第五讲Matlab求解微分方程.doc

第五讲 Matlab求解微分方程教学目的：学会用MATLAB求简单微分方程的解析解、数值解，加深对微分方程概念和应用的理解；针对一些具体的问题，如追击问题，掌握利用软件求解微分方程的过程；了解微分方程模型解决问题思维方法及技巧；体会微分方程建摸的艺术性．教学重点：利用机理分析建模微分方程模型，掌握追击问题的建模方法，掌握利用MATLAB求解数值解．教学难点：利用机理分析建模微分方程模型，通过举例，结合图形以及与恰当的假设突破教学难点．1 微分方程相关函数（命令）及简介函数名函数功能Dy表示y 关于自变量的一阶导数D2y表示 y 关于自变量的二阶导数dsolve(equ1,equ2,…)求微分方程的解析解，equ1、equ2、…为方程（或条件）simplify(s)对表达式 s 使用 maple 的化简规则进行化简[r,how]=simple(s)simple 命令就是对表达式 s 用各种规则进行化简，然后用 r 返回最简形式，how 返回形成这种形式所用的规则．[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0)求微分方程的数值解，其中的 solver为命令 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb 之一，odefun 是显式常微分方程：，在积分区间 tspan=上，从到，用初始条件求解，要获得问题在其他指定时间点上的解，则令 tspan=（要求是单调的）．ezplot(x,y,[tmin,tmax])符号函数的作图命令．x,y 为关于参数t 的符号函数，[tmin,tmax] 为 t 的取值范围．inline()建立一个内联函数．格式：inline(expr, var1, var2,…) ，注意括号里的表达式要加引号．因为没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器 Solver，对于不同的ODE 问题，采用不同的Solver．求解器SolverODE类型特点说明ode45非刚性单步算法；4、5阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达大部分场合的首选算法ode23非刚性单步算法；2、3阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达使用于精度较低的情形ode113非刚性多步法；Adams算法；高低精度均可到计算时间比 ode45 短ode23t适度刚性采用梯形算法适度刚性情形ode15s刚性多步法；Gears反向数值微分；精度中等若 ode45 失效时，可尝试使用ode23s刚性单步法；2阶 Rosebrock 算法；低精度当精度较低时，计算时间比 ode15s 短ode23tb刚性梯形算法；低精度当精度较低时，计算时间比 ode15s 短要特别的是：ode23、ode45 是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的解的 Matlab 的常用程序，其中：ode23 采用龙格-库塔2 阶算法，用3 阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度．ode45 则采用龙格-库塔4 阶算法，用5 阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度．2 求解微分方程的一些例子2.1 几个可以直接用 Matlab 求微分方程精确解的例子：例1：求解微分方程，并加以验证．求解本问题的Matlab 程序为：syms x y %line1y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x^2),x) %line2diff(y,x)+2 *x*y-x*exp(-x^2) %line3simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2)) %line4说明：(1) 行line1是用命令定义x,y为符号变量．这里可以不写，但为确保正确性，建议写上；(2) 行line2是用命令求出的微分方程的解：1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1(3) 行line3使用所求得的解．这里是将解代入原微分方程，结果应该为0，但这里给出：-x^3*exp(-x^2)-2*x*exp(-x^2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1)(4) 行line4 用 simplify() 函数对上式进行化简，结果为 0， 表明的确是微分方程的解．例2：求微分方程在初始条件下的特解，并画出解函数的图形．