线性离散系统的Z变换11.doc

2. 线性离散系统的Z变换2.1. 概述 2.1.1. 线性离散系统的数学描述和分析方法： 线性连续系统可用线性常微分方程描述：a0 + a1.+…+ an-1+any(t) =b0 +b1+ …+ bm-1+ bm 类似地，线性离散系统可用线性（常系数）差分方程描述y(kT)+a1y(kT-T)+…+an-1y(kT-nT+T)+any(kT-nT)= b0r(kT)+ b1r(kT-T)+…+bm-1r(kT-mT+T) +bmr(kT-mT)2.1.2差分方程的解法1. 迭代法（P40 ）(略讲) 因为差分方程是递推公式，故逐次递推可得到解太麻烦，不实用）2. 古典解法（P40）（略讲）与微分方程差不多： 解=齐次方程通解+非齐次方程的一个特解 （太麻烦，不实用）3. Z变换法（常用）2.2 Z变换 可分析稳定性，稳态特性和动态特性 可设计线性离散系统2.2.1 Z变换的定义采样信号的表达式为：y*(t)=y*(kT)(t-kT)对y*(t)作拉氏变换L[y*(t)]= Y*(s) =y(kT)(t-kT)e-stdt∵y(kT)中无t ∴ (上式)=y(kT)(t-kT)e-stdt(利用：拉氏变换延迟定理)：(上式)=y(kT) e-skT(t)e-st dt ∵L[(t)]=1 ∴ (上式) =y(kT) e-kTs令Z=eTs则Z变换（上式）可表示为 y(Z)=Y*(s) = y(kT) z-k = y(0)+y(T) z-1 +y(2T) z-2 +y(3T) z-3+…例2.2 试求单位阶跃时间序列y(kT)=u(kT)的z变换.解：Y(z)=Z[u(kT)]= u(kT) z-k=1+z-1+z-2+z-3+…(等比数列求和)=或 Y(z)= 例 2.3 试求衰减指数序列y(kT)= e-akT的Z变换Y(z)。

解：Y(z)=Z[e-akT] = e-akT z-k =1+ e-aT z-1 +e-2aT z-2 +e-3aT z-3 +…（等比数列求和）= 或 Y(z)= 例2.4 试求指数序列y(k)=ak的Z变换Y(z).解 ：Y(z)=Z[ak]= akz-k=1+az-1+a2z-2+a3z-3+…=或 Y(z)=例2.5 试求正弦序列y(kT)=sin(kT)的Z变换解： Y(z)=Z[sinkT](利用欧拉公式):= 利用P42例2.3的结论： = 通分，得： = 将sin函数用“欧拉公式”代回,得: = 2.2.2 Z变换的性质和定理1. 线性性质:Z[a y(kT)+b x(kT)]=a Y(z)+b X(z)2. 平移定理a) 滞后定理Z[y(kT-nT)]= z-n Y(z)b) 超前定理Z[y(kT+nT)]= 当n=1时,Z[y(kT+T)]=z Y(z)-z y(0)3. 初值定理y(0)=y(kT)= Y(z)例2.7 求单位阶跃系列u(kT)的初值u(0).解：Z[u(kT)]= u(0)= =14.终值定理y()=y(kT)= (z-1)Y(z) 例2.8求单位阶跃系列u(kT)的终值u(∞).解：u()=5.迭值定理设则 例2.9 已知y(kt)= g(kt)==k (k个“1”相加)求G(z)=Z[g(kT)]解：y(kT)是滞后一拍的单位阶跃序列，利用“z变换滞后定理”，得： Y(z)=Z[y(kT)]= = 由迭值定理G(z)= y(z)， 将y(z) = 代入上式,得G(z)= Y(z)= = 6.减幅规则（性质）若Z[y(kT)]=Y(z)则Z[y(kT)]=Y(z)例如:已知 利用减幅规则可以得到: Z[sinkT]= (然后：上下乘以)=2.3 z反变换2.3.1 部分分式法例2.10求Y(z)= 的Z反变换 解： Y(z)除以z,得： (部分分式)部分分式的系数为： 再将z乘回去，得：上式各项分别查“z反变换”(P47表2.4),得：2.3.2 长除法例2.12 求的Z反变换解：用长除法 ： 可得则y(0)=0, y(T)=0.6, y(2T)=0.84, y(3T)=0.936, y(4T)=0.974, y(5T)=0.991,…2.3.3 留数计算法设Y (Z)有n个极点P1 P2 …Pi …Pn则y(kT)= =[(z-pi)Y(z) zk-1]例2.13 用留数计算法求Y(z)= 的Z反变换解：n=2,P1=1, P2=0.4 y(kT)= + = + =1- 例2.14 用留数法求 的Z反变换解：n=2, P1= , P2= ,y(kT)= + = = (合并)当Y (z)具有重极点Pj时，设重极点的阶数为l (即:L)则：例2.15用留数法求的Z反变换 解： 2.4 用Z变换求解差分方程主要用：(1) 超前定理Z[y(kT+nT)]= (2)滞后定理：Z[y(kT-nT)]= z-n Y(z)例2.16求解差分方程 y(kT+2T)+4y(kT+T)+3y(kT)=0 y(0)=0, y(T)=1解：对差分方程做Z变换 ←y(kT+2T) ←4y(kT+T) ←3y(kT)代入初始条件: y(0)=0, y(T)=1得:即：即：分解为部分分式,得：查z反变换表，得：作业：(P85) 2.3 2.5.1 2.6.1 2.6.5 2.9.1。