
特征值特征向量及其的应用.doc
54页word毕 业 论 文特征值特征向量与其应用院系名称: 专业名称: 学生某某: 学 号: 指导教师: 完成日期年月 日 / 特征值特征向量与应用摘要特征值与特征向量在现代科学中有重要的应用本文介绍了特征值与特征向量的定义以与性质,并且给出了性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵中的特征值、特征向量之间的关系然后介绍了几种特征值与特征向量的求解方法:特征方程法;行列互逆变换法;初等变换法最后介绍了特征值与特征向量在实际中的应用,如在数学领域中n阶矩阵的高次幂的求解;在物理中对于振动模型的求解问题;以与经济开展与环境污染增长模型等等关键词:特征值;特征向量;应用;矩阵;初等变换Applications of Eigenvalues and EigenvectorsAbstractEigenvalue and eigenvector play an important role in modern science. This thesis firstly introduces the definition and properties of the eigenvalue and eigenvector, and provides the relationship between the eigenvalue and eigenvector of linear transformation in linear space and the eigenvalue and eigenvector of the matrix. Secondly this thesis introduces several methods to find the eigenvalue and eigenvector: the characteristic function method, the dual inverse transform method and the elementary transform method. At last, this thesis introduces the application of eigenvalue and eigenvector, such as find the power of large matrix in mathematics, solving vibration model problems in physics, and solving the models of economic development, environmental pollution and so on. Key words: eigenvalue;eigenvector;application;matrix;elementary;transformation目录第1章前言11.1 研究背景11.2 研究现状11.3 研究内容2第2章特征值与特征向量的理论42.1 特征值与特征向量的一般理论42.1.1 特征值与特征向量的定义42.1.2 特征值与特征向量的性质52.2 特征值与特征向量的一般求解方法82.2.1 一般数字矩阵的简单求解82.2.2 初等变换法求矩阵的特征值与特征向量9第3章特征值与特征向量在数学领域简单应用143.1 高阶高次幂矩阵的求解143.2 性递推关系的应用153.3 在一阶线性常微分方程中的应用173.3.1 矩阵特征值为一重183.3.2 当有重根的情况20第4章特征值与特征向量在物理学中的应用224.1 简单理想状态双振动系统224.2 关于物理振动模型的解释和举例说明264.2.1 二阶系统264.2.2 三阶系统28第5章特征值与特征向量在生活中的简单应用305.1 环境污染与经济增长模型中的应用305.2 种群增长与分布模型中的应用325.3 常染色体遗传问题中的应用33总结37参考文献38致谢39第1章 前言1.1 研究背景矩阵是一个贯穿了整个大学课程的根底内容,作为一个尤为重要的根本概念,它也是代数学中的主要研究对象,而且矩阵的特征值与特征向量的出现,更是成为了解决一些数学问题或者其他领域问题的重要方法和手段,由此可以看出,它不仅在代数学中有着举足轻重的地位,在其他的领域也不可缺少。
矩阵几乎贯穿了整个代数学中的各个重要方面,所以对于矩阵的特征值与特征向量的深入研究,不仅仅可以提高对代数问题的了解,并且还可以灵活的应用到实际生活中来解决实际的问题本文首先通过论述特征值与特征向量在代数学中的根底概念和性质,以与有关这些性质的一些证明方法,通过灵活运用这些相关的性质,可以更加容易的解决一些相关问题然后通过举例的方法对于特征值与特征向量的求解问题,比如常用的矩阵的初等变化、逆变换和将矩阵转化为特征方程来求解特征值和特征向量等由于二者的应用是多方面的,所以会着重介绍特征值与特征向量在各个领域中的应用,例如在数学方面对高阶矩阵运算的简化,以与数值分析方面的高次幂的求解;物理方面对不同振动模型的应用本文就是主要采用举例说明的方法,通过实际问题的求解应用,并对于相关问题进展系统的归纳与分析,来表现出矩阵特征值与特征向量在解决问题中的优势1.2 研究现状汤正华[1]在2008年讨论了矩阵的特征值与特征向量的定义、性质;特征值与特征向量的求法等问题李延敏[2]在2004年通过对矩阵进展行列互换,同步求出矩阵特征值与特征向量,解决了不少带参数求特征值问题,并给出一些新定理赵院娥、李顺琴[3]在2009年进一步研究几种矩阵的特征值问题。
