福建师范大学2022年3月《复变函数》期末考核试题库及答案参考74.docx

福建师范大学2022年3月《复变函数》期末考核试题库及答案参考1. 2xydy=(2y2－x)dx．2xydy=(2y2-x)dx．2. 关于函数的连续性、可微性的正确结论是( )． A．除两个点是第一类间断点外处处连续可导． B．f(x)在(-∞，+∞)连关于函数的连续性、可微性的正确结论是(  )．  A．除两个点是第一类间断点外处处连续可导．  B．f(x)在(-∞，+∞)连续，仅有一个不可导点．  C．f(x)在(-∞，+∞)连续，仅有两个不可导点．  D．f(x)处处可导．C3. 一个概率为0或概率为1的事件是一个几乎确定的事件，因而与任一随机事件独立，这种说法是否成立?一个概率为0或概率为1的事件是一个几乎确定的事件，因而与任一随机事件独立，这种说法是否成立?成立．我们可严格地表述为：设P(A)=0或1，则A与任一事件B独立．不妨设P(A)=0(P(A)=1同样可证)，P(A)且P(AB)=0，，导致P(AB)≤P(A)=0，于是P(AB)=0，所以    P(AB)=0=P(A)P(B)，此即A，B独立 4. 就k的取值，讨论方程kx+lnx=0的实根的个数及所在区间．就k的取值，讨论方程kx+lnx=0的实根的个数及所在区间．(几何法)考虑曲线y=lnx与y=-kx的关系知，若k≥0，则方程有唯一实根；k=0时，根为x=1，k＞0时，根在(0，1)区间，如图4.47所示．因此，讨论k＜0的情况．      过原点，作y=lnx的切线y=ax，则在交点lnx=ax处有，故x=e，a=e-1，即直线与y=lnx相切于点(e，1)，于是知：    若-k＞e-1即k＜-e-1时，方程无实根    若-k=e-1，即k=-e-1时，方程有重根x=e．    若k＞-e-1，则方程有两个根x1＜x2，其中x1在(1，e)内，x2在(e，+∞)内．    讨论的结果如下：    当k＞0，方程有唯一实根在(0，1)内；    当k=0，方程有唯一实根x=1．    当-e-1＜k＜0方程有两根其中小根在(1，e)内，大根在(e，+∞)内；    当k=-e-1，方程有重根x=e；    当k＜-e-1，方程无实根． 5. 试证明一棵二元完全树必有奇数个结点．试证明一棵二元完全树必有奇数个结点．方法一：设二元完全树T有n个结点，m条边．依定义，T中每个分支结点都关联两条边，所以m必为偶数．又因为T是树，有n=m+1，故n为奇数，因此二元完全树必有奇数个结点    方法二：设二元完全树T有n个结点，l片叶子，b个分支结点，则有n=l+b及b=l-1，所以n=l+b=l+l-1=2l-1，即n为奇数．本题可根据二元完全树的特点，树和图中边、结点的关系，经综合考虑得出结论。

6. 有A、B两家生产小型电子计算器工厂，其中A厂研制出一种新型袖珍计算器为推出这种新产品加强与B厂竞争，考虑了有A、B两家生产小型电子计算器工厂，其中A厂研制出一种新型袖珍计算器为推出这种新产品加强与B厂竞争，考虑了3个竞争对策：(1)将新产品全面投入生产；(2)继续生产现有产品，新产品小批量试产试销；(3)维持原状，新产品只生产样品征求意见B厂了解到A厂有新产品情况下也考虑了3个策略：(1)加速研制新计算器；(2)对现有计算器革新；(3)改进产品外观和包装由于受市场预测能力限制，表3-4只表明双方对策结果的大致的定性分析资料(对A厂而言)若用打分办法，一般记为0分，较好打1分，好打2分，很好打3分，较差打-1分，差为-2分，很差为-3分试通过对策分析，确定A、B两厂各应采取哪一种策略？表3-4A厂策略B厂策略1231较好好很好2一般较差较好3很差差一般A、B两厂均采取策略17. 设X为随机变量，E(X)=μ，D(x)=σ2，当( )时，有E(Y)=0，D(Y)=1 A．Y=σX+μ B．Y=σX-μ C． D．设X为随机变量，E(X)=μ，D(x)=σ2，当(  )时，有E(Y)=0，D(Y)=1  A．Y=σX+μ  B．Y=σX-μ  C． D．C8. Z和L两人进行乒乓球决赛，规定谁连胜两场或总数先胜三场，谁就获得冠军．请将本次决赛可能的比赛场次用根树来Z和L两人进行乒乓球决赛，规定谁连胜两场或总数先胜三场，谁就获得冠军．请将本次决赛可能的比赛场次用根树来表示．9. 求下列函数的差分： (1)yx＝c(c为常数)，求△yx． (2)yx＝x2＋2x，求△2yx． (3)yx＝ax(a＞0，a≠1)，求△2yx．求下列函数的差分： (1)yx＝c(c为常数)，求△yx． (2)yx＝x2＋2x，求△2yx． (3)yx＝ax(a＞0，a≠1)，求△2yx． (4)yx＝logax(a＞0，a≠1)，求△2yx． (5)yx＝sinax，求△yx． (6)yx＝x3＋3，求△3yx．正确答案：10. 拟完美序列α的周期自相关函数的的旁瓣值都等于多少?A、0.0B、2.0C、－1.0D、－2.0拟完美序列α的周期自相关函数的的旁瓣值都等于多少?A、0.0B、2.0C、-1.0D、-2.0正确答案： C11. 设函数，在x=0处连续，则k=______．设函数，在x=0处连续，则k=______．2        因为f(x)在x=0处连续，所以，从而，k=2．    故应填2． 12. 具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的3阶常系数齐次微分方程是( )． A．y&39;"-y"-y&39;+y=0 B．y具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的3阶常系数齐次微分方程是(  )．  A．y'"-y"-y'+y=0  B．y'"+y"-y'-y=0  C．y'"-6y"+11y'-6y=0  D．y'"-2y"-y'+2y=0B将y1=ev代入上述四个选项，可将(C)淘汰．    将y2=2xe-x代入其余三个选项，可知，仅有(B)正确，且y3=3ex亦满足(B)． 13. 设随机变量(ξ，η)在区域{(x，y):a＜x＜b，c＜y＜d}内服从均匀分布，求：设随机变量(ξ，η)在区域{(x，y):a＜x＜b，c＜y＜d}内服从均匀分布，求：区域D的面积A=(b-a)(d-c)，所以(ξ，η)的联合分布密度为    $ 14. 使用最小平方法配合趋势直线时，求解a、b参数值的那两个标准方程式为______。

