福建师范大学21秋《近世代数》在线作业三答案参考80.docx

福建师范大学21秋《近世代数》作业三答案参考1. 试证明： 设是非空开集，r0＞0．若对任意的x∈G，作闭球，则是开集．试证明：  设是非空开集，r0＞0．若对任意的x∈G，作闭球，则是开集．[证明] 设x0∈A，则存在x'∈G，使得.注意到G是开集，故存在δ'＞0，使得．再取x″∈B(x'，δ')且x'≠x″以及|x″-x0|＜r0，从而有.由此易知，存在δ0＞0，使得，即A是开集．2. 求微分方程y"+2y&39;-3y=2ex-1的通解．求微分方程y"+2y'-3y=2ex-1的通解．3. 在yOx面上，求与A(3，1，2)，B(4，－2，－2)和C(0，5，1)等距的点.在yOx面上，求与A(3，1，2)，B(4，－2，－2)和C(0，5，1)等距的点.正确答案：4. 若两条C4连通曲线可建立对应，使对应点的从法线重合，则这两条曲线或者重合，或者都是平面曲线．若两条C4连通曲线可建立对应，使对应点的从法线重合，则这两条曲线或者重合，或者都是平面曲线．正确答案：证法1 由两曲线的从法线重合可设 其中S为曲线x(s)的弧长而为另一曲线\r\n的参数未必为其弧长．对s求导得=V1(s)一λ(s)v(s)V2(s)+λ\"(s)V3(s)．因为\r\n两边用V3(s)作内积得λ\"(s)=0λ(s)=λ0(常数)x\"(s)=V1(s)一λ0τ(s)V2(s)．于是 ．\r\n因此．这是公共的从法向即\r\n故λ0τ2(s)=0．如果使得τ(s0)≠0则λ0=0．再由于λ(s)=λ0为常数故λ(s)=λ0≡0且\r\n即这两曲线完全重合．如果τ(s)≡0(Vs)根据定理1．2．2x(s)为平面曲线．设曲线所在平面的单位法向为V3(s)=a．由于λ(s)≡λ0(常数Vs)故x\"(s)=x(s)+λ(s)V3(s)=x(s)+λ0V3(s)=x(s)+λ0a．显然x(s)是将平面曲线x(s)向V3(s)=a方向平移λ0得到的所以它也是平面曲线．\r\n证法2依题意有 ．\r\n两边关于t求导得\r\n因为点乘(作内积)V3(t)得到λ\"(t)=0\r\n 即 λ(t)=λ0(常数)．从而由前式有再对上式求导得因为故点乘V3(t)得\r\n如果λ0=0则即两曲线重合．如果λ0≠0则τ(t)≡0．由完全与证法1相应部分相同的推导得两条曲线\r\n与x(t)都为平面曲线．证法1由两曲线的从法线重合,可设,其中S为曲线x(s)的弧长,而为另一曲线的参数,未必为其弧长．对s求导,得=V1(s)一λ(s)v(s)V2(s)+λ\"(s)V3(s)．因为,两边用V3(s)作内积,得λ\"(s)=0,λ(s)=λ0(常数),x\"(s)=V1(s)一λ0τ(s)V2(s)．于是．因此．这是公共的从法向,即,故λ0τ2(s)=0．如果,使得τ(s0)≠0,则λ0=0．再由于λ(s)=λ0为常数,故λ(s)=λ0≡0,且,即这两曲线完全重合．如果τ(s)≡0(Vs),根据定理1．2．2,x(s)为平面曲线．设曲线所在平面的单位法向为V3(s)=a．由于λ(s)≡λ0(常数,Vs),故x\"(s)=x(s)+λ(s)V3(s)=x(s)+λ0V3(s)=x(s)+λ0a．显然,x(s)是将平面曲线x(s)向V3(s)=a方向平移λ0得到的,所以它也是平面曲线．证法2依题意有．两边关于t求导,得因为,点乘(作内积)V3(t),得到λ\"(t)=0,即λ(t)=λ0(常数)．从而由前式有再对上式求导,得因为故点乘V3(t),得如果λ0=0,则,即两曲线重合．如果λ0≠0,则τ(t)≡0．由完全与证法1相应部分相同的推导,得两条曲线与x(t)都为平面曲线．5. 设A，B，C为三相异共线点，求证：可适当选择A，B的齐次坐标a，b，而使c＝a＋b，其中c是C点的齐次坐标，写出设A，B，C为三相异共线点，求证：可适当选择A，B的齐次坐标a，b，而使c＝a＋b，其中c是C点的齐次坐标，写出对偶情况．正确答案：设ABC的齐次坐标分别为a1、b1、c则根据定理3．4存在常数lm使c＝la1＋mb1\r\n 因为ABC为不同的点所以l≠0m≠0取A点的坐标为la1B点的坐标为mb1则有c＝a＋b．设A,B,C的齐次坐标分别为a1、b1、c,则根据定理3．4,存在常数l,m,使c＝la1＋mb1,因为A,B,C为不同的点,所以l≠0,m≠0,取A点的坐标为la1,B点的坐标为mb1,则有c＝a＋b．6. 盒子中有10个球，其中8个白球和2个红球，由10个人依次取球不放回，求第二人取出红球的概率盒子中有10个球，其中8个白球和2个红球，由10个人依次取球不放回，求第二人取出红球的概率0.27. 设函数y=y(x)由参数方程确定，求y&39;。

