初中数学经典难题(含答案).docx

1、已知：如图， 是半圆的圆心， C、E是圆上的两点， CD）± AB, EF，AB, EG, CO. 求证：CD=GF.（初二）B2、已知：如图， P是正方形 ABCD内点，/ PAD- / PDA= 150.求证：△ PBC是正三角形.（初二）3、如图，已知四边形 ABCD AiBiCiDi都是正方形, DD1的中点.求证：四边形 A2B2C2D2是正方形.（初二）A2、B2、C2、D2 分别是 AAi、BBi、C4、已知：如图，在四边形 ABCD中，AD= BC, M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延 长线交MN于E、F.M求证：/ DEN= / F.1、已知：△ ABC中，H为垂心（各边高线的交点） （1）求证：AH=2OM;（2）若/ BAC= 600,求证：AH=AO.（初二）,为外心，且OMLBC于M .2、设MN是圆外一直线，过作OAL MN于A,自A引圆的两条直线，交圆于D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q. 求证：AP=AQ.（初二）B、C及3、如果上题把直线 MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC DE,设CD EB分别交MN于P、Q.求证：AP= AQ.（初二）4、如图，分别以△ ABC的AC和BC为一边，在△ ABC的外侧作正方形 ACDE和正方形 CBFG点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等号AB的一半.（初二）DE// AC, AE= AC, AE与 CD 相交于 F.DE// AC,且CE= CA,直线EC交DA延长线于 F.1、如图，四边形 ABCD为正方形,求证：CE= CF.（初二）2、如图，四边形 ABCD为正方形, 求证：AE=AF.（初二）3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点, 求证：PA= PF.（初二）PF± AP, CF平分/ DCEPEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、4、如图，PC切圆。

于C, AC为圆的直径, D.求证：AB=DC, BC= AD.（初三）PA= 3, PB= 4, PC= 5.1、已知：△ ABC是正三角形，P是三角形内一点, 求：/ APB的度数.（初二）2、设P是平行四边形 ABCD内部的一点，且/ PBA= / PDA. 求证：/ PAB= Z PCB.（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD为圆内接凸四边形， 求证：AB - CD+ AD - BC= AC - BD. （初三）4、平行四边形 ABCD中，设E、F分别是BC AB上的一点，AE与CF相交于P,且 AE= CF.求证：/ DPA= / DPC.（初二）1、设P是边长为1的正△ ABC内任一点，l=PA+ PB+ PC,求证： J3wLv 2.2、已知：P是边长为1的正方形 ABCD内的一点，求 PA+ PB+PC的最小值.3、P为正方形 ABCD内的一点，并且 PA= a, PB= 2a, PC= 3a,求正方形的边长.BC4、如图，△ ABC 中，/ ABC= Z ACB= 800, D、E 分别是 AB、AC 上的点，/ DCA= 30°, / EBA= 200,求/ BED 的度数.1、证明:作连接Ek VEF±AT. EGU。

1二二即口二二E的切(T， 品叫 Oh F、E四点共国1 所以1G¥!仁/〔EG, 又二/GMF 二 4G0,,一.△GJffsAgE, VCDXAJ, GH_LAB， ':瑞⑪5-EO GO CO，tGP~GH~CD,NJCOMCi, 二卬二 GF,2、-15° =15° =150" j证明::正方刑神⑪】上曜二CD, Zm=ZCDA=50Q ,丫 £F词二/F瞰二15" p/. fJt=FE j ZfAB-ZFDC-754 ・在正方形内做AD8与△他P全等，二 DPUG. Z ADP- ZGDC= X DAT= Z DCG= 15 * ,/. ZFDG=9Q^ -15c =15* =50" 1 ZDGC=160「•△P时为等也，三角形，--.昨 DG=FG*ZFGC=3600 -150" -&0° =150° -ZDGCf在△比AF瓮中(DG^PGI 必0=《FGC,Vgc = gg：.△DGC @△F(5C,，用;加二N和/见云£FC3L50，同理 FB=AB=0C=PC,上 FtE：如“ -150 -15° RtF ,・.，△『既是正三角形・3、证明！如图，连接B7和AK分别战苴中点F，E.巡接与/E并延长相交于Q点， 遥£连接灯会并延长交匚出于H点，连接国£并延长交与&于G点, 由二界,H产权1匚1二股：,EB『g婕二%匚二匹匚j;2G蜂/4触和/温6寸/电铺0。