使用最小平方法配合趋势直线时，求解a、b参数值的那两个标准方程式为______∑y=na+b∑t    ∑ty=a∑t+b∑t2 15. 设x2+y2+z2=0，求，.设x2+y2+z2=0，求，.法一  将方程x2+y2+z2-4z=0中的z视为x、y的隐函数，对x求偏导数有        得：；    类似可得：    .    法二  令F(x，y，z)=x2+y2+z2-4z    把F(x，y，z)看成三个相互独立变量x，y，z的函数.    则    ，，；    ；     16. 把一个多项式进行因式分解是有固定统一的方法，即辗转相除法 )把一个多项式进行因式分解是有固定统一的方法，即辗转相除法 )正确答案： ×17. 证明：若三角级数 中的系数an，bn满足关系 M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导数证明：若三角级数    中的系数an，bn满足关系    M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导数由所给条件：可知        即    而，有        及级数收敛，可知三角级数        为绝对一致收敛    其中a0为某一实数    又设    则    由于        及收敛，所以级数一致收敛，由定理13.12可知此级数的和函数连续，由定理13.14可知        即级数的和函数具有连续的导函数 18. 某厂家生产的一种电子设备的寿命X(年)服从参数θ=4的指数分布．若售出的设备在一年内损坏，厂家予以调换，调换某厂家生产的一种电子设备的寿命X(年)服从参数θ=4的指数分布．若售出的设备在一年内损坏，厂家予以调换，调换一台设备，厂家亏损300元，否则厂家赢利100元，求厂家售出一台设备赢利的数学期望．E(Y)=-300(1-e-1/4)+100e-1/4=400e-1/4-300≈11.52．19. 下列等式中是微分方程的有( )． A．u&39;v+uv&39;=(uv)&39; B．y&39;-ex=cosx C． D．y"+3y&39;+下列等式中是微分方程的有(  )．  A．u'v+uv'=(uv)'  B．y'-ex=cosx  C．  D．y"+3y'+8y=4exBD选项(A)中，u'v+uv'=(uv)'是求导公式，对于任何函数，左右两边恒等，因此不是微分方程；    选项(B)中，可将y视为关于x的未知函数，并且出现了y的导数形式，因此是微分方程；    选项(C)中，对于任何函数，左右两边恒等，因此不是微分方程．    选项(D)中，可将y视为关于x的未知函数，并且出现了y的导数形式，因此是微分方程． 20. 设y＝f(x2＋b)其中b为常数，f存在二阶导数，求y〞．设y＝f(x2＋b)其中b为常数，f存在二阶导数，求y〞．正确答案：×yˊ＝fˊ(x2＋b)×2xy〞＝f〞(x。

＋b)×2x×2x＋fˊ(x2＋b)×2＝4x2f〞(x2＋b)＋2fˊ(x2＋b)21. 不能被5整除的数是A、115.0B、220.0C、323.0D、425.0不能被5整除的数是A、115.0B、220.0C、323.0D、425.0正确答案：C22. 设f(x)在[a，b]上连续，且对一切不大于正整数N的非负整数n，都有∫abxnf(x)dx=0，试证f(x)在(a，b)内至少有N+1个设f(x)在[a，b]上连续，且对一切不大于正整数N的非负整数n，都有∫abxnf(x)dx=0，试证f(x)在(a，b)内至少有N+1个零点．如果f(x)≡0，则结论显然成立．    如果f(x)≠0，则可以证明，至少存在N+1个点x1，x2，…，xN+1∈(a，b)，x1＜x2＜…＜xN+1，使得f(x)在xk(k=1，2，…，N+1)的左、右邻域内符号相反．事实上，假设这样的点只有m个，m≤N，不妨设x∈(a，x1)时，f(x)≥0，x∈(x1，x2)时，f(x)≤0，依此类推．令p(x)=(x1-x)(x2-x)…(xm-x)，则当x∈(a，b)时，f(x)p(x)≥0，且f(x)p(x)≠0，于是由f(x)p(x)的连续性知    ∫abf(x)p(x)dx＞0    (1)    另一方面，由于p(x)是x的m次多项式，且m≤N，所以由题设条件得    ∫abf(x)p(x)dx=0    但这与(1)式相矛盾，因此至少存在N+1个点x1，x2，…，xN+1属于(a，b)，使得f(x)在xk(k=1，2，…，N+1)的。