用复变函数来表示平面向量场.ppt

2.4 平面场平面场2.4.1 2.4.1 用复变函数来表示平面向量场用复变函数来表示平面向量场 物理上所谓物理上所谓““场场””就是指每一点逗对应有物就是指每一点逗对应有物理理量的一个区域，在这里，只研究平行于一个量的一个区域，在这里，只研究平行于一个平面的定常向量场，即场中的向量都平行一平面的定常向量场，即场中的向量都平行一个平面个平面S S，，而且垂直于而且垂直于S S的任何一条直线上的的任何一条直线上的内的场内的场示点处的向量都是相等的，场中的向量于时点处的向量都是相等的，场中的向量于时间无关，显然，这种向量场在所有平行于间无关，显然，这种向量场在所有平行于S S的诸平面内场的分布情况是完全相同的，的诸平面内场的分布情况是完全相同的，因此它完全可以用于平行于因此它完全可以用于平行于S S的平面的平面图图(2.4.1)(2.4.1)图图(2.4.2)(2.4.2)在平面在平面内内取定直角坐标系取定直角坐标系，于是，于是场中每一个具有分量场中每一个具有分量图图(2.4.2)(2.4.2)便可用复数便可用复数来来表示表示由于场中的点可用复数由于场中的点可用复数来来表示，所表示，所以平面向量场以平面向量场可借助于可借助于复变函数：复变函数：来来表示，表示，已知某以复变函数已知某以复变函数由此可作出对应的向量场为：由此可作出对应的向量场为：同样，考虑垂直于均匀带电的无限长直导线同样，考虑垂直于均匀带电的无限长直导线的所有平面上，电场分布情况完全相同，因的所有平面上，电场分布情况完全相同，因而可以取其中以平面作代表，当作平面定常而可以取其中以平面作代表，当作平面定常向量场来研究，由于电场强度向量向量场来研究，由于电场强度向量所以该平面场可以用一个复变函数所以该平面场可以用一个复变函数来来表示。

表示2.4.2 平面流体场平面流体场 设设““流体是不可压缩流体是不可压缩””是指流体的密度不是指流体的密度不因压力的变化而变化取流体所在的平面因压力的变化而变化取流体所在的平面为复平面，场内各点处的速度向量为：为复平面，场内各点处的速度向量为：若在某一若在某一区间区间D D内该场是无源的，那么：内该场是无源的，那么： 的全微分，即：的全微分，即：是是某一二元函数某一二元函数因而因而 在这个函数的等值线在这个函数的等值线上有上有 上式表明，在曲线上式表明，在曲线上，场的上，场的向量与该曲线相切，因此称此曲线向量与该曲线相切，因此称此曲线为为流线，称函数流线，称函数为为流函数又若在区域又若在区域D D内，该场是无旋的，则有：内，该场是无旋的，则有：所以所以的全微分，即：的全微分，即：而而因此因此是场是场的势的势函数，曲线函数，曲线称为等势线称为等势线 在等势线上，有：在等势线上，有：若在若在区域区域D D内，该场无源又无旋，则有：内，该场无源又无旋，则有：因此，当上述四个偏导数连续时，因此，当上述四个偏导数连续时，构成一个解析函数，通常称此函数，构成一个解析函数，通常称此函数，为这个场的复势。

由为这个场的复势由(2.2.2)知知于是有于是有通常称通常称是是该场的复速度该场的复速度 从上述讨论可以看到，一个无源无旋的平从上述讨论可以看到，一个无源无旋的平面流体场的复势是一个解析函数，反之，已知面流体场的复势是一个解析函数，反之，已知一个解析函数，由此可构造出一个平面流体场，一个解析函数，由此可构造出一个平面流体场，而该流体场的复势正是这个解析函数来表示，而该流体场的复势正是这个解析函数来表示，这就是解析函数的物理意义这就是解析函数的物理意义 除此之外，用复势来刻画流动比用复速度除此之外，用复势来刻画流动比用复速度方便，因为由复势求复速度只用到求导数，方便，因为由复势求复速度只用到求导数，反之则要用积分，而且由复势容易求流线和反之则要用积分，而且由复势容易求流线和势线，这样就可以了解流动的情况势线，这样就可以了解流动的情况 例例 1 考查复势为考查复势为故势线是故势线是流线是流线是所以场中任一点的流速为所以场中任一点的流速为方向指向方向指向x轴正向 该该场的场的流动情况如（图流动情况如（图2.4.3)所示，这所示，这种流体称为均匀常流（实线表示流线，虚种流体称为均匀常流（实线表示流线，虚线表示势线）。

