数学思想方法及其教学建议(上).doc

1.主要数学思想的涵义n 缺乏数学思想方法教学的意识 n 在教学过程中不知如何进行具体操作 n 不善于挖掘数学内容中蕴涵的数学思想方法 n 不知道怎样渗透数学思想方法的教学 n如何准确认识与理解数学思想方法？ n在初中数学内容中蕴涵了哪些基本数学思想方法？ n课程标准对数学思想方法的教学提出了哪些建议？ n如何从认知教学心理学的角度看数学思想方法的教学？ n采取哪些措施可以更好地来保证数学思想方法的教学？n数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是对数学事实与数学知识的一种本质认识 n数学方法是指人们在数学活动中为达到预期目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式n数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质性的认识；数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映；数学知识是数学思想方法的载体，数学思想与数学基础知识相比，与常用的数学方法相比，处于更高的层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法, 在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位n一般来说，数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和数学方法在更高层次上的抽象与概括。

在初中数学知识中蕴涵了丰富的数学思想和数学方法：如字母表示数的思想、数形结合思想、函数思想、统计思想、分类思想、等价转化思想、化归思想、等量思想、不等量思想等 n数学方法有理论形成的方法：如观察法、实验法、类比法、一般化方法和抽象化方法等；解决具体数学问题的方法：如代入法、消元法、降次法、配方法、待定系数法、分析法、综合法、坐标法、变换法等n函数所揭示的是两个变量之间的对应关系，通俗的讲就是一个量的变化引起了另一个量的变化在数学中总是设法将这种对应关系用解析式表示出来，这样就能充分运用函数的知识和方法来解决有关的问题，这就是函数思想最直接的体现 n方程思想有两个基本的表现：一是学会分析问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的相等关系；二是学会通过适当设元，列出方程或方程组，从而解决问题的一种思维方式n 案例 如图,有一块直角三角形的铁皮，工人师傅要从上面截下一块矩形铁皮，怎么截能保证尽可能不浪费材料？请你帮工人师傅设计裁剪方法 n 通过探讨，我们可以将设计方案分为两类：1矩形的两边分别位于直角三角形的两条直角边上；2矩形的一条边位于直角三角形的斜边上 n 矩形的两边分别位于直角三角形的两直角边上，如下图，作一个直角三角形的内接矩形ABCD(矩形的四个顶点在三角形的边上)，其中顶点D和B分别在两直角边上，即矩形的一个直角与直角三角形的直角重合。

n化归与转化思想方法是处理数学问题的指导思想和一种基本策略，也是数学中最核心的思想方法化归与转化思想就是把未知问题化归为已知问题，把复杂问题化归为简单问题，把非常规问题化归为常规问题，从而使很多问题得到解决的思想 n结合解题进行化归思想方法的训练的做法：化繁为简；化高维为低维；化抽象为具体；化非规范性问题为规范性问题；化数为形；化实际问题为数学问题；化综合为单一；化一般为特殊案例 有以下一道二元一次方程组的求解问题，分共有两问： （1）解二元一次方程组 （2）现在你可以用哪些方法得到方程组 的解，并对这些方法进行比较 第（2）小题解法可以多样，可以将方程组中括号内各项展开得到方程组 后直接求解；当然，也可能有部分学生发现（1）（2）两小题之间的联系，直接利用第（1）小题 结论得到 进而求解设计本题目的在于引导学生自主的进行方法的比较，力图揭示一定的整体换元思想和 化归思想 n 在这一题后面还设置了一个解三元一次方程组的题目 n n n n n 这道题也是利用消元的思想把三元一次方程组转化为二元、进而一元的问题然后求解，这也是化归思想“化繁为简、化高维为低维”准则的体现 n数形结合思想有如下的体现：能运用代数、三角的知识通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题；能运用几何、三角的知识通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题。