求解本问题的 Matlab 程序为：syms x yy=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0,y(1)=2*exp(1),x)ezplot(y)微分方程的特解为：y=1/x*exp(x)+1/x* exp (1) (Matlab格式)，即，此函数的图形如图 1：图1 y关于x的函数图象2.2 用ode23、ode45等求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的数值解(近似解)．例３：求解微分方程初值问题的数值解，求解范围为区间[0, 0.5]．fun=inline(-2*y+2*x^2+2*x,x,y);[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1);　x;　y;plot(x,y,o-)>> xans =0.0000 0.0400 0.0900 0.1400 0.1900 0.24000.2900 0.3400 0.3900 0.4400 0.4900 0.5000>> yans =1.0000 0.9247 0.8434 0.7754 0.7199 0.67640.6440 0.6222 0.6105 0.6084 0.6154 0.6179图形结果为图 2．图2 y关于x的函数图像3 常微分在实际中的应用 3.1 导弹追踪问题1、符号说明，，乙舰的速率恒为v0；设时刻乙舰的坐标为，导弹的坐标为；当零时刻，，．建立微分方程模型．由微分方程模型解得代入题设的数据，得到导弹的运行轨迹为当时，即当乙舰航行到点处时被导弹击中. 被击中时间为:. 若v0=1, 则在t=0.21处被击中.利用MALAB作图如图３．clear, x=0:0.01:1; y=-5*(1-x).^(4/5)/8+5*(1-x).^(6/5)/12+5/24; plot(x,y,*)　　　图３导弹运行轨迹（解析法） 图４两种方法对比的导弹运行轨迹2、数值方法求解．设导弹速率恒为，则得到参数方程为 因乙舰以速度沿直线运动，设，，因此导弹运动轨迹的参数方程为： MATLAB求解数值解程序如下，结果见图４t0=0,tf=0.21;[t,y]=ode45(eq2,[t0 tf],[0 0]);X=1;Y=0:0.001:0.21;plot(X,Y,-)plot(y(:,1),y(:,2),*),hold onx=0:0.01:1; y=-5*(1-x).^(4/5)/8+5*(1-x).^(6/5)/12+5/24;plot(x,y,r)很明显数值计算的方法比较简单而且适用． 3.2 蚂蚁追击问题（1）建立平面直角坐标系．以正多边形的中心为原点, 设正多边形的一个顶点为起始点, 连接此点和原点作轴. 根据轴作出相应的轴; 选取足够小的进行采样．（2）在每一时刻，计算每只蚂蚁在下一时刻时的坐标．不妨设甲追逐对象是乙，在时间时，甲的坐标为，乙的坐标为．甲在时在点(如图1), 其坐标为，其中. 同理，依次计算下一只蚂蚁在时的坐标．通过间隔进行采样，得到新一轮各个蚂蚁在一个新的正多边形位置坐标．（4）重复2）步，直到充分小为止．（5）连接每只蚂蚁在各时刻的位置，就得到所求的轨迹．　图1 在采样时间内，相连蚂蚁追击用MALAB求解并作图，函数zhuJi(x,y)在附录一定义，如图６t=[1:8]; s=7*exp(t.*2*pi/length(t)*i); x=real(s); y=imag(s);zhuJi(x,y)　　　 图6　当蚂蚁为7只时的图形习题1. 求微分方程的通解．2. 求微分方程的通解．3. 求微分方程组 在初始条件下的特解，并画出解函数的图形．4. 分别用 ode23、ode45 求上述第 3 题中的微分方程初值问题的数值解(近似解)，求解区间为．利用画图来比较两种求解器之间的差异．4 参考文献:[1] Mastering Matlab 6, D. Hanselman, B. Littlefield, 清华大学出版,2002[2] 赵静等编．数学建模与数学实验（第3版）．北京：高等教育出版社．2008.[3] 姜启源编. 数学模型（第二版）．北京：高等教育出版社.1993.[4] 石勇国. 蚂蚁追击问题与等角螺线. 宜宾学院学报. 2008，(6): 23-25.[5] 张伟年，杜正东，徐冰．常微分方程．北京：高等教育出版社．2006．5 附录附录一:zhuji(x,y)的M文件function zhuji(x,y)clfv=1;dt=0.05;x(length(x)+1)=x(1);y(length(y)+1)=y(1);plot(x,y,*) holdfor it=1:1000 for i=1:length(x)-1 d=sqrt((x(i)-x(i+1))^2+(y(i)-y(i+1))^2); x(i)=x(i)+v*dt*(x(i+1)-x(i))/d; y(i)=y(i)+v*dt*(y(i+1)-y(i))/d; end plot(x,y,.) hold on x(length(x))=x(1); y(length(y))=y(1);end。