工所以上GE%h/GF5■-,ZB^FC^ZA^kpJf§-ZkE-PC^A^B27所以人尹『叩2，又/HB/广/HCJ『期"和NE*,二上时人，从而可得上勾£ c『m同理可循苴他边垂直且相等，从而得出四边感”F*e是正方胆.4、证明；连接布，作幽/M交M于奥连揄曲 '•一是⑪的中点，且照MAL,.”.际:仙，得K的中点，5< ■' M是部的中点.AMG//BC,且吐如.「 AD 诋，,二帏4b△GNM为等腰三角形，二」 GSM 二二 GHV，'/GM/ZEFs,'W(MF=H「圳，血北上G洲:/DEH史二/口郎=乙乙1、证明：(1)延法知与◎交于点P，连物，作已口LAF干G, ,/□MrBC, AfllECi OG±AF' CZWNAUMUG-，士四边形口初修是平有四边形，，二 口即二的,丁/AJICN 的必血=9-，.d'.ZF=ZACE=ZBKB,,"左班・vADlBCr.\HD=IF*；D^_LAF，QGi^J心Q*-Afff=CF,/1, AltGF+HG=GH+HIJ+DF+KG=2 (GH+ND) =20k即 AltWCiM.<2)证明：连接I加，0C?■/ZBAC=60° sJ.上时匚二团।AZBOM=EO° FAZ0EM=3O0 ,-"-Ot=£OMI=AH=AO,即AH二加.2、证明：作E点关于做的对称点F，连叫、FM FC・EJ_LOA,则有上FAT=/E蛔，小豆M二/F蛆，FA=EKs T 4传/糖用/皿=130-々皿 VZPAP=ieO-ZFAQ,"FCD二上 FM， 二,FC岫四点共图， /AJQ=/MEED, 在心卫明和&FqA中 f 弼EA 二《QFA （AF—AE ,［豕PAE=4@_尸八 AEFWAFSAs-'.g=2,3、证明：作口F_LCD, OC_UBE,连接口F，口A, 0F,口G,幅，OQ.由于兑。

JC CD 2万0 哥口AS - AS - 1 2EG 一归GZFEA=ZABQ»4、/. ZAJC=ZAGE，:四边形FF□四边形QGO*四9共圆,.'.Zato^adp ;』AGE=/mq,: ZW=XAOQ,.-.AF=AQ.斛;分别海心F，3唯喻垂线，垂足依次为良，& T,贝虺城PQ/P£，: F是处的中点，二Q为监的中点，,二国为梯形EF3用3中稔彘士由其（ER+TE）,-V：凡」前（正方形的辿正相等），/皿Rh/CM （同角的余角相等）1 /E=/ATC=900，/.HtAAER^RtACAT CMS), 同理 RUikEFBWEtASI：， ，ER=AT，FS=BT ?二 EK+f5=AT+ET：AB，“网4您・经典难题（三）证明；如图所示，顺时针旋转Aaie日口&得赞即a is撷G.V ZA5G=ZADE=^0* +45* =135* ，JB GrD在一条直线上，/TZA£G=ZCBG=ian° -45135&，(AB = AG在/ag屿zscge中！ { KABG =女CEG, kBG=BG--■AACB^ACGB (SAS)，[ AG=4GC=AE,J, △舫C为等边三角形，,■,他_1_即(正方形的对用线互相垂直)，/. ZAiGB=30c ♦，一/EB以，A ZA^O300 +4E° -750 ,5ZV^EFC=ZDFA=45e +30* =T5fl ,「■CE=CF.2、证明:连接如，作CLLDE于出 :正方形必⑪，? #=帅 ］；崎砌 DLLDF, 二上圜心上网*《凯£^EF p ，四边也XDM是正方的.由 AC=CE=2Gg2CH.A ZCEH=30fr %A ZCAI=Z CEA=ZAED= 15fl , RZFJlE=HI* +45O +15° =1509 ， AZF=16D0 T5U T5。

15* * AZF=ZAEFi ，AE 二 A7.证明:作FC_LCD, FE_LZE,可以评出廊EC为正方形.专AB=T, E?H, CE=ZS pH|FC=Y-X.七皿上班P=七皿/EPF=专=y _?+N，可得怯壮-工412n即N (T-I) =X (Y-K) *即缗1=Zf 得出△展P里AFEF，4、・'IA=T 孔证明:作E_LPDP，连接EO, eq, EC, 0F? QF, CF, 所以PC J%・P射影定理,， 又fcJfe中F.斯以EFOQ四点共阅，ZEQF=ZE0F^2ZBM）f5Z^PCE=ZOFE=ZOEP=^CgF,而匚Qj_FD,所以/KQC二/四口 因为上kEC=/HJC与口* . 故Br E v Ct四点共匾bc所以.2EBO/EQ必EQF二 I ZE0F=zi SAD，J.CB/ 皿斫以前二加，即四边也AEG是隼行四边股，r.ABiDCi BC=AP.1、春 顺眼科淡格AABPGOG醇轲ABE，连搏P0, 码二6口 ■ BF-ECp.,・ △曜Q是等边三星膨，, PQ=FB=%而PC 二5, F即*.在色阳匚中，PQ^-QC^PCS.•-总斗匚是直鬲三弟形・"距600 +S0* =1500 ，s/ArFiso".2、证明：作过F点平行于勘的直线，并选一点E,使PEWAJ二耽, \ AE7EFp ad^sc.二四边肥缸灯是平行四边地・四边的FEB匚是平行四边形，，AE/DF, EE〃FC,AZkBP=ZADP=ZkEP»可得：AEEF共园C—边所对两甬相等）.可蹲上EAP:工EEF：/尤F*必 FABNFCB.3、证明:在图取一点乱使2BC六2ACD,即得△睡。

3人翅匕, 可得：器工聂.即知邛HB『品’① 夏丁/Mm/DCE, BJ^AAECtflADEC,即得得疆 即域・CD二DE，Mr②由①+②可得：AJB'Cfl+AL-BOAE （BE+JE） 士AC，RD,潺证.4、证明：过D作DQ^AE, DGLCF并连接DF和DE,如右图所示1则 SaADE= SABCD=S^ DFC2•。