简论》的大量篇幅讨论正、反微分运算的各种应用，处理了求曲线的切线，曲线拐点、曲线，求长、求积、求引力与引力中心共16类问题。

《曲线求积术》[2]可以看作是牛顿成熟的微积分著述，在这里牛顿回避了无穷小量并批评自己过去那种随意忽略无穷小瞬的作法：“在数学中，最微小的误差也不能忽略并进一步解释流数：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比，确切的说，它们构成初生增量的最初比，但可用任何与之成比例的线段表示接着牛顿借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最最终比他举例说明自己的新方法：为求y=xn的流数，设x变为x+0，xn变为(x+0)n=xn+n0xn-1+[n(n-1)]/202xn-2…构成两变化的“最初化”:[(x+0)-x]/[(x+0)n-xn]=1/nxn-1+[n(n-1)]/2xn-2.0+…然后“,设增量0消逝，他们的最终比就是1/nxn-1，这也是x的流数与 xn的流数之比这就是“首末比分法”它相当于求函数自变量与应变量化之比的极限，因而成为极限方法的先导牛顿预见到首末比分法可能会遭到批评，并意识到争论的焦点将在于“最终比”的概念，他对最终比作进一步的解释：“消逝量的最终比实际上并非最终量之比，而是无限减小的量的比所趋向的极限，它们无限接近于这个极限，其差可小于任意给定的数。

但却永远不会超过它，并且在这些量无限减小之前也不会达到它”2.2莱布尼兹的微积分思想莱布尼兹（1646-1716）的第一篇微分学论文《一种求极极小和切线的新方法，它也适用于分量和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》于1684年发表在《博学文摘》上，这也是历史上最早公开发表的关于微积分的文献文中介绍了微分定义，函数的和、差、积、商以及乘幂的微分法则，关于一阶微分不变形式的定理关于二阶微分的概念，以及微分学对于研究极值，作切线、求曲率及拐点的应用，他得到特殊积分法有：变量替换法、分部积分法，在积分号下对参变量的积分法、利用部分分式求有理式的积分方法等在常微分方程中，他研究了分离变量法，得出一阶齐次方程通过用y=vx的代换可使其变量分离，同时他还给出了用微积分求旋转体积的公式等等莱布尼兹是数学史上最伟大的符号学者，现在微积分学中的一些基本的符号，如“dx，dy，dy/dy，∫，㏒等，都是他创立的莱布尼兹于1675-1676年给出了微积分的基本定理（后来又称之为牛顿——莱布尼兹公式）∫ba(df/dx)dx=f(b)-f(a),∫fdx=A该定理将微积分和积分真正沟通起来，而这正是建立微积分学的关键所在，只是确立了这一关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。

莱布尼兹和牛顿研究微积分学的基础，都达到了同一目的，但各自采取了不同的方法莱布尼兹是作为哲学家和几何学家对这些问题产生兴趣，而牛顿则主要是从研究物体运动的需要而提出这些问题他们都研究了导数、积分的概念和运算法则，阐明了求导数和求积分是互逆的两种运算，从而建立了微积分学的重要基础牛顿在时间上比莱布尼兹早10年，而莱布尼兹公开发表的时间比牛顿早3年P a Q e 0 T M x。