二倍角、三角函数典型例题.doc

二倍角、三角函数 典型例题例1．已知的值．解：由已知得： 由已知条件可知 例2．如图，在四边形中，， ·＝1，．DC B A ⑴求的长；⑵求四边形的面积；⑶求的值解：⑴由条件，得∵·＝1，∴ 　　　∴ 　　 ⑵由⑴得 　 ∴ ∴⑶在中，，∴又∵，故例3.已知函数f(x)＝2cos.(1) 设θ∈，且f(θ)＝＋1，求θ的值；(2) 在△ABC中，AB＝1，f(C)＝＋1，且△ABC的面积为，求sinA＋sinB的值．解：(1) f(x)＝2cos2－2sincos＝(1＋cosx)－sinx＝2cos＋.由2cos＋＝＋1，得cos＝.于是x＋＝2kπ±(k∈Z)，因为x∈，所以x＝－或.(2) 因为C∈(0，π)，由(1)知C＝.因为△ABC的面积为，所以＝absin，于是ab＝2.　①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b.由余弦定理得1＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－6，所以a2＋b2＝7.　②由①②可得或于是a＋b＝2＋.由正弦定理得＝＝＝，所以sinA＋sinB＝(a＋b)＝1＋.例4.已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0＜α＜x＜π.(1) 若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；(2) 若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．解：(1) ∵ b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝，∴ f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋(sinx＋cosx)．令t＝sinx＋cosx(0＜x＜π)，则2sinxcosx＝t2－1，且－1＜t≤.则y＝f(x)＝t2＋t－1＝(t＋)2－，－1＜t≤.∴ t＝－时，ymin＝－，此时sinx＋cosx＝－.由于0＜x＜π，故x＝.所以函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.(2) ∵ a与b的夹角为，∴ cos＝＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)．∵ 0＜α＜x＜π，∴ 0＜x－α＜π，∴ x－α＝.∵ a⊥c，∴ cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0.∴ sin(x＋α)＋2sin2α＝0，sin(2α＋)＋2sin2α＝0.∴ sin2α＋cos2α＝0，∴ tan2α＝－.。