邵丽丽[4]在2006年通过对阶矩阵的特征值与特征向量的研究,针对阶矩阵的特征值与特征向量的应用进展了3方面的探讨,并给出了相关命题的证明与相应的例题黄金伟[5]在2007年给出求解矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法:列行互逆变换方法与列初等变换方法向以华[6]在对矩阵特征值与特征向量相关问题进展系统的归纳,得出了通过对矩阵进展行列互逆变换就可同时求出特征值与特征向量的结论,同时讨论了反问题X红玉[7]在2009年通过阶方阵的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵关系得出正定矩阵的结论王英瑛[8]在2008年利用矩阵的初等变换理论,详细讨论了矩阵特征值和特征向量的求法夏慧明、周永权[9]在2008年提出一种基于进化策略求解矩阵特征值与特征向量的新方法郭华、X小明[10]在2004年从方阵的特征值与特征向量的性质出发,结合具体例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用岳嵘[11]在2007年通过对阶对称矩阵的个互不相等的特征值与个特征向量,给出矩阵的计算公式,并给出证明与应用举例贤锋[12]在2006年通过建模实例介绍了最大特征值与特征向量的应用王秀芬[13]在2004年推导出一种方法,通过此方法可以利用特征值与特征向量求线性递推关系中的通项公式。
吴江、许耿[14]等在“浅谈特征值与特征向量〞一文中,根据线性变换的规律,引出了矩阵的相似性,以与特征值与特征向量的定义X国琪[15]在矩阵的运算中,从二者的性质出发,结合例子给出了特征值特征向量对于矩阵化简问题的作用杨廷俊[16]运用计算机语言,以与MATLAB程序进展编程,从实际入手,给出了应用计算机来解决问题的全过程戴华[17]等人,通过研究n阶矩阵的特征值与特征向量,给出了矩阵正定性的性质近年来,对矩阵特征值与特征向量的研究已经很深入,本课题将对矩阵特征值与特征向量的相关问题进展系统的归纳对矩阵的特征值与特征向量的根本性质进展介绍,根据其性质对矩阵特征值与特征向量的应用进展更深一步的探讨1.3 研究内容由于本文为综述类论文,所以在基于前人的研究根底上,本文首先给出了特征值与特征向量的根本意义,以与一些相关的性质,这些内容会使得在后续的应用解题过程中,步骤更加简便然后继续讨论了不同的对于矩阵特征值和特征向量的解法,例如定义法、初等变化法以与一些特殊方法,并给出实例加以验证由以上过程作为根底,本文重点给出了特征值特征向量在各个领域中的应用,如数学领域、物理领域以与生活中的一般应用。
数学中着重介绍了特征值与特征向量性递推关系和解常微分方程组中的应用;物理领域中如此给出了从一般到复杂的振动系统中的分析,如2阶、3阶振动模型;在生活中如此给出具体模型来研究并分析二者的应用总体上本文就是通过大量的举例说明,来研究特征值与特征向量的各种应用,来表现其优越性第2章 特征值与特征向量的理论2.1 特征值与特征向量的一般理论为了研究矩阵的线性变换,并且希望能够性空间中通过一些线性变换找到一个比拟简单的形式,所以引入了特征值与特征向量这一概念我们知道,在一个有限维的线性空间中,确定一组基之后,线性变化就可以通过矩阵的方法来表示,当然对于一些复杂的形式来说,这种变化过程也十分繁琐那接下来就是要讨论如何会使得这些方法变得简洁,首先介绍一下特征值与特征向量的定义2.1.1 特征值与特征向量的定义线性空间中的定义:设A是数域P上线性空间V的一个线性变换,如果对于数域P中的任意一个数,存在一个非零的向量,使得 〔2.1〕那么就称是A的一个特征值,而称为A的属于特征值的一个特征向量[18]从几何上来看,特征向量的方向经过线性变换后,保持在同一条直线上,这时或者方向不变〔>0〕,或者方向相反〔<0〕,至于=0时,特征向量就被线性变化成零向量。
如果是线性变换A的属于特征值的特征向量,那么的任何一个非零倍数也是A的属于的特征向量因为从定义式〔2.1〕中可以推出 〔2.2〕这说明特征向量不是被特征值所唯一确定的相反,特征值却是被特征向量所唯一决定的,因为一个特征向量只属于一个特征值矩阵中的定义:设A是数域P中的一个n阶矩阵,如果存在数域P中的任意一个数,和一个属于n维数域中的一个非零的列向量x,使得 〔2.3〕那么我们就称是矩阵A的一个特征值,向量x称为矩阵A的关于特征值的特征向量上式可以改写为,这种形式就是常见的对于n个方程和未知数的齐次线性方程组求解的问题很显然它有非零解的充分必要条件就是:它的系数行列式由此就可以看出,矩阵A的特征值就是此方程的解,对于解的个数就有了如下的定理定理2.1 设存在一个n阶的矩阵,并且它的特征值为,如此有〔1〕;〔2〕;证明 因为上式通过多项式分解定理,可以得出,观察的系数有,又有,所以定理得证2.1.2 特征值与特征向量的性质对于特征值与特征向量性质的研究,可以简化我们对矩阵求解问题的运算步骤,有时合理的利用某些性质也会更快的解决实际生活中的问题。
性质2.1 相似的矩阵具有一样的特征多项式[19]证明 给出两个矩阵A和B,设它们相似,那么就存在一个可逆的矩阵X,成立,于是 〔2.4〕但是需要指出的是,有一样的特征值的矩阵未必相似,我们可以举出很多这样的例子,比如 〔2.5〕两个矩阵具有一样的特征值,但是A的相似矩阵只能是A本身。