设函数y=y(x)由参数方程确定，求y'∵dx=-sintdt，dy=(cost-cost+tsint)dt=tsintdt    ∴ 8. 设P(A)＞0，P(B)＞0，则______正确． A．若A与B独立，则A与B必相容 B．若A与B独立，则A与B必互不相容 C．若A与B互设P(A)＞0，P(B)＞0，则______正确．  A．若A与B独立，则A与B必相容  B．若A与B独立，则A与B必互不相容  C．若A与B互不相容，则A与B必独立  D．若A与B相容，则A与B必独立A因为P(A)＞0，P(B)＞0，所以，若A与B独立，则    P(AB)=P(A)P(B)＞0．    从而AB≠Φ，即A与B相容，所以选项A正确，而选项B不正确．    A的等价命题也成立，即若A与B互不相容，则A与B必不独立，所以C不正确，D显然不正确．    故应选A． 9. 设随机变量ξ服从参数为2的指数分布，试证η=1-e-2ξ在区间(0，1)上服从均匀分布．设随机变量ξ服从参数为2的指数分布，试证η=1-e-2ξ在区间(0，1)上服从均匀分布．因为ξ服从参数为2的指数分布，则概率密度函数为        分布函数    在x≥0时，y=1-e-2x的反函数是，有            故服从均匀分布． 10. 已知f(x)=sinx，f[φ(x)]=1-x2，且，则φ(x)=______．已知f(x)=sinx，f[φ(x)]=1-x2，且，则φ(x)=______．arcsin(1-x2)()11. 函数设f(x＋1)＝x2＋2x—5，则f(x)＝_______．设f(x＋1)＝x2＋2x—5，则f(x)＝_______．正确答案：f(x)＝x2—6．f(x)＝x2—6．12. 一厂商经营两个工厂，生产同一种产品在同一市场销售，两个工厂的成本函数分别为 C1＝3Q12＋2Q1＋6，一厂商经营两个工厂，生产同一种产品在同一市场销售，两个工厂的成本函数分别为 C1＝3Q12＋2Q1＋6， C2＝2Q22＋2Q2＋4 而价格函数为 P＝74－6Q，Q＝Q1＋Q2 厂商追求最大利润．试确定每个工厂的产出．正确答案：厂商的收益函数为 R＝PQ＝74Q－6Q2＝74(Q1＋Q2)－6(Q1＋Q2)2\r\n 利润函数为 L＝R－C1－C2＝72Q1＋72Q2－9Q12－8Q22－12Q1Q2－10\r\n 由极值存在的必要条件和充分条件可求得每个工厂的产出分别为Q1＝2Q2＝3时厂商的利润最大．厂商的收益函数为R＝PQ＝74Q－6Q2＝74(Q1＋Q2)－6(Q1＋Q2)2利润函数为L＝R－C1－C2＝72Q1＋72Q2－9Q12－8Q22－12Q1Q2－10由极值存在的必要条件和充分条件可求得,每个工厂的产出分别为Q1＝2,Q2＝3时,厂商的利润最大．13. f(x)=sin(x2)，则f(x)在x=0处的极限不存在。

