数字信号处理习题集(1_3章)-40页.pdf

第一章数字信号处理概述简答题：1 在 A/D 变换之前和D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D 变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2 倍的条件 此滤波器亦称位 “抗折叠”滤波器在 D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器判断说明题：2模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了需要增加采样和量化两道工序3一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理答：受采样频率、 有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到 因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础第二章离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T表示采样周期（假设T足够小，足以防止混迭效应），把从)()(tytx到的整个系统等效为一个模拟滤波器。

a）如果kHzTradnh101,8)(截止于，求整个系统的截止频率b）对于kHzT201，重复（ a）的计算采样（T）nhnxtxnyD/A理想低通Tcty解 （a）因为当0)(8jeHrad时，在数 模变换中)(1)(1)(TjXTjXTeYaaj所以)(nh得截止频率8c对应于模拟信号的角频率c为8Tc因此HzTfcc6251612由于最后一级的低通滤波器的截止频率为T，因此对T8没有影响， 故整个系统的截止频率由)(jeH决定，是625Hzb）采用同样的方法求得kHzT201，整个系统的截止频率为HzTfc1250161二、离散时间信号与系统频域分析计算题：2设序列)(nx的傅氏变换为)(jeX，试求下列序列的傅里叶变换1）)2( nx（2）)(* nx（共轭）解： （1）)2( nx由序列傅氏变换公式DTFTnnjjenxeXnx)()()可以得到DTFT2)()2()2(njnnjnenxenxnx为偶数)()(21)(21)(21)(21)(21)() 1()(2122)2(2)2(22jjjjnjnnjnnjnneXeXeXeXenxenxenxnx（2）)(* nx（共轭）解： DTFT)(*)()(*)(*jnnjnjneXenxenxnx3计算下列各信号的傅里叶变换。

a）2nun（b）2)41(nun（c）24n（d）nn)21(解： （a）022)(nnjnnjnneenuXjnnjee2111)21(0（b）2)41(241)(nnjnnjnneenuX）（jjmmjmeee41116)41(20)2(2（c）224)(jnnjnjneenenxX（d） 12111211121)(?jjnjnneeeX）（利用频率微分特性，可得22)211 (121)211(121)()(jjjjeeeedXdjX4序列)(nx的傅里叶变换为)(jweX，求下列各序列的傅里叶变换 1）)(*nx（2）)(Renx(3) )(nnx解：（1）)(*)()(*)(*jwnnjwnjwneXenxenx（2）njwjwjwnnjwneXeXenxnxenx)()(21)()(21)(Re（3）dwedXjenxdwdjdwendxjennxjwnjwnnjwnnjwn)()()(1)(5序列)(nx的傅里叶变换为)(jweX，求下列各序列的傅里叶变换1）)(nx（2）)(Imnxj(3) )(2nx解： （1）)()()()()()(jwnnwjnnwjnjwneXenxenxenx（2）)()(21)()(21)()(21)()(21)(jwjwnnwjjwnnjwnjwnjwnneXeXenxeXenxenxenxnx（3）)()(21)()(21)()(21)()()(2jwjwjjnnnwjjnjwneXeXdeXeXenxdeXenx6令)(nx和)(jweX表示一个序列及其傅立叶变换，利用)(jweX表示下面各序列的傅立叶变换。

1）)2()(nxng（2）为奇数为偶数nnnxng02)(解： （1）为偶数kkwkjnjnwnjnwjwekxenxengeG2)()2()()()()(2121)(21)(21)(21)(21)(21)()1()(2122)2(2)2(2222wjwjwjwjkwjkwjkwjkjkwjkkwkjkeXeXeXeXekxeXeekxekxekxkx（2）)()()2()()(222wjrwjrrrwjnjnwjweXerxergengeG7求下列序列的时域离散傅里叶变换)( nx，)(Renx，)(0nx解：)()()()(jnjeXenxnx)()()(21)()(21)(RejejjnjeXeXeXenxnxnx)(Im)()(21)(0jnjjeXjenxnxenx三、离散时间系统系统函数填空题：1设)(zH是线性相位FIR 系统，已知)(zH中的 3 个零点分别为1，0.8，1+j，该系统阶数至少为（） 解：由线性相位系统零点的特性可知，1z的零点可单独出现，8.0z的零点需成对出现，jz1的零点需4 个 1 组，所以系统至少为7 阶简答题：1何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数)(minZH有何特点？解：一个稳定的因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式NkkkMrrrZaZbZQZPZH101)()()(，他的所有极点都应在单位圆，即1k。

