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济南大学毕业论文- I -摘 要海涅-博雷尔有限覆盖定理是数学中的一个重要定理,在高等数学中具有非常广泛的应用,而且是实数系的几大基本定理之一，在数学理论证明中具有重要的意义所以，研究有限覆盖定理的内容、证明、应用以及推广对我们学习高等数学具有很大的帮助本文首先介绍开覆盖的定义，进而引入了有限覆盖定理，并简单介绍了它的推广其次，我们用三种比较简单普遍的方法对有限覆盖定理进行了证明然后，我们举例说明了有限覆盖定理在实数完备性，实数的连续性以及对函数的某些性质的证明中的广泛应用最后我们开阔视野，从拓扑的观点重新看待有限覆盖定理, 并提出加强型的有限覆盖定理，让我们对有限覆盖定理有更近一步的认识关键词：有限覆盖定理；实数完备性；半连续函数；拓扑学；加强型有限覆盖定理济南大学毕业论文- II -ABSTRACTHeine - Borel limited coverage theorem is an important mathematic theorem, it is very widely used in high mathematical, and is one of several major basic theorems in real-number theory. It has the vital significance in mathematics theory proof. So, we study the the contents, proof, application and promotion of limited coverage theorem has very great help to research high mathematics. This paper firstly introduces the definition of open covers, then introduces limited covered theorem , and introduced its promotion. Then we use three simpler widespread method to proof the limited coverage theorem. Secondly,we illustrate the limited coverage theorem in the real completeness, real continuity and some properties of the function widely used. Finally we widen our vision, reconsider limited coverage theorem from the viewpoint of topological, and puts forward the theorem of the reinforced covering theorem, This enable us have a closer understanding to limited coverage theorem.Key words：Limited coverage theorem； Real completeness；semicontinuous function；topology；Heavy-duty limited coverage theorem济南大学毕业论文- III -目 录摘要………………………………………………………………..…….….…………….. .IABSTRACT………………………………..………….……………………..…………….II前言……….………………………………………….….…………………….……..……..11 有限覆盖定理及其证明....................................................................................................21.1 有限覆盖定理…………………………...................…… …….………….………..21.2 有限覆盖定理的证明........................……….......……… …….………….………..32 有限覆盖定理在分析中的应用………….………………………….…..….……..…….62.1 证明实数完备性的其它定理………….. …………………………………...……..62.1.1 确界原理……………………………….…….… …………………...……...62.1.2 单调有界定理………………….……….…….… …………………..……...72.1.3 区间套定理…………………….……….….… …………………………...72.1.4 聚点定理……………………………….…….… …………………...……...82.1.5 柯西收敛准则………………………….…….… …………………...……...82.2 证明函数的有关性质…….………………….……… ………...………………..92.2.1 证明半连续函数的某些性质………….…….… ……………………...…...92.2.2 证明数列或级数的某些性质………………….… …………………...…..103 从拓扑学的角度看有限覆盖定理..................................................................................123.1 拓扑学基本定义和定理.