解三角形经典例题.doc

解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解解：【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用例2在ABC中，已知c=+，C=30°，求a+b的取值X围点拨】此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解解：∵C=30°，c=+，∴由正弦定理得：∴ a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin（150°-A）.∴a+b=2(+)[sinA+sin(150°-A)]= 2(+)·2sin75°·cos(75°-A)= cos(75°-A)① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值=8+4；② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A＜150°，∴0°＜A＜150°,∴-75°＜75°-A＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，∴＞ cos75°=×=+.综合①②可得a+b的取值X围为(+,8+4>考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中，·tanB=·tanA，判断三角形ABC的形状。

点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：,即，，.∴为等腰三角形或直角三角形解题策略】“在△ABC中，由得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=”的导出过程例4在△ABC中，如果，并且B为锐角，试判断此三角形的形状点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状解：.又∵B为锐角，∴B=45°.由由正弦定理，得,∵代入上式得：考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5在△ABC中，求证.【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将转化为.证明：由正弦定理的变式得：同理【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用例6在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证.【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.证明：【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质考察点4：求三角形的面积例7在△ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若,求△ABC的面积S.【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA 及边c，再求面积。

解：由题意，得∴B为锐角，由正弦定理得【解题策略】在△ABC中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用，例8已知△ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，△ABC的外接圆半径为12，且, 求△ABC的面积S的最大值点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用解：【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9已知△ABC的内角A,B极其对边a,b满足求内角C【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转化能力解法1：（R为△ABC的外接圆半径），又∵A,B为三角形的内角，当时，由已知得综上可知，内角.解法2：由及正弦定理得，，，从而即又∵0＜A+B＜π，【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键例10在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=10,，求a,b及△ABC的内切圆半径点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边解：变形为又∴△ABC是直角三角形。

由解得【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用『易错疑难辨析』易错点 利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况例1（1） 在△ABC中，（2） 在△ABC中，【错解】（1） 由正弦定理得（2） 由正弦定理得【点拨】（1）漏解，由（0°＜B＜180°）可得因为b＞a,所以两解都存在2）增解由（0°＜B＜180°）可得，因为b＜a,根据三角形中大边对大角可知B＜A,所以不符合条件，应舍去正解】（1）由正弦定理得又∵0°＜B＜180°（经检验都符合题意）（2）由正弦定理得又∵0°＜B＜180°∵b＜a,根据三角形中大边对大角可知B＜A，不符合条件，应舍去，易错点 忽略三角形本身的隐含条件致错【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180°等造成的错误例2在△ABC中，若求的取值X围错解】由正弦定理得【点拨】在上述解题过程中，得到了后，忽略了三角形的内角和定理及隐含的均为正角这一条件正解】由正弦定理可知∴0°＜B＜45°，＜＜1.∴1＜＜3，故1＜＜3.--------------------------『高考真题评析』例1（2010·某高考）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若则【命题立意】本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质，解题的关键是确定角C的值。

点拨】在△ABC中，又，故，由正弦定理知又a＜b，因此从而可知，即故填1.【名师点评】解三角形相关问题时，应灵活掌握边角关系，实现边角互化例2（2010·高考）如图1-9所示，在△ABC中，若则【命题立意】本题考查利用正弦定理解决三角形问题，同时要注意利用正弦定理得到的两解如何取舍点拨】由正弦定理得，∵C为钝角，∴B必为锐角，故填1【名师点评】在X围内，正弦值等于的角有两个，因为角C为钝角，所以角B必为锐角，防止忽略角的X围而出现增解ABC1图1-9例3（2010·某高考）在△ABC中，则等于（）【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本关系式，解题的关键是确定角B的X围点拨】由正弦定理得∵＞，，∴B为锐角故选D【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角B的X围，从而确定角B的余弦值例4（2010·某高考）在△ABC中，（1）求证 ；（2）若，求的值命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，同时考察基本运算能力证明：（1）在△ABC中，由正弦定理及已知，得于是即因为＜B-C＜，从而B-C=0，所以B=C .解：（2）由和（1）得，故又0＜2B＜，于是从而，。

所以【名师点评】（1）证角相等，故由正弦定理化边为角2）在（1）的基础上找角A与角B的函数关系，在求2B的正弦值时要先判断2B的取值X围知能提升训练 学以致用1、在△ABC中，下列关系式中一定成立的是（ ）A．＞ B. =C. ＜ D. ≥2、（2011·某模拟）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，，则c等于（ ）A.1 B.2 C. D.3、（2011·某模拟）在△ABC中，，则等于（ ）A． B.C. D.4、在△ABC中，若，则△ABC是（ ）A．直角三角形 B.等边直角三角形C．钝角三角形 D.等腰直角三角形5、在锐角△ABC中，若C=2B，则的X围是（ ）A． B.C. D.6、在△ABC中，，则，满足此条件的三角形有（ ）A．0个 B.1个 C.2个 D.无数个7、在△ABC中，若A：B：C=3：4：5，则：：等于（ ）A．3：4：5 B.2::C. 1::2 D.: :8、（2011·某模拟）在△ABC中，则此三角形的最大边长为（ ）A． B. C. D.9、在△ABC中则。

10、（2011·某模拟）在△ABC中角A，B，C的对边分别为a,b,c，若，则角A的大小为11、在△ABC中已知cm，cm，，如果利用正弦定理解三角形有两解，那么的取值X围是12、如图1-10所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，BD交AC于E，AB=2.（1）求的值；（2）求AE的长图1-1013、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，求证14、在△ABC中，求及三角形的面积15、已知方程的两根之积等于两根之和，且为△ABC的内角，分别为的对边，判断△ABC的形状16、在△ABC中，（1）求角C的大小；（2）若△ABC的最大边长为，求最小边的长1.1.2 余弦定理『典型题剖析』考察点1： 利用余弦定理解三角形例1：已知△ABC中，求A，C和点拨】解答本题可先由余弦定理列出关于边长的方程，首先求出边长，再由再由正弦定理求角A，角C，也可以先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角解法1：由正弦定理得，解得或6.当时，当时，由正弦定理得解法2：由＜，＞，知本题有两解由正弦定理得，或，当时，，由勾股定理得：当时，，∴△ABC为等腰三角形，解题策略】比较两种解法，从中体会各自的优点，从而探索出适合自己思维的解题规律和方法。

三角形中已知两边和一角，有两种解法方法一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系列出方程，利用解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻烦方法二直接运用正弦定理，先求角再求边例2：△ABC中，已知，求A，B，C【点拨】解答本题可由余弦定理求出角的余弦值，进而求得各角的值解法1：由余弦定理得：因为所以因为所以因为所以解法2：由解法1知，由正弦定理得，因为＞，所以B＞C，所以角C应该是锐角，因此又因为所以【解题策略】已知三角形三边求角，可先用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止增解或漏解考察点2： 利用余弦定理判断三角形的。