但零点可以位于 Z 平面的任何地方 有些应用中， 需要约束一个系统， 使它的逆系统)(1)(ZHZG也是稳定因果的这就需要)(ZH的零点也位于单位圆，即1r一个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位等价的， 我们有如下定义定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆，则有最小相位一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值)(jweH唯一确定 从jwe求)(ZH的过程如下：给定jwe， 先求2jwe， 它是)cos(kw的函数然后，用)(21kkZZ替代)cos(kw，我们得到)()()(1ZHZHZG最后，最小相位系统由单位圆的)(ZG的极、零点形成一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即)()()(minZHZHZHap完成这个因式分解的过程如下：首先，把)(ZH的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆的共轭倒数点， 这样形成的系统函数)(minZH是最小相位的 然后，选择全通滤波器)(ZHap，把与之对应的)(minZH中的零点映射回单位圆外2何谓全通系统？全通系统的系统函数)(ZHap有何特点？解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数)(ZHap对应的傅里叶变换幅值1)(jweH，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即NkkkNkkkMrrrapZZZaZbZQZPZH1111011)()()(。

因而，如果在kZ处有一个极点，则在其共轭倒数点kZ1处必须有一个零点3有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式解：频率响应：njjenheH)()(系统函数：nZnhZH)()(差分方程：)()(1ZXZYZ卷积关系：)()()(nxnhny第三章 离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数计算题：1如果)(nx是一个周期为 N的周期序列， 那么它也是周期为2N的周期序列 把)(nx看作周期为 N的周期序列有)()(1kXnx（周期为 N） ；把)(nx看作周期为 2N的周期序列有)()(2kXnx（周期为 2N） ；试用）（kX1表示）（kX2解：101021)()()(NnNnknNjknNenxWnxkXnkNjNNnNnNnnkNjknNenxenxWnxkX2212120102222)()()()(对后一项令Nnn，则1010)(22222)()()(NnNnNnkNjnkNjeNnxenxkX)2()1()()1(1022kXeenxejkNnnkNjjk所以0)2(2)(12kXkX为奇数为偶数kk二、离散傅立叶变换定义填空题1某 DFT 的表达式是10)()(NkklMWkxlX，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（） 。

解：M22某序列 DFT的表达式是10)()(NkklMWkxlX，由此可看出，该序列的时域长度是（） ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（） 解：N M23 如 果 希 望 某 信 号 序 列 的 离 散 谱 是 实 偶 的 ， 那 么 该 时 域 序 列 应 满 足 条 件（） 解：纯实数、偶对称4 采样频率为HzFs的数字系统中， 系统函数表达式中1z代表的物理意义是 （） ，其中时域数字序列)(nx的序号n代表的样值实际位置是（） ；)(nx的N点DFT)kX（中，序号k代表的样值实际位置又是（） 解：延时一个采样周期FT1，FnnT，kNk25用 8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的 DFT 则频域抽样点之间的频率间隔f为_,数字角频率间隔w为_和模拟角频率间隔_解： 15.625，0.0123rad ，98.4rad/s 判断说明题：6一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT对它进行分析如果序列是有限长的，就能做DFT 对它进行分析否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真计算题7令)(kX表示 N点的序列)(nx的N点离散傅里叶变换，)(kX本身也是一个 N点的序列。

如果计算)(kX的离散傅里叶变换得到一序列)(1nx，试用)(nx求)(1nx解：1010)(1010101)()()()(NnNknnkNnkNNkNnnkNNknkNWnxWWnxWkXnx因为10)(0NknnkNNW其他Nlnn所以11)()()()(NnNNnRnNxNlnNxnx8序列0 , 0, 1 , 1)(nx，其4点DFT)(kx如下图所示现将)(nx按下列（ 1） ， （2） ，（3）的方法扩展成8点，求它们 8点的DFT？（尽量利用 DFT的特性）nxnkXk（1）)4()()(1nxnxny7430nn（2）0)()(2nxny7430nn（3）0)2()(3nxny奇数偶数nn解： （1）01230,2211kYkkXkY（ 2）30 ,70,2,211112kkkkkXkXkY（ 3）4mod, 30 ,70114113kkkkkXkXkY9设)(nx是一个 2N 点的序列，具有如下性质：)()(nxNnx另设)()()(1nRnxnxN，它的N 点 DFT 为)(1kX，求)(nx的 2N 点 DFT)(kX和)(1kX的关系解：221kXkX推导过程略10试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）（1）)()(nRanxNn（2）)()(nnRnxN解： （1）因为)()(nRanxNn，所以kNjNNnnkNjnaeaeakX210211)(（2）由)()(nnRnxN，得10)()(NnNnkNkRnWkX10)1()()(NnNknNkNkRnWkXW10)1(10)()()1)(NnNknNNnnkNkNkRnWnWWkX)() 1()()1)2(2()1(3211)1(32) 1(32kRWNkRNWNWWWNWWWNNnnkNNkNNkNkNkNNkNkNkN)()(11)1(kNRkRWWNNNkNkN所以)(1)(kRWNkXNkN11计算下列序列的N点DFT：116P（1）。