chapter2 复变函数积分.ppt

数学物理方法李晓红 西南科技大学理学院*n复变函数积分的定义n复变函数积分的性质n柯西定理n柯西积分公式复变函数的积分复变变函数的积积分１.积分的定义：不定积分的定义:定理(复积分的Newton-Leibnitz公式)任何两个原函数相差一个常数说明：(1) 当 是连续函数，且L是光滑曲线时，积分 一定存在；(2) 可以通过两个二元实变函数的线积分来计算.复积分的基本性质(1)若 f(z) 沿L 可积，且 L 由 L1 和 L2 连 接而成，则 (2) 常数因子 k 可以提到积分号外，即(3) 函数和（差）的积分等于各函数积分的和 （差），即(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号.即其中， L- 为 L 的负向曲线．闭曲线的正方向：曲线上点顺此方向沿该曲线前进时，邻近P点曲线内部始终位于P点的左方．0xy111+i0xy111+i解法一例 计算 其中 C 以 z0为中心，r为半径的正方向，n 为整数解： 的方程为 所以：结论：与积分路线的圆周中心及半径无关．柯西定理如果函数 在单连通区域 内处处解析．那么函数 沿 内任何一条封闭曲线 的积分为零 柯西定理：如果曲线 是区域的边界， 在 内及 上解析．即在闭区域 上解析则柯西定律的证明P、Q为D区域内具有连续 偏导数的二元函数Cauchy-Riemann条件 C-R条件柯西－古萨积分定理注：经修改后的柯西－古萨积分定理成立的条件可以弱化为在区域D内解析，在边界上连续．以后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立．这个定理是柯西(Cauchy)于1825年发表的，古萨(Goursat)于1900年提出了修改，故又称为柯西－古萨定理.柯西定理推论这个定理可用来计算周线内部有奇点 的积分!柯西定理2柯西积分公式有界区域的单连通柯西积分公式定理 （柯西积分公式） 如果 在有界区域D处处解析，L为D内的任何一条正向简单闭曲线，且其内部全含于D, 为L内的任一点，那么称为柯西积分公式。

柯西积分公式意义:对于解析函数，只要知道了它在区域边界上 的值，那么通过上述积分公式，区域内部点上的 值就完全确定了．结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等．设 f (z) 在区域 D 内解析，在边界 C 上连续，则1. 任意阶导数 在区域 D 内函数 f (z) 的任意阶导数存在，且： 2. Morera 定理：设函数 f (z) 在区域 D 内连续，且沿区域内任意围线积分为零，则该函数在区域 D 内解析柯西积分公式的重要推论复变函数积分计算方法总结方法一方法二方法三方法四复变函数积分计算思路总结p 检查被积函数是否在该区域解析p 看被积函数是否和柯西积分公式相似先柯西定理后参数法例 计算 其中 C 以 z0为中心，r为半径的正方向，n 为整数1y1C1OLx1C2解题思路1y1C1OLx1C2计算积分【解】（1）注意到 在复平面内解析，而 -i 在积分环路C内，由柯西积分公式得（2）注意到函数 在 内解析 ，而 i 在 内， 由柯西积分公式得【解】根据柯西积分公式，得到故得到 例题例2 计算积分 【解法1】 在整个复平面上解析，且例3 计算积分可用分部积分法得【解】 由于 在复平面内处处解析 ，2.3节作业2-10基础题中等题（1）（2）（3） 难题2.4节作业2-112-122-132-15基础题（1）中等题（3）√√难题（2）（4）（5 ）√。