行星运动的能量分析.doc
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行星运动的能量分析本文以行星绕太阳为例，求解轨道能量，验证位力定理，并给出开普勒积分的计算方法我们知道：各大行星都是绕太阳做椭圆运动的对任一行星（例如地球而言），它所受到的力主 要是太阳对它的引力作用在有心力的作用下，质点始终在一固定平面内运动设行星质量为秫，公转周期为T,在计算时认为太阳是固定不动的行星绕太阳运动，只受到太 阳对其的万有引力，故满足机械能守恒以无穷远点处作为势能零点，设行星与太阳构成的系统机 械能为E,行星动能为T,行星与太阳间的引力势能为V,则有E=T+V.将各个物理量具体化，则有T^-mv2, V = =式中，v表示行星的运动速度，疽是一个与行星无关而只和太阳有关的量,2 r叫做太阳的高斯常数，r为行星和太阳之间的距离图一行星绕太阳运动示意图设日心（如图一所示）位于椭圆的右焦点上，行星运动的轨迹方程为x2 y2「+ yr = l（a > b） a2 b2这是一个椭圆的标准方程，其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴对于平面光滑曲线，可以 求出其上任意可导点处的曲率半径_ （l + y，2）IP = -ly77!- ⑶利用该公式，可以求出椭圆上任意可导点3°,%）处的曲率半径_ （a47o + b4x^P = a4泌也°|3 ⑴n2山于该曲线在点（。
0）处不可导，于是计算在（0力）处的曲率半径，该点的曲率半径为;，山于两点具有 一定的等效性，所以可以类比得到点（a,0）处的曲率半径为_b2P\x=a = — (A\当行星运行至近日点时,到日心的距离为(a-c)(c为椭圆的半焦距，满足a2 = b2 + c2)o根据牛顿第二定律，有k2m mv2(a — c)2 b2/a(5)动能的表达式为+ c)T = — —2a(a — c)(6)势能为得到机械能的表达式k2mV = a — c(~7\k2mZ7 — T T/ —2a/c\可以发现，行星运动的轨道能量只与其质量和轨迹的半长轴有关我们可以类比到双曲线轨道和抛物线轨道，同样可以求出其轨道能量对于双曲线轨道，其轨道能量为祟，而抛物线轨道能量2a为0在《理论力学》课上，对于不同的轨道，课本上只给出了定性的表述在本文中，对轨道能 量进行了量化接下来从轨道能量出发来验证位力定理位力定理的表达式为1 71< T >= - 5 V > 比•门 >/c\1=1本文中以“<>”来表示一个物理量的平均值根据E ^T + V,可得E= 行星作有心运动，满足角动量守恒定律，得到子岫为常数)于是可以得到, At dr2 h将式(11)与式(12)带入积分表达式中，可以得到/ 「1(11 % f271 d°Jo r h Jo 1 + e cos 0 八可以发现关于，的计算引入了积分式房7?对于此类广义积分，可利用留数定理求解令z = e弟，dz = ieiedd = iz&9,利用欧拉公式可以得到严 A6 _ 2 '0 1 + e cos 6 ei[ *|Z| = lz2+-z + l/ A A\令函数/Xz)=^上，求函数f(z)的奇点及其留数，令其分母为零，得 e1 1 I 1 1 / Zi = -yjl — e2,z2 = V1 — e2e e e e这就是函数f(z)的两个单极点单极点Zi的模_ 1 - Vl-e2 _ 1 - J(l + e)(l —e) 1 - (1 - e) _|zil = = < = 1e所以极点Zi在单位圆内而单极点Z2的模1 + Vl - e2凶|= - >1所以Z2在单位圆外计算在极点Zi处的留数Res/⑵刁财"初(/)]=市寻所以积分值ep 2 e 2neph ei 2a/1 — e2 /zVl — e2(15)根据开普勒第二定律,2A = r26 = h上式中A表示矢径扫过的面积(如图2所示)，所以有2jiab = hr2jiabh = (16)图2开普勒第二定律将e = ；p=^M = 些带入(15)式中，可以得到 a a t2nep t/iVl — e2 a于是，动能的平均值为k2m k2mi k2m 21)式所示积分在力学和量子力学中甚为重要，由它可以导出开普勒积分_ 1 严 de _ 111 ~ 2ttJ0 (] + e cos .)2 _ J(1 _ [2)3，0 < e < 1(22)用e/代替e(a > e),得i c2n de _ i2it Jo a + e cos 6 7a2 — e2(23)式两边对a求导，得1 严(―l)dO _ 12ttJo (a+ e cos 0)2 ^(a2 — e2)3令a = 1,得1 C2n d0 _ 12nJ(j (l + ecos°)2 J. 一 e2)3 su、另外，本文对课本中圆锥曲线的极坐标方程做了一个修正课本中，圆锥曲线的极坐标方程为Pr = 1 + e cos 6与本文中的圆锥曲线方程相差一个常数因子e实际上，我们通常以p表示圆锥曲线的焦准距，而 课本中的〃表示的是圆锥曲线正焦弦长度的一半对抛物线而言二者相等，但对椭圆和双曲线并不 成立所以，作此修正，更符合人们的习惯，也使得方程中参数的意义更加明确本文中运用了比较多的数学推导，对课本中定性的描述进行了定量的推导，并给出了具体的结 论公式最后，谈一谈我对《理论力学》课的感受从《力学》到《理论力学》，主要是在数学层面 上进行了提高，但大多数数学的应用也都还是在《高等数学》和《线性代数》的范畴内，求解的方 程也是常系数的线性方程。 内容虽多，却也不算很困难真正体现《理论力学》精髓的，还是在分 析力学这一章节虚功原理，达朗贝尔原理，拉格朗日方程等在理论分析和工程计算中都有很多的 应用对于分析系统，构建力学模型，具有指导意义附录利用牛顿-莱布尼兹公式求解式(21)中的积分 =/ , 0 < e < 1° 1 + e cos 9 V1 — e2先求不定积分Jd1+ecos 0a 2令” =tan-,则2 tan-1 u, dd = du,所以C ddJ 1 + e cos 6=J—pJ cosz-222soc+ sm2 +e(cos2^—sin2 -)de1 + tan2一2=[ q deJ 1 + to.Ti^ — e(l — tO.71^ —)dd1 + e cos 9 1 — edul+e . 2 F Uz1-e当0 T 2食时;71： (0 T +8)&(—00 T 0)所以原积分式转化为广义积分，即27r dd'0 1 + e cos 9o—002k de所以 7 , ,0 < e < 11 + e cos 6 Vl — e2于是(21)式中的积分得到解决。