)f(x)=sin(x2)，则f(x)在x=0处的极限不存在 )正确答案： ×14. 设A={a1，a2，a3，a4，a5}，R是A上的二元关系，其关系矩阵 试说明关系R不是传递关系设A={a1，a2，a3，a4，a5}，R是A上的二元关系，其关系矩阵  试说明关系R不是传递关系由于a12=1，a24=1，所以有(a1，a2)∈R和(a2，a4)∈R，但a14=0，即(a1，a4)R，由此说明R不是传递关系15. 证明空间P1(5，3，-2)，P2(4，1，-1)与P3(2，-3，1)三点共线．证明空间P1(5，3，-2)，P2(4，1，-1)与P3(2，-3，1)三点共线．由于向量因此向量平行，即P3位于过P1，P2的直线上，也就是P1，P2，P3三点共线．16. (如图所示)设A，B，C是不共线的3点，它们决定一平面Ⅱ，则点P在Ⅱ上的充要条件是存在唯一的数组(λ，μ，γ)，)使得(如图所示)设A，B，C是不共线的3点，它们决定一平面Ⅱ，则点P在Ⅱ上的充要条件是存在唯一的数组(λ，μ，γ)，)使得    其中O是任意的一点，P在△ABC内的充要条件是*与λ≥0，μ≥0，γ≥0同时成立。

   若点，则与，共面，，或    取1-l-k=λ，μ=k，则    ，λ+μ+γ=1    *部分证明：在ΔABC内成立．，且    ，，0≤l≤1，且0≤k+l≤1即μ≥0，r≥0，，μ≥0，γ≥0，λ+μ+r=1，且在△ABC内． 17. 某公司用自动灌装机灌装营养液，设自动灌装机的正常灌装量ξ～N(100，1.22)，现测量9支灌装样品的灌装量(单位：g)某公司用自动灌装机灌装营养液，设自动灌装机的正常灌装量ξ～N(100，1.22)，现测量9支灌装样品的灌装量(单位：g)为：  99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，102.1，100.5，99.5  问在显著性水平α=0.05下，已知σ2=1.44． 因为ξ～N(100，1.44)，n=9．    ①提出假设．H0：μ=μ0=100．    ②找统计量．．    ③求临界值．对给定的α=0.05，查正态分布表得，满足P(|U|≥uα/2)=0.05的临界值为uα/2=1.96．    ④求观察值．由，计算得．    ⑤作出判断．因为|U|=0.5＜1.96，所以接受H0，即认为灌装量符合标准．$已知期望μ=100，因为ξ～N(100，1.44)，n=9．    ①提出假设．H0：．    ②找统计量．．    ③求临界值．对给定的α=0.05，查χ2分布表，求出临界值        ④求观察值．计算，得出．    ⑤作出判断．由于2.7＜10.17＜19，因此接受H0，即认为灌装精度在标准范围内． 18. 椭球面围成的几何体的体积是______。

椭球面围成的几何体的体积是______32π19. 在曲线y=x3上哪一点的切线平行于直线y-12x-1=0?哪一点的法线平行于直线y+12x-1=0?在曲线y=x3上哪一点的切线平行于直线y-12x-1=0?哪一点的法线平行于直线y+12x-1=0?y'=3x2曲线y=x3上点(x，y)处切线斜率k=3x2；    曲线y=x3上点(x，y)处法线斜率．    直线y-12x-1=0的斜率k1=12．    今3x2=12x2=4x=±2．    在曲线y=x3上点(-2，-8)和点(2，8)处的切线平行于。