最小的余数是1还是0.doc

最小的余数是1还是0？最小的余数是1还是0？这个问题你选择哪个答案？当除数是6，余数可以是几？你是填0——5，还是1——5？这都波及余数可不可以是0的问题教材中余数是0被觉得是没有余数，1被觉得是最小的余数但实验教材有不同的理解下面的文章我觉得在所有的参照资料中说得是比较清晰明白的，推荐给同仁们参照转】浅谈在整数除法中余数可觉得零一、 困扰教师的问题不少小学数学教师问过我这样一种问题:“在整数除法中,余数可不可觉得0?”这个问题早有定论,于是我不假思考地肯定作答:“余数固然可觉得0不料对于这一答案,她们并不批准,其理由如下:第一,人教版义务教育课程原则实验教科书《数学》,从一年级上册到六年级下册,里面均无“余数可觉得0”的表述第二,《现代汉语词典》(修订本)(商务印书馆, 1996 年 )第1553页对“余数”一词的解释为:“整数除法中,被除数未被除数整除所剩的不小于0而不不小于除数的部分如27÷6=4…3即不完全商是4,余数是3这就表白余数不能为0在数学课本中找不到“余数可觉得0” 的论述,而在词典中却找到了“余数不能为0”的证据,难怪让她们对我的答案持怀疑态度面对这样一种困扰小学数学界同仁的问题,该如何来正本清源呢?我仔细地查阅了人教版全套小学数学课本,的确没找到“余数可觉得0”的表述,只在三年级下册第26页练习六第3题的指令性语言中,发现了三处“余数为0”的表述。

我懂得,这样的表述既不是出目前正文中,又没有阐明道理,局限性以成为论据课本中没有,看来只有通过合理思辨和有关考证来达到为小学同仁解惑之目的了二、解惑所需的思辨1、要用对立统一的观点看待0众所周知,当盘子中连一种桃子都没有时,我们就说这盘中桃子的个数为0从这个意义上讲,0是空集的基数,0表达“没有”然而,0又是一种拟定的数,它是自然数列的起始数,它既不是正数,也不是负数,它是唯一的中性数从这个意义上讲,0又表达“有”这一点不难理解比方说,小明在黑板上写了一种“0”,你总不能说她什么都没写吧!再比方说,某地某时的气温为0摄氏度,你总不能说该地该时没有温度吧!因此,我们应当用对立统一的辩证观点看待0,懂得0既可表达“无”,又可表达“有”用这一观点考察整数除法,我们不难发现,当15÷5时,得到整数商3,既可以说“没有余数”,也可以说“余数为0”,这两种说法是完全等价的,因而都是对的的2、要用发展变化的观点看待概念间的关系人们对数学概念的结识并非一成不变的,而是处在不断发展变化之中的例如,“整数”与“分数”最初是两个并列的概念,它们互相排斥,泾渭分明,不容混淆然而,出于数学自身发展的需要,后来,人们又把整数看做是分母为1,分子为该整数的假分数,如3=3/1,65=65/1。

这样一来,“分数”的外延就扩大了,“整数”与“分数”的关系也由并列关系转变为涉及关系整数”成了“分数”的特例,整数集成了分数集的真子集原先,整数集与分数集之并集才是有理数集,后来,这种广义的分数集事实上就是有理数集了与此类似,人们研究整数除法时,先研究被除数能被除数整除的情形,如15÷5,正好得到整数商3,记作15÷5=3后来才研究有余数的情形,如16÷5,得到不完全商3后还余1,记作16÷5=3…1起初,“整除”与“有余数的除法”也是并列而互斥的概念,前者没有余数,后者有余数,互不相容后来,为了研究的以便,人们干脆把“有余数的除法”的外延扩大,让它把原先的两个概念一并囊括由于这很容易办到:只要把“整除”时的“没有余数”看做“余数为0”即可这样一来,“整除”就成了“有余数的除法”的特例,“整除”与“有余数的除法”也就顺理成章地由对立变成统一,两者统一于广义的“有余数的除法”之中3、“余数为0”的说法有据可查事实上,“余数为0”的提法早已被数学界承认⑴《小学数学教师手册》(人民教育出版社,1982年)第49页有如下表述:“鉴定一种整数能不能被另一种正整数整除,只需进行除法运算即可如果所得的余数为0,就是整除的状况;如果所得的余数不为0,就是不能整除的状况。

例如:①a=91,b=13a÷b=91÷13,商7余0这表白91=13×7即91能被13整除②a=97,b=1997÷19商5余2因此97不能被19整除一般地,对于整数a和正整数b,如果进行除法a÷b得商q,余数为r,就有a=bq+r其中0≤r⑵《数学手册》(人民教育出版社,1979年)第1057页“数论”的“辗转相除法”中,有如下表述: “每一种整数a可以唯一地通过正整数b表达为a=bq+r, 0≤r上述不等式0≤r值得注意的是,“辗转相除法”又称“欧几里得算法”,国内宋代数学家秦九韶早在公元1247年即在其著作《数书九章》中,对这一算法进行过卓有成效的研究⑶《数学手册》(人民教育出版社,1979年)第1066页“数论”的“同余式”中,有如下表述:“设以m为模,则可将全体整数分为m个类,同类的数都同余,不同类的数都不同余,称这样的类为同余类,每类中各取一数为代表,例如:0,1,2,…,m-1构成一种完全剩余类由此易知,在以0为代表的这个剩余类中,每个数除以m,所得的余数均为0也就是说,此类数中的每一种都是m的倍数事实上,我们不仅从剩余类的理论中,看到了对“余数为0”的承认,还可以运用剩余类的理论和“抽屉原理”来解答一类有关整除性的题目。

