弹性力学 平面问题基本理论-31.pptx

§2-8 按位移求解平面问题,平面问题的基本未知量有 𝜎 𝑥 , 𝜎 𝑦 , 𝜏 𝑥𝑦 , 𝜀 𝑥 , 𝜀 𝑦 , 𝛾 𝑥𝑦 ,𝑢,𝑣,根据基本方程即可求解求解方法有：按位移求解；按应力求解；混合求解,按位移求解基本步骤： (1)选取位移分量(𝑢,𝑣)为基本函数;， (2)消去应力分量和形变分量，由只含位移分量的微分方程和边界条件求出位移分量； （3）求其他的未知量推导按位移求解的微分方程和边界条件：,1.微分方程,几何方程：,,物理方程： 平面应力,,（2-16）,将几何方程代入物理方程，有,,代入平衡微分方程,𝜕 𝜎 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜏 𝑦𝑥 𝜕𝑦 + 𝑓 𝑥 =0 𝜕 𝜎 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜏 𝑥𝑦 𝜕𝑥 + 𝑓 𝑦 =0,（2-17）,,得到按位移求解平面应力问题的基本平衡微分方程,（2-18）,2.边界条件,平面问题的应力边界条件：,位移边界条件仍为：,(𝑙 𝜎 𝑥 +𝑚 𝜏 𝑥𝑦 ) 𝑆 = 𝑓 𝑥 (𝑚 𝜎 𝑦 +𝑙 𝜏 𝑥𝑦 ) 𝑆 = 𝑓 𝑦,归纳,按位移求解平面问题，要使位移分量满足平衡微分方程和边界条件，求出位移后，可用物理方程求应力，用几何方程求变形。

P25（2-18）,P25（2-19）,𝐸 1− 𝜇 2 [𝑙 𝜕𝑢 𝜕𝑥 +𝜇 𝜕𝑣 𝜕𝑦 +𝑚 1−𝜇 2 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑥 )] 𝑆 = 𝑓 𝑥 𝐸 1− 𝜇 2 [𝑚 𝜕𝑣 𝜕𝑦 +𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑥 +𝑙 1−𝜇 2 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑥 )] 𝑆 = 𝑓 𝑦,对于平面应变问题，只需将上述方程中的,按位移求解（位移法）的优缺点： 适用性广—可适用于任何边界条件 求函数式解答困难，但在近似解法（变分法、差分法、有限单元法）中有着广泛的应用考虑两端固定的一维杆件，只受重力作用， 𝑓 𝑥 =0, 𝑓 𝑦 =𝜌𝑔(设𝜇=0)试用位移法求解a) (b),§2-9 按应力求解平面问题 相容方程,按应力求解基本步骤(通常只求解全部为应力边界条件的问题)： (1)以应力分量 (𝜎 𝑥 , 𝜎 𝑦 , 𝜏 𝑥𝑦 )为基本函数; (2)由只含应力分量的平衡微分方程和相容方程及边界条件求出应力分量; (3)再求其他的未知量通常只求解全部为应力边界条件的问题,𝜀 𝑥 = 1 𝐸 ( 𝜎 𝑥 −𝜇 𝜎 𝑦 ) 𝜀 𝑦 = 1 𝐸 ( 𝜎 𝑦 −𝜇 𝜎 𝑥 ) 𝛾 𝑥𝑦 = 2(1+𝜇) 𝐸 𝜏 𝑥𝑦,𝜕 𝜎 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜏 𝑥𝑦 𝜕𝑦 + 𝑓 𝑥 =0 𝜕 𝜎 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜏 𝑥𝑦 𝜕𝑥 + 𝑓 𝑦 =0,𝜀 𝑥 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜀 𝑦 = 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝛾 𝑥𝑦 = 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑥,弹性体内求解应力的方程：,𝜕 𝜎 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜏 𝑥𝑦 𝜕𝑦 + 𝑓 𝑥 =0 𝜕 𝜎 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜏 𝑥𝑦 𝜕𝑥 + 𝑓 𝑦 =0,1.平衡微分方程（2个）,2.补充方程—从几何方程，物理方程中消去位移和形变得出:,从几何方程中消去位移𝑢,𝑣, 得 相容方程（形变协调方程）： 𝜕 2 𝜀 𝑥 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 𝜀 𝑦 𝜕 𝑥 2 = 𝜕 2 𝛾 𝑥𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 (2-20),将物理方程代入相容方程，消去形变，并应用平衡微分方程进行简化，便得到用应力表示的相容方程：,应力边界条件 假定全部边界上均为应力边界条件。