线表示势线）流流线线等势线等势线 图图(2.4.3) 例例 2 设原点是强度设原点是强度(在单位时间流出或漏去在单位时间流出或漏去的液量）为的液量）为N>0源头（或源头（或N<0的沟汇的沟汇)而在无穷而在无穷远处流体保持静止，并且在平面上没有其他的源远处流体保持静止，并且在平面上没有其他的源头和沟汇，显然，流线是由原点发出的半射线，头和沟汇，显然，流线是由原点发出的半射线，等势线是以原点为中心的圆周速度的大小仅与等势线是以原点为中心的圆周速度的大小仅与点点z的模有关，方向与圆周的模有关，方向与圆周的外的外法线的方法线的方向向一致，因而流速向量可表示为：一致，因而流速向量可表示为：由于流体是不可压缩的，流体在任一圆环域由于流体是不可压缩的，流体在任一圆环域内内不能积蓄，所以流过圆周不能积蓄，所以流过圆周与与的的流量为流量为（其中（其中是是的的单位外法线向量，单位外法线向量，是弧微分）所以：是弧微分）所以：而而流量可表示为：流量可表示为：显然它符合显然它符合“在无穷远处静止状态在无穷远处静止状态”要求，要求，由此可求得复势函数由此可求得复势函数的的导数为导数为故故所求复势函数为：所求复势函数为：进一步得到势函数和流函数分别为：进一步得到势函数和流函数分别为： 该该场的场的流体情况流体情况(图图2.4.4)和和(图图2.4.5)所示所示(实线表示流线，虚线表示势线）。

实线表示流线，虚线表示势线）例例 3 设原点是一个漩涡点，其强度为设原点是一个漩涡点，其强度为时间绕原点流动的液量为时间绕原点流动的液量为 ），），上没有其他的漩涡点，在此情况，流线是以原上没有其他的漩涡点，在此情况，流线是以原点为中心的圆周，等势线是原点发出的射线，点为中心的圆周，等势线是原点发出的射线，速度向量可表示为：速度向量可表示为：(在在单位单位在无穷远处流体保持静止状态，并且平面在无穷远处流体保持静止状态，并且平面而沿圆周而沿圆周的环量的环量（其中（其中的单位向量，的单位向量，是弧微分）是弧微分）因而：因而：所以所以图图2.4.6图图2.4.72.4.3 平面静电场平面静电场取取静电场所在得平面为复平面，场强向量为：静电场所在得平面为复平面，场强向量为： 我们知道，若在某一区域我们知道，若在某一区域D内没有电荷（即内没有电荷（即为管量场），则：为管量场），则：从而知在区域从而知在区域D 内，内，是某是某一二元函数一二元函数的全微分，即：的全微分，即：与与讨论流体场一样，在曲线讨论流体场一样，在曲线上，场强向量与该曲线相切，因此称此上，场强向量与该曲线相切，因此称此曲线为力线（即电力线），称此函数曲线为力线（即电力线），称此函数为力函数。

为力函数据据电学理论知道，平面静电场又是一个电学理论知道，平面静电场又是一个势场，那么势场，那么即有：即有：因此在区间因此在区间D内内也是某一二元函数也是某一二元函数的全微分，即的全微分，即由此得：由此得：是场是场E的势函数，也可以的势函数，也可以称为场的电位或电势，等值线称为场的电位或电势，等值线称为等势线或等位线称为等势线或等位线所以所以若在某一区域若在某一区域D内，不含有电荷，则力函数内，不含有电荷，则力函数与势函数与势函数满足柯西－黎曼条件满足柯西－黎曼条件 当上述四个偏导数连续时，从而可当上述四个偏导数连续时，从而可得得D内内的一个解析函数的一个解析函数(2.4.5)称这个函数位静电场的复势（或电位），称这个函数位静电场的复势（或电位），场场E可以用复势表示为可以用复势表示为(2.4.6) 可见静电场的复势和电流场的复势相可见静电场的复势和电流场的复势相差一个因子差一个因子通流体场一样，利用静电场的复势，可通流体场一样，利用静电场的复势，可见研究场的等式线和电力线分布情况，见研究场的等式线和电力线分布情况，描绘出该场的图形描绘出该场的图形这是电工上的习惯用法，，这是电工上的习惯用法，例例 1周围所形成的电场，用周围所形成的电场，用q q表示垂直于表示垂直于L L。

在此平面上一点在此平面上一点处的处的场强记为场强记为E.求求E的表达式的表达式研究带有电荷的无限长直线研究带有电荷的无限长直线L L的的 据电学中的叠加原理，可将向量据电学中的叠加原理，可将向量E看作是看作是电荷电荷qdh所产生的强度向量所产生的强度向量dE的和，将电荷的和，将电荷qdh看作是集中于看作是集中于L上上M点处的点电荷，由点处的点电荷，由库仑定理，高度为库仑定理，高度为h的点电荷的点电荷qhd的场强向的场强向量量dE的大小等于的大小等于 向量向量E在复平面上，它的大小等于在复平面上，它的大小等于dE在在复平面上的投影之和，因而复平面上的投影之和，因而 其中其中是向量是向量dE与复平面的夹角，由与复平面的夹角，由直角三角形直角三角形MOP有有于是于是因此因此又由于向量又由于向量E 的方向与向量的方向与向量方向相同方向相同于是于是仿例仿例2 计算可得复势为计算可得复势为该场的图形如（图该场的图形如（图2.2.9）所示，（实线）所示，（实线表示力线，虚线是势线）表示力线，虚线是势线）。