高中数学第一章统计1.4数据的数字特征课件北师大版必修3.ppt

§4 4　数据的数字特征数据的数字特征1.能结合具体情境理解不同数字特征的意义,并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息.2.通过实例理解数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差.1.众数(1)定义:一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数.(2)特征:一组数据的众数可能不止一个,也可能没有,它反映了该组数据的集中趋势.名师点拨若有两个或两个以上的数据出现得最多,且出现的次数一样,则这些数据都叫众数;若一组数据中每个数据出现的次数一样多,则没有众数.2.中位数(1)定义:一组数据按小大顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数.(2)特征:一组数据中的中位数是唯一的,反映了该组数据的集中趋势.名师点拨求中位数时,必须先将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数为奇数,那么最中间的一个数据是这组数据的中位数;如果数据的个数为偶数,那么最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数.【做一做1】￿已知某班50名学生右眼视力的检查结果如下表所示:则该班学生右眼视力的众数为　　　　,中位数为　　　　. 答案:1.2　0.83.平均数(1)定义:一组数据的和与这组数据的个数的商叫作这组数据的平均数,数据x1,x2,…,xn的平均数为(2)特征:平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均水平.任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,这是众数和中位数都不具有的性质.与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中的极端值的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低.名师点拨众数、中位数与平均数的关系(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量.(2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系,任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动.(3)众数大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往更能反映问题.(4)中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响.中位数可能在所给数据中,也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势.(5)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位.【做一做2】￿已知一组数据从小到大排列为-1,0,4,x,6,15,且这组数据的中位数为5,则这组数据的平均数是　　　　　. 答案:5 4.标准差(1)定义:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示,通常用以下公式来计算:可以用计算器或计算机计算标准差.(2)特征:标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小,反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小.标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.【做一做3】￿从某项综合能力测试中抽取100个人的成绩如下表,这100个人成绩的标准差为(　　)答案:B 5.方差(1)定义:标准差的平方,即 (2)特征:与标准差的作用相同,描述一组数据围绕平均数波动的大小.(3)取值范围:[0,+∞).【做一做4-1】￿从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验,其测验成绩的方差分别为 A.甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐B.乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐C.甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐D.不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度答案:A【做一做4-2】￿若样本x1+2,x2+2,…,xn+2的平均数为10,方差为3,则样本2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的平均数为　　　　　,方差为　　　　　,标准差为　　　　　. 解析:因为x1+2,x2+2,…,xn+2的平均数为10,方差为3,所以x1,x2,…,xn的平均数为8,方差为3,所以2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的平均数为2×8+3=19,方差为22×3=12,标准差为答案:19　12　题型一题型二题型三平均数、中位数、众数的应用【例1】￿某公司30名职工的月工资(单位:元)如下:(1)求该公司职工的月工资的平均数、中位数、众数.(精确到元)(2)如果副董事长的工资从10 000元提升到20 000元,董事长的工资从15 000元提升到30 000元,那么该公司职工的月工资的平均数、中位数、众数又是多少?(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的月工资水平?结合此问题谈一谈你的看法.分析:根据平均数、中位数、众数的概念求解.题型一题型二题型三解:(1)平均数是 中位数是2 500元,众数是2 500元.(2)平均数是 中位数是2 500元,众数是2 500元.(3)在这个问题中,中位数和众数均能反映该公司职工的月工资水平.因为公司中少数人的月工资与大多数人的月工资差别较大,这样导致平均数与职工整体月工资的偏差较大,所以平均数不能反映这个公司职工的月工资水平.题型一题型二题型三反思平均数是将所有的数据都考虑进去得到的量,它是反映数据集中趋势最常用的量.中位数可靠性较差,因为它只利用了部分数据,但当一组数据中个别数据变动较大时,常用中位数表示该组数据的集中趋势.而众数求法较简便,也经常被用到.考察一组数据的特征时,这三个数字特征要结合在一起考虑.大多情况下人们会把眼光仅停留在工资表中的最大值与最小值处,把最高工资作为一个单位工资的评价标准,这是一种错误的评价方式.题型一题型二题型三【变式训练1】￿在一次歌手大赛中,6位评委现场给每位歌手打分,然后去掉一个最高分和一个最低分,其余分数的平均数作为该歌手的成绩.已知6位评委给某位歌手的打分是9.2,9.5,9.4,9.6,9.8,9.5.求这位歌手的得分及6位评委评分的众数和中位数.解:该歌手的得分为                                                                        .9.5在这组数据中出现两次,出现次数最多,故评分的众数是9.5分.将这组数据按从小到大的顺序排列后最中间的两个数都是9.5,故中位数是9.5分.题型一题型二题型三极差、标准差、方差的计算【例2】￿随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图所示. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班身高数据的极差、方差和标准差(标准差保留一位小数).题型一题型二题型三解:(1)由题中茎叶图可知,甲班的身高集中于160~180 cm之间,而乙班的身高集中于170~180 cm之间,因此乙班的平均身高高于甲班.题型一题型二题型三【变式训练2】￿有一组数据为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则这组数据的极差为(　　)A.1B.2C.3D.4化简得x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解得x=12,y=8或x=8,y=12,从而极差为|x-y|=4,故选D.答案:D题型一题型二题型三易错辨析易错点:因忽视字母的取值范围而致错【例3】￿某班4个小组的人数分别为10,10,x,8,已知这组数据的中位数与平均数相等,求这组数据的中位数.所以这组数据的中位数为9.错因分析:当在数据中有未知数x,求其中位数时,因x的取值不同,数据由大到小(或由小到大)的排列顺序不同,中位数也不同,故本题需进行分类讨论.题型一题型二题型三题型一题型二题型三123451.10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12.设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有(　　)A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a解析:由题意知a=14.7,b=15,c=17,所以a