201x九年级数学下册第三章圆3.6直线与圆的位置关系第2课时切线的判定及三角形的内切圆教学北师大版.ppt

3.6 直线和圆的位置关系导入新入新课讲授新授新课当堂当堂练习课堂小堂小结第三章 圆第2课时 切线的判定及三角形的内切圆精选课件1.理解并掌握圆的切线的判定定理及运用.（重点）2.三角形的内切圆和内心的概念及性质.（难点）学学习目目标精选课件砂轮上打磨工件时飞出的火星 下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？导入新入新课情境引入情境引入精选课件讲授新授新课圆的切的切线的判定的判定一问题1 如图，OA是⊙O的半径， 经过OA 的外端点A， 作一条直线l⊥OA，圆心O 到直线l 的距离是多少？ 直线l 和⊙O有怎样的位置关系？合作探究合作探究ll精选课件 圆心心O到直到直线l的的距离等于半径距离等于半径OA.由由圆的切的切线定定义可知直可知直线l 与与圆O 相切相切.ll精选课件过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.OA为为⊙ ⊙O的半径BCBC ⊥⊥ OA于ABCBC为为⊙ ⊙O的切线ＯABC 切线的判定定理应用格式O要点要点归纳精选课件下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是，因为没有垂直.(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A. 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.注意注意判一判判一判精选课件判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd要点要点归纳精选课件用三角尺用三角尺过圆上一点画上一点画圆的切的切线.做一做做一做（2） 过点P 沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l 就是所要画的切线.如图所示.如下图所示，已知⊙O 上一点P，过点P 画⊙O 的切线．画法：（1）连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P处， 并使一直角边与半径OP 重合；为什么画出来的直线l是⊙O的切线呢？精选课件例1 已知：直线AB经过⊙ ⊙O上的点C，并且OA=OB，，CA=CB.求证：直线AB是⊙ ⊙O的切线.O OB BA AC C证明：连接OC. . ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰△OAB底边AB上的中线. .　　 ∴∴ AB⊥⊥OC. ∵ ∵ OC是⊙ ⊙O的半径, ∴∴ AB是⊙ ⊙O的切线. .典例精析典例精析精选课件 例2 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．BOCEA分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.F精选课件证明：明：连接OE ，，OA, 过O 作OF ⊥⊥AC.∵⊙∵⊙O 与AB 相切于E ，， ∴∴OE ⊥⊥ AB.又∵∵在△△ABC 中，，AB ＝＝AC ，，　　　　O 是BC 的中点．．∴∴AO 平分∠∠BAC，，FBOCEA∴∴OE ＝＝OF.∵∵OE 是⊙ ⊙O 半径，，OF ＝＝OE，，OF ⊥⊥ AC.∴∴AC 是⊙ ⊙O 的切线．．又∵OE ⊥⊥AB ，，OF⊥⊥AC.精选课件(1) 已明确直线和圆有公共点，连结圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”;(2) 不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直,证半径”.方法方法归纳证切切线时辅助助线的添加方法的添加方法例1例2精选课件三角形的内切三角形的内切圆及内心及内心二例3 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆O.分析：如果圆O与△ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等.半径到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是∠A 的__________与∠B的___________的___点.平分线平分线交精选课件作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.MND精选课件观察与思考察与思考与△ABC的三条边都相切的圆有几个？因为∠B和∠C的平分线的交点只有一个,并且交点O到△ABC三边的距离相等且唯一，所以与△ABC三边都相切的圆有且只有一个.D精选课件1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.B2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.4.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.┐ACO┐┐DEF3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心.概念学概念学习精选课件名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.内心在三角形内部．ABOABCO填一填填一填精选课件例4 △ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠ A=70°，求∠ BOC的度数。

ABCO解：∵∠ A=70°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠ A=110°∵⊙O是△ABC的内切圆∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线即∠ OBC= ∠ABC ∠OCB= ∠ACB 典例精析典例精析精选课件∴∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠OCB) =180°- ( ∠ABC +∠ACB) =180° - ×110° = 125°.ABCO精选课件1.判断下列命题是否正确.⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线.⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线.⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.(5)三角形的内心是三角形三个角平分线的交点.(6) 三角形的内心到三角形各边的距离相等. (7)三角形的内心一定在三角形的内部.（（×））（（×））（（√ ））（（√ ））（（√ ））当堂当堂练习（（ √ ））（（ √ ））精选课件2.如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于(　　)A．40°B．55°C．65°D．70°解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°.∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OFA＝110°，∴∠EDF＝ ∠EOF＝55°.B精选课件·BDEFOCA3.如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,求△ABC的面积S.解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC＝ AB·OD＋ BC·OE＋ AC·OF＝ l·r精选课件设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，则△ABC的内切圆的半径r＝ ;当△ABC为直角三角形，a,b为直角边时,r = .2sa＋b＋caba＋b＋c知知识拓展拓展精选课件证明：连接OP. ∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OPB=∠C. ∴OP∥∥AC. ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP. ∴PE为⊙O的切线.4.如图,△△ABC中，AB=AC，，以AB为直径的⊙ ⊙O交边BC于P，， PE⊥⊥AC于E. 求证:PE是⊙ ⊙O的切线.O OA AB BC CE EP P精选课件5.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．MN精选课件6.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.（1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）： ① _________ ；② _____________ .（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.BA⊥EF∠CAE=∠BAFEOAFEOBCBC图1图2精选课件证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.∴ ∠D+ ∠DAC=90 °,∵ ∠D与∠B同对 ,∴ ∠D= ∠B,又∵ ∠CAE= ∠B,∴ ∠D= ∠CAE,∴ ∠DAC+ ∠EAC=90°,∴EF是☉O的切线.AFEOBC图2D精选课件7.如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D.(1)证明：∵E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.即∠DBE＝∠DEB，故BD＝ED；(1)求证：BD＝ED；精选课件(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的长．(2)解：∵AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3，∴DF＝ AD＝ ×8＝2(cm)．∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴ , ∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，∴BD＝4cm，又∵BD＝DE，∴DE＝4cm.精选课件切线的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相切经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径.课堂小堂小结三角形内切圆有关概念内心概念及性质精选课件。