能将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来，把抽象思维与形象思维结合起来；会用代数的方法去研究几何问题，会根据图形的性质及几何知识去处理代数问题n 案例 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程的根吗？ n 解题思路如下： n (1)用描点法作二次函数的图象； n (2)观察估计二次函数的图象与轴的交点的横坐标； n (3) 确定方程的解 n 案例 在研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系时，可以先让学生在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角，然后归纳学生的意见得到以下几种情况： n n n n n n 引导学生通过小组交流讨论的方式，分别考虑这三种情况下，和之间的大小关系最终得到：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 n分类讨论思想是指当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法 n分类讨论思想方法实质是把问题“分而治之，各个击破”其一般规则及步骤是： n（1）确定同一分类标准； n（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”； n（3）逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行； n（4）综合概括小节，归纳得出结论， n图形运动包含图形的平移、翻折和旋转，能通过实验、操作、观察和想象掌握图形运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题。

下面我们来看具体案例n 案例 在讲解三角形的内角和等于时，如下图所示：可以用运动变化的观点，先让学生想象当点向无限远处运动的过程中，即当时，由平行线的性质得，这样一来，学生很容易得到三角形的内角和等于的猜想，然后再按教材设计思路讲授，学生接受起来就很顺理成章 n 案例 如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850，道路的宽应为多少？ n 所谓数学模型，是指用数学语言把实际问题概括地表述出来的一种数学结构数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一种反映，它可以是方程、函数或其他数学表达式，也可以是一个几何基本图形利用数学模型解决问题的一般数学方法就是数学模型方法 n 例如以下案例就是建模的一个具体例子： n 一、问题呈现 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ n 二、数学建模 鸡有一个头，两只足，兔有一个头，四只足，则可构建方程组的模型： n （1）鸡的头数+兔的头数=35； n （2）鸡的足数+兔的足数=94 n 三、模型求解 n 解：设有鸡x只，有兔y只，根据题意可得 n 答：鸡有23只，兔有12只。

n 四、模型应用 以绳测井：若将绳三折测之，绳多5尺；若将四折测之，绳多1尺绳长、井深各几何？ 2.主要数学方法的涵义n将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式，然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法 n使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决案例 在弹性限度内，弹簧的长度（厘米）是所挂物体质量（千克）的一次函数一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米写出与之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度n学会通过凑、配等手段得到完全平方的形式，再利用完全平方项是非负数等性质，达到增加题目的条件等目的，主要用在多元代数式求值、无理式的证明和化简以及求解方程，配方法是一种重要的数学方法，在高中数学中也有广泛的应用会用新的未知数去替换原条件中的旧未知数或数字或代数式，使较为复杂的多项式结构简化，以达到简化解题过程的目的，是体现数学转化思想的具体体现。

下面我们来看具体案例n会用判别式去处理一元二次方程、二次函数、二次三项式等方面问题；把二次三项式、一元二次方程、分式方程、无理方程、二次函数求最值等问题，利用一元二次方程的判别式来进行求解下面我们来看具体案例n 案例：二次函数 的图像 nn 与一次函数 的图像相交吗？ nn 如果相交，请求出它们的交点坐标． 3.数学思想方法教学建议“基本思想”主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想演绎和归纳不是矛盾的，其教学也不是矛盾的，通过归纳来预测结果，然后通过演绎来验证结果在具体的问题中，会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想，但最上位的思想还是演绎和归纳教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，通过有效的措施，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得基本的数学活动经验 数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

n 学生只有积极参与教学过程，独立思考、合作交流、积累数学活动经验，才能逐步感悟这些思想 n 数学知识的形成以及逐渐完善的过程中往往蕴涵着一定的数学思想在教学活动中，教师应选择适当的形式和素材组织学生进行自主探索探索活动的价值不仅在于获得知识，还包括引导学生在探索的过程中积累基本的数学活动经验，感悟基本的数学思想重要的数学思想要体现螺旋上升的原则即数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如数形结合、模型思想等因此，教材在呈现相应的思想方法时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则螺旋上升是指在深度、广度等方面都要有实质性的变化，即体现出明显的阶段性要求渗透”就是把某些抽象的数学思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它们介绍”就是把某些数学思想在适当时候明确“引进”到数学知识中，使学生对这些思想有初步理解，这是理性认识的开始突出”就是把某些数学思想经常性地予以强调，并通过大量的综合训练而达到灵活运用。