5-2平行线及其判定(提高) 知识讲解.doc

平行线及其判定【要点梳理】要点一、平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．要点诠释：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点.④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.要点二、平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点三、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵　∠3＝∠2∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵　∠1＝∠2∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵　∠4＋∠2＝180°∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、平行线的定义及表示1．下列说法正确的是 ( ) A．不相交的两条线段是平行线. B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线. D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.【答案】D 【解析】平行线定义中三个关键词语：“同一平面内”，“不相交”，“两条直线”.【总结升华】本例属于对概念的考查，应从平行线的概念入手进行判断．类型二、平行公理及推论2．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。

其中正确的个数为：( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B 【解析】正确的是：（1）(3).【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别．举一反三：【变式】下列说法正确的个数是 ( )（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行． A．1个 B .2个 C．3个 D．4个【答案】B 类型三、两直线平行的判定3. 如图，给出下列四个条件：（1）AC＝BD； （2）∠DAC＝∠BCA； （3）∠ABD＝∠CDB；（4）∠ADB＝∠CBD,其中能使AD∥BC的条件有 （ ）.A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（3）（4）【思路点拨】欲证AD∥BC，在图中发现AD、BC被一直线所截，故可按同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行补充条件．【答案】C 【解析】从分解图形入手，即寻找AD、BC的截线.【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立，必须具备的是哪些条件，再看这些条件成立又需具备什么条件，直到追溯到已知条件为止．举一反三：【变式】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°【答案】A提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图． 图B显然不同向，因为路线不平行． 图C中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向． 图D中，∠1＝180°-130°＝50°，路线平行但不同向． 只有图A路线平行且同向，故应选A．4. 如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来．【答案与解析】 解法1：如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°． ∵ ∠B＝25°，∠E＝10°(已知)， ∴ ∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代换)． ∴ AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行)． 又∵ ∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)， ∴ ∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性质)．∴ ∠DCM＝∠CDN(等量代换)．∴ CM∥DN(内错角相等，两直线平行)． ∵ AB∥CM，EF∥DN(已证)， ∴ AB∥EF(平行线的传递性)．解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点． ∵ ∠BCD＝45°，∴ ∠NCB＝135°． ∵ ∠B＝25°， ∴ ∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的内角和等于180°)． 又∵ ∠CDE＝30°，∴ ∠EDM＝150°． 又∵ ∠E＝10°， ∴ ∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的内角和等于180°)． ∴ ∠CNB＝∠EMD(等量代换)． 所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)．【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取． 举一反三：【变式1】已知，如图，BE平分ÐABD，DE平分ÐCDB，且Ð1与Ð2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由．【答案】解：AB∥CD，理由如下： ∵ BE平分∠ABD，DE平分∠CDB， ∴ ∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2． 又∵ ∠1+∠2＝90°， ∴ ∠ABD+∠CDB＝180°． ∴ AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．【变式2】已知，如图，AB^BD于B，CD^BD于D，Ð1+Ð2=180°，求证：CD//EF．【答案】证明：∵AB^BD于B，CD^BD于D，∴AB∥CD．又∵Ð1+Ð2=180°，∴AB∥EF．∴CD//EF．。