载有此类题目并给出解答的数学书籍比比皆是,下面举一例求证:在任意四个整数中,必有这样的两个数,它们的差能被3整除证明:由于任何整数除以3,所得余数只也许是0,1,2三种也就是说,所有整数按其除以3所得余数来分,可分为余数分别为0,1,2的三个剩余类把每个剩余类都看做一种抽屉,三个剩余类就是三个抽屉根据“抽屉原理”,把四个整数放进三个抽屉,至少有一种抽屉里会有两个整数这两个整数既属同一种剩余类,它们除以3所得的余数必然相似,故其差除以3所得的余数必为0,也就是说,这个差必能被3整除三、教材修改的建议综上所述,在整数除法中,余数的确是可觉得0的但在现行的人教版小学数学教材中,对此却完全不予波及,遂令在教学中起主导作用的教师迷茫不解,实在没有道理由此观之,教材必须修改1、教材修改的重要意义⑴有助于学生结识0的双重意义,懂得0既可表达“无”,又可表达“有”使用修改后的教材教学,能让学生初步感知对立统一的辩证思想⑵有助于学生用发展变化的辩证唯物主义观点结识概念间的关系,懂得当学习了“有余数的除法”后,本来的“整除”(涉及“表内除法”)可以看做是“有余数的除法”的特例,由此理解“特殊”与“一般”的关系。

⑶有助于学生后续的数学学习2、教材修改的具体意见⑴ 要明确指出“没有余数”就是“余数为0”人教版小学数学三年级上册第四单元“有余数的除法”第50页例题1为:“搬15盆花布置会场,每组摆5盆,可以摆几组?”解答此题的横式为 15÷5=3(组)接着,课本上还列出了竖式这道例题显然起着承上启下的作用:既承办二年级下册的“表内除法”,又由此简介除法竖式,为“有余数的除法”的教学作铺垫第51页例题2是:“一共有23盆花,每组摆5盆,最多可以摆4组,还多3盆这是“有余数的除法”的首个例题解答时,课本上先列出横式:23÷5=4(组)……3(盆)再在横式下方列出竖式,并用虚线将两个式子中的3连接,标上“余数”二字课本上述编排颇具匠心,但还应作点补充建议在这两道例题背面,不失时机地编排一段对“0”的辩证结识的文字,让学生懂得:“0”虽然表达“没有”,但它同步又是一种拟定的数,从这个意义上讲,“0”也表达“有”紧接着,还要引导学生对这两道例题的竖式进行观测和比较,发现例题1竖式中最下面的“0”与例题2竖式最下面的“3”处在相似的位置,“3”既表达余数,“0”也可当作是余数过去我们说15÷5正好等于3,“没有余数”,目前我们也可说15÷5,商为3,“余数为0”。

相信这样解决,学生能在轻松快乐中接受辩证唯物主义思想的启蒙教育⑵要明确指出除数为a时,共有a种不同的余数:0,1,2,…,a-1三年级上册第52页例题3为:“如果上例中一共有16盆花,可以摆几组?多几盆?如果是17盆,18盆,…,24盆,25盆呢?”课本上列出了一组式子:15÷5=3(组)16÷5=3(组)……1(盆)17÷5=3(组)……2(盆)18÷5=3(组)……3(盆)19÷5=3(组)……4(盆)20÷5=□(组)21÷5= □(组)……□(盆)22÷5= □(组)……□(盆)23÷5=24÷5=25÷5=在这组式子的右边,提了一种问题:“观测余数和除数,你发现了什么?”旨在引导学生发现“余数不不小于除数”的结论此题编得不错,不必大改核心是要增长一段文字,要告诉学生:“15÷5=3(组)”也可写作“15÷5=3(组)……0(盆)”这样,展目前学生面前的余数就有0,1,2,3,4五种,就不会由于余数0的隐匿,而使学生误觉得“一种整数除以5,只有1,2,3,4四种余数”了到四年级学习了“用字母表达数”后,课本还应当用更具概括性的语言告诉学生:在整数除法中,如果除数是a,则余数只能是0,1,2,…,a-1,一共有a种。

当今时代,数学不仅作为工具,发挥着越来越重要的作用,并且,数学作为一种文化,也日益进一步人心近年来,人们对0的双重意义的结识越来越到位了这不,没有距离被称作“零距离”;不收关税被称作“零关税”把没有误差称作“零误差”;把没有风险称为“零风险”而像“零增长” “零收益” “零亏损” “零排放” “零损耗” “零学费” “零片酬”“零首付”“零月租”“零利息”之类的提法早已见诸各媒体随着时间的推移,像此类以“零××”为模式的词汇还在不断地诞生前些时候,美国国务卿希拉里·克林顿由于不满下属的荒唐行为,还首创了“零忍耐”一词,令人颇感新鲜0”本是数学中的元素,在数学的整数除法中,又实实在在地存在着余数为0的现象,而为什么在我们的小学数学教科书上,反倒连一种“零余数”都不敢提呢?这真是:墙外百花齐放,墙内掖掖藏藏令人不解其意,空自扼腕嗟伤!教科书是师生进行教学活动的重要资源和重要根据,该说清的一定要说清,该指明的一定要指明一切都要为学生的发展着想千万别把某些该让孩子们懂得的数学知识“坚壁清野”,并且还藏得那么干净彻底,藏得那么了无痕迹,让教师都困扰莫名试想,如果教科书都让教师 “找不到北”了,那么我们的孩子又能聪颖到哪里去呢?。