归纳：,按应力求解平面问题，应力 𝜎 𝑥 , 𝜎 𝑦 , 𝜏 𝑥𝑦 ,必须满足下列条件： （1）区域内的平衡微分方程； （2）区域内的相容方程； （3）边界𝑆= 𝑆 𝜎 上的应力边界条件； （4）对于多连体，还须满足位移的单值条件（第四章中学习） 同时（1）-（4）也是校核应力分量是否正确的全部条件相容方程的物理意义：,⑴ 形变协调条件是位移连续性的必然结果 ⑵ 形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件 形变协调→对应的位移存在→位移必然连续； 形变不协调→对应的位移不存在→不是物体实际存在的形变→微分体变形后不保持连续§2-10 常体力情况下的简化 应力函数,常体力：体力不随坐标而变化（重力、惯性力）,常体力情况下按应力求解的条件,（a）,（1）相容方程,（3）𝑆= 𝑆 𝜎 应力边界条件（𝑆= 𝑆 𝜎 ， 𝑆 𝑢 =0) (𝑙 𝜎 𝑥 +𝑚 𝜏 𝑦𝑥 ) 𝑠 = 𝑓 𝑥 , (𝑚 𝜎 𝑦 +𝑙 𝜏 𝑥𝑦 ) 𝑠 = 𝑓 𝑦 , (𝑆) (c) (4) 多连体中的位移单值条件 （d）,常体力，单连体，全部为应力边界条件下应力分量的特征： 在（1）-（3）条件下求解的应力分量的全部条件（a）、（b）、（c）中不含弹性常数，所以对两类平面问题都适用，且 𝝈 𝒙 , 𝝈 𝒚 , 𝝉 𝒙𝒚 与弹性常数无关。

结论： （边界条件，外荷载相同） ①不同材料的应力( 𝝈 𝒙 , 𝝈 𝒚 , 𝝉 𝒙𝒚 )的理论解相同，用试验方法求应力时，也可以用不同的材料来代替 ②两类平面问题的应力解 𝝈 𝒙 , 𝝈 𝒚 , 𝝉 𝒙𝒚 相同，试验时可用平面应力的模型代替平面应变的模型思考：只要弹性体（单连体）边界相同，外载相同，不管是何种材料，也不管是平面应力状态或平面应变状态，应力分布是否相同，位移及变形是否相同？,常体力下按应力求解的简化 （1）观察（平衡微分方程）：（非齐次方程的特解+齐次方程的通解）,齐次方程 𝜕 𝜎 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜏 𝑦𝑥 𝜕𝑦 =0 𝜕 𝜎 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜏 𝑥𝑦 𝜕𝑥 =0 的通解为： 𝜎 𝑥 = 𝜕 2 𝛷 𝜕 𝑦 2 , 𝜎 𝑦 = 𝜕 2 𝛷 𝜕 𝑥 2 , 𝜏 𝑥𝑦 = 𝜕 2 𝛷 𝜕𝑥𝜕𝑦,特解可取为： 𝜎 𝑥 =− 𝑓 𝑥 𝑥, 𝜎 𝑦 =− 𝑓 𝑦 𝑦, 𝜏 𝑥𝑦 =0 (e),将方程变为,满足（1），必存在一个函数𝐴(𝑥, 𝑦)使得：,同理满足（2），必存在一个函数𝐵(𝑥, 𝑦) 使得：,则有：,则齐次方程的通解为：,平衡微分方程的全解为：,𝛷(𝑥,𝑦)称为平面问题的应力函数—艾里应力函数,应力分量除满足平衡微分方程外，还必须同时满足相容方程，所以将应力分量代入相容方程，得：,此方程为重调和方程，写为：,φ为重调和函数,则有：,或,归纳： 在常体力下求解平面问题 ，可转变为按应力函数𝛷求解，𝛷 满足： （1）区域内相容方程（2-25）； （2）𝑆= 𝑆 𝜎 上的应力边界条件； （3）多连体中的位移单值条件连体。

求出𝛷 后，可由式（2-24）求得应力本章小结,2、平面问题的基本未知量： 𝜎 𝑥 , 𝜎 𝑦 , 𝜏 𝑥𝑦 , 𝜀 𝑥 , 𝜀 𝑦 , 𝛾 𝑥𝑦 , 𝑢,𝑣3、平面问题的基本方程和边界条件：,平衡微分方程：,几何方程：,,物理方程：,平面应变问题,,5、平面问题的求解方法：按位移求解；按应力求解（相容方程）边界条件：位移边界条件和应力边界条件4、弹性体中任意一点的应力状态，可用该点的应力分量表示，平面问题中，两主应力相互垂直，且为最大或最小正应力最大或最小剪应力发生在与主应力成45角的斜面上再 见,。