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龙格-库塔方法ppt课件.ppt

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    • 我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物得到高精度方法的一个直接想法是利用Taylor展开假设式 y =f(x,y) (axb) 中的 f(x,y) 充分光滑,将y(xi+1)在x i点作Taylor展开,若取右端不同的有限项作为y(xi+1)的近似值,就可得到计算y(xi+1)的各种不同截断误差的数值公式例如:取前两项可得到9.4 龙格库塔方法2022/1/11我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物其中P阶泰勒方法若取前三项,可得到截断误差为O(h3)的公式 类似地,若取前P+1项作为y(xi+1)的近似值,便得到2022/1/12我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物显然p=1时, y i+1=y i+hf(xi,y i)它即为我们熟悉的Euler方法当p2时,要利用泰勒方法就需要计算f(x,y)的高阶微商。

      这个计算量是很大的,尤其当f(x,y)较复杂时,其高阶导数会很复杂因此,利用泰勒公式构造高阶公式是不实用的但是泰勒级数展开法的基本思想是许多数值方法的基础R-K方法不是直接使用Taylor级数,而是利用它的思想2022/1/13我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物9.4.1 龙格-库塔(R-K)法的基本思想Euler公式可改写成 则yi+1的表达式与y(xi+1)的Taylor展开式的前两项完全相同,即局部截断误差为O(h2)Runge-Kutta 方法是一种高精度的单步法,简称R-K法2022/1/14我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物同理,改进Euler公式可改写成 上述两组公式在形式上共同点:都是用f(x,y)在某些点上值的线性组合得出y(xi+1)的近似值yi+1, 且增加计算的次数f(x,y)的次数,可提高截断误差的阶如欧拉法:每步计算一次f(x,y)的值,为一阶方法改进欧拉法需计算两次f(x,y)的值,为二阶方法。

      局部截断误差为O(h3)2022/1/15我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物 于是可考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式,构造时要求近似公式在(xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式的前面几项重合,从而使近似公式达到所需要的阶数既避免求高阶导数,又提高了计算方法精度的阶数或者说,在xi,xi+1这一步内多计算几个点的斜率值,然后将其进行加权平均作为平均斜率,则可构造出更高精度的计算格式,这就是龙格库塔(Runge-Kutta)法的基本思想 2022/1/16我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物一般龙格库塔方法的形式为*7其中ai,bij,ci为待定参数,要求上式yi+1在点(xi,yi)处作Tailor展开,通过相同项的系数确定参数称为P阶龙格库塔方法我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物Runge-Kutta方法的推导思想对于常微分方程的初值问题的解y=y(x),在区间xi, xi+1上使用微分中值定理,有即2022/1/18我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物引入记号就可得到相应的Runge-Kutta方法2022/1/19我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物如下图即则上式化为即Euler方法Euler方法也称为一阶Runge-Kutta方法2022/1/110我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物9.4.2 二阶龙格库塔法 在xi, xi+1上取两点xi和xi+a2= xi +a2h,以该两点处的斜率值K1和K2的加权平均(或称为线性组合)来求取平均斜率k*的近似值K,即 式中:K1为xi点处的切线斜率值 K1 =hf(xi, yi)=hy(xi) K2为xi +a2h点处的切线斜率值,比照改进的欧拉法,将xi+a2视为xi+1,即可得 确定系数 c1、c2、a2、b21 ,可得到有2阶精度的算法格式2022/1/111我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物因此 将y(xi+1)在x=xi处进行Taylor展开: 将 在x=xi处进行Taylor展开: 2022/1/112我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物*13K1 =hf(xi, yi)我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物这里有 4 个未知数,3 个方程。

      存在无穷多个解所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式令 对应项的系数相等,得到 2022/1/114我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物注意到, 就是二阶龙格 - 库塔公式,也就是改进的欧拉法 因此,凡满足条件式有一簇形如上式的计算格式,这些格式统称为二阶龙格库塔格式因此改进的欧拉格式是众多的二阶龙格库塔法中的一种特殊格式 2022/1/115我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物若取 ,就是另一种形式的二阶龙格 - 库塔公式 此计算公式称为变形的二阶龙格库塔法式中 为区间 的中点也称中点公式 Q:为获得更高的精度,应该如何进一步推广?2022/1/116我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物 二级R-K方法是显式单步式,每前进一步需要计算两个函数值由上面的讨论可知,适当选择四个参数c1,c2,a2, b21,可使每步计算两次函数值的二阶R-K方法达到二阶精度。

      能否在计算函数值次数不变的情况下,通过选择不同的参数值,使得二阶R-K方法的精度再提高呢? 答案是否定的!无论四个参数怎样选择,都不能使公式的局部截断误差提高到三阶 这说明每一步计算两个函数值的二阶R-K方法最高阶为二阶若要获得更高阶得数值方法,就必须增加计算函数值的次数2022/1/117我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物9.4.3 三阶龙格库塔法*18 为进一步提高精度,在区间xi, xi+1上除两点xi和xi+a2= xi +a2h,以外,再增加一点xi+a3= xi +a3h ,用这三点处的斜率值K1、K2和K3的加权平均得出平均斜率K*的近似值K,这时计算格式具有形式: 我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物 同理推导二阶公式,将y(xi+1)和yi+1在x=xi处进行Taylor展开,使局部截断误差达到O(h4),使对应项的系数相等,得到系数方程组:2022/1/119我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物参数的选择不唯一,从而构成一类不同的三阶R-K公式,下面给出一种常用的三阶R-K公式,形似simpson公式:2022/1/120我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物9.4.4 四阶(经典)龙格库塔法 如果需要再提高精度,用类似上述的处理方法,只需在区间xi,xi+1上用四个点处的斜率加权平均作为平均斜率K*的近似值,构成一系列四阶龙格库塔公式。

      具有四阶精度,即局部截断误差是O(h5) 推导过程与前面类似,由于过程复杂,这里从略,只介绍最常用的一种四阶经典龙格库塔公式 2022/1/121我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物 K1=hf (xi, yi) K2=hf (xi+a2h, yi+b21K1) K3=hf (xi+a3h, yi+b31K1+b32K2) K4=hf (xi+a4h, yi+b41K1+b42K2+b43K3) 其中c1、c2、c3、c4、a2、a3、a4、b21、b31、b32、b41、b42、b43均为待定系数这里K1、K2、K3、K4为四个不同点上的函数值,分别设其为 设yi+1=yi+c1K1+c2K2+c3K3+c4K42022/1/122我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物 类似于前面的讨论,把K2、K3、K4分别在xi点展成h的幂级数,代入线性组合式中,将得到的公式与y(xi+1)在xi点上的泰勒展开式比较,使其两式右端直到h4的系数相等,经过较复杂的解方程过程便可得到关于ci,ai,bij的一组特解 a2=a3=b21=b32=1/2 b31=b41=b42=0 a4=b43=1 c1=c4=1/6 c2=c3=1/3 2022/1/123我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物四阶(经典)Runge-Kutta方法2022/1/124我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物例1. 使用高阶R-K方法计算初值问题解:(1) 使用三阶R-K方法2022/1/125我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物其余结果如下:(2) 如果使用四阶R-K方法 i xi k1 k2 k3 yi 1.0000 0.1000 0.1000 0.1103 0.1256 1.1111 2.0000 0.2000 0.1235 0.1376 0.1595 1.2499 3.0000 0.3000 0.1562 0.1764 0.2092 1.4284 4.0000 0.4000 0.2040 0.2342 0.2866 1.6664 5.0000 0.5000 0.2777 0.3259 0.4163 1.9993*26我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错。

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