………….…...................…… …….………….………123.2 上的相关结论................……………..….......……… …….………….………14nR3.3 加强型的有限覆盖定理.……………...................…… …….………….…….…..14参考文献......................…………….…………………..….…..……………….………….17致谢......................………………….……………………..…….…………...…………….18附录......................…………………..…….. . .….. .….. .…...…………………….………19济南大学毕业论文- 1 -前言海涅-博雷尔定理的历史开始于十九世纪对实分析的坚实基础的寻觅。

理论的中心是一致连续的概念和有界闭区间上的连续函数是一致连续的定理狄利克雷首先证明了它，并隐含的在他的证明中利用了闭区间的给定开覆盖的有限子覆盖的存在性他在 1862 年的演讲中使用了这个证明，并在 1904 年得以出版后来 Eduard Heine、卡尔﹒魏尔斯特拉斯和 Salvatore Pincherle 使用了类似的技术埃米尔﹒博雷尔在 1895年首次发表并证明了海涅-博雷尔定理他的证明受限制于可数覆盖昂利﹒勒贝格(1898 年)和 Schoenflies（1900 年）把它推广到了任意覆盖海涅-博雷尔有限覆盖定理是数学分析中的基本定理，而且形式很特殊,它的着眼点是闭区间的整体,而实数连续性的其它几个定理的着眼点是一点处的局部问题因为它们在形式上的这种区别,所以在证明问题中也就具有不同的用途有限覆盖定理的作用是从覆盖闭区间的无限个开区间中选出有限个开区间来覆盖这个闭区间,是由“ 无限转化为有限” 的质的变化它对证明分析中的某些困难的问题提供了有效的方法所以, 凡是证明的结论涉及到闭区间的问题, 可考虑使用有限覆盖定理但是,应用反证法, 整体( 即闭区间)与局部( 即一点)又可以转化,所以否定了局部又回到了闭区间整体, 从而也能够应用有限覆盖定理。

因此有限覆盖定理的应用是很广泛的本文先介绍了有限覆盖定理及其证明，进而讲述了有限覆盖定理在数学分析中的应用，最后我们从拓扑学的观点看有限覆盖定理，从而对它有更深的认识济南大学毕业论文- 2 -1 有限覆盖定理及其证明海涅-博雷尔有限覆盖定理是数学中的一个重要定理,在高等数学中具有非常广泛的应用所以，学习有限覆盖定理对我们会有很大帮助在这里，我们首先必须理解有限覆盖定理的内容及其证明1.1 有限覆盖定理1.1.1 开覆盖定义 1.1： 设 为数轴上的点集， 为一开区间的集合（即 中的每一个元4SHH素都是形如 的开区间）.若 中的任何一点都含在 中至少一个开区间内，则,称 为 的一个开覆盖，或称 覆盖 .若 中开覆盖的个数是无限（有限）的，HSS则称 为 的一个无限（有限）开覆盖. 在数学分析的某些具体问题中，一个点集的开覆盖通常由该问题的某些条件所确定.例如，设函数 在 内连续，则给定 ，对每一点 ，都可确定fba, 0bax,正数 （它依赖于 与 ） ，使得当 时有 .因此就得到xxxU);(x)(ff一个开区间集 ，它就是区间 的一个无限开覆盖.),,baHxx,1.1.2 有限覆盖定理定理 1.1： （海涅—博雷尔有限覆盖定理）若开区间集 覆盖闭区间 , 4 Sba则 中存在有限个开区间也覆盖了闭区间 . 在这里，定理的结论只对闭区间S ba,4成立，而对开区间则不一定成立.例如，开区间集 构成了ba, ,21,n开区间 的一个开覆盖，但是不能从中选出有限个开区间盖住 .1,0 ,0我们还可以把这个定理加以推广.为此，我们首先给出如下定义. 定义 1.2： 设 是 中点集， 是 中一族开集. 如果对任意的 ，1EnReIGnREP存在开集 ，使 ，则称开集族 是 的一个开覆盖，简称覆盖. eIGPeIE因此有限覆盖定理也可以是：设 是有界闭集， 是 的任一开覆盖，则FeIF济南大学毕业论文- 3 -中必存在有限多个开集 同样覆盖了 . eIG mG,21F在数学分析中，海涅－博雷尔定理（Heine –Borel theorem）以 Eduard Heine 和埃米尔﹒博雷尔命名，所以我们可以说：对于欧几里得空间 的子集 ，下列两nRS个陈述是等价的:1、 是闭合并且有界的 S2、所有 的开覆盖有有限子覆盖，就是说 是紧致的. S在实分析的上下文中，前者性质有时用做紧致性的定义性质.但是在考虑更一般的度量空间的子集的时候这两个定义就不再等价了，在这种一般情况下只有后者能用于定义紧致性.事实上，对任意度量空间的 Heine–Borel 定理为:度量空间的子集是紧致的，当且仅当它是完备的并且完全有界的.1.2 有限覆盖定理的证明方法一：定理证明：设 是使闭区间 在 中存在有限个开区间构成它的一个开覆盖Exa,S的 全体所组成的集合.显然 ，所以 为非空集合.设 ，假设 ，xESupEb因为 所以 ，于是有 .因为 覆盖闭区间 ，所以在 中存Supabba,S在开区间 使 .不妨设 ，否则 可以代替 ，因此有 ，,,aa由上确界的性质得在 中存在有限个开区间 ，构成 上的一Skii ,21,,个开覆盖，由此可得对 在 中也存在有限个开区间 及,S,，构成 上的一个开覆盖，所以 ，又因为 ，这与kii 2,1,aE假设 矛盾，所以 .所以在 中存在有限个开区间构成 上的一个开SupEbba,覆盖.即 中存在有限个开区间覆盖了闭区间 .ba,方法二：引 理 1.1： （ 区 间 套 定 理 ） 若 是 一。