高中数学竞赛专题求递推数列通项的特征根法.pdf

专题求递推数列通项的特征根法一、形如21(,nnnapaqap q是常数）的数列形如112221,( ,nnnam amapaqap q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项na，其特征方程为2xpxq若有二异根,，则可令1212(,nnnaccc c是待定常数）若有二重根，则可令1212()(,nnacncc c是待定常数）再利用1122,am am可求得12,c c，进而求得na例 1 已知数列na满足*12212,3,32()nnnaaaaanN，求数列na的通项na解：其特征方程为232xx，解得121,2xx，令1212nnnacc，由1122122243accacc，得12112cc，112nna例 2 已知数列na满足*12211,2, 44()nnnaaaaanN，求数列na的通项na解：其特征方程为2441xx，解得1212xx，令1212nnacnc，由1122121()121(2)24accacc，得1246cc，1322nnna二、形如2nnnAaBaCaD的数列对于数列2nnnAaBaCaD，*1,( , ,am nNA B C D是常数且0,0CADBC）其特征方程为AxBxCxD，变形为2()0CxDA xB若有二异根,，则可令11nnnnaacaa（其中c是待定常数），代入12,a a的值可求得c值。

这样数列nnaa是首项为11aa，公比为c的等比数列，于是这样可求得na若有二重根，则可令111nncaa（其中c是待定常数），代入12,a a的值可求得c值这样数列1na是首项为1na，公差为c的等差数列，于是这样可求得na例 3 已知数列na满足11122,(2)21nnnaaana，求数列na的通项na解： 其特征方程为221xxx，化简得2220 x，解得121,1xx，令111111nnnnaacaa由12,a得245a，可得13c，数 列11nnaa是 以111113aa为 首 项 ， 以13为 公 比 的 等 比 数 列 ，1111133nnnaa，3( 1)3( 1)nnnnna例 4 已知数列na满足*11212,()46nnnaaanNa，求数列na的通项na解 ： 其 特 征 方 程 为2146xxx， 即24410 xx， 解 得1212xx， 令1111122nncaa由12,a得2314a，求得1c，数 列112na是 以112152a为 首 项 ， 以1为 公 差 的 等 差 数 列 ，123(1) 11552nnna，13 5106nnan。