温度场有限元法模拟.ppt

计算机数值模拟技术Fundamentals of the Finite Element Method for Heat Transfer教材及主要参考书孔祥谦. 《有限单元法在传热学中的应用》. 上海：上海交通大学出版社，1999.孔祥谦. 《热应力有限单元法分析》. 上海：上海交通大学出版社，1999. 主要参考书王勖成，邵 敏. 《有限单元法基本原理与数值方法》. 北京：清华大学出版社，1996. R.D.库克著，程耿东等译. 《有限元分析的概念和应用》科学出版社.工程分析软件－ANSYS上机地点：材料学院机房上机实习软件IntroductionSuccessful ApplicationsThe finite element method (FEM) is a numerical tool for determining approximate solution to a large class of engineering problemsAnalysis Example:Transient thermal fieldPackage Thermal analysisSMD IC package (J lead) ¼ SymmetryAnalysis Example Inertial Sensor - AccelerometerThermal Mechanical SimulationIntel Pentium II ModuleThermal Mechanical FatigueBGA Differential thermal expansionAnalysis Example:Electro-thermal actuatorTrefftz ExampleCapacitance of a sphere in free-spaceAnalytical Solution: 111.3 pFANSYS Solution: 110.2 pFCharged Particle TracingField Emission Displays – Micro-Tip emittersCharged Particle TracingField Emission Displays – Micro-Tip emittersSolid model and resultant electron trajectoriesCFD Analysis Example Microfluidic Channel - Non Newtonian flow120 120    mmAir FlowAir FlowConjugate Heat TransferForced Air Flow over CPGA packagePackage temperaturesPackage temperaturesFree Surface CFD VOF with Surface TensionVOF technology is applicable for modeling time transient problems involving moving liquids with a free surface.Fluid Solid InteractionPiezoelectric MicropumpPZT layerSilicon MembraneFluid RegionCylindrical AxisPump outletPiezoelectric Micropump Fluid Velocity VectorsIntroductionHistoryThe Finite Element method (FEM) was originally developed to study the stresses in complex Air-frame structures (Clough 1960)The FEM was extended to the general field of continuum mechanics (Zienkiewicz & Cheung 1965)传热学基础传热的三种基本方式热传导对流辐射热传导：傅立叶定律（导热基本定律）热导率：正常压力和温度下物质的热导率范围：热导率随温度的变化：对流:辐射斯蒂芬-波尔茨曼常数实际物体的热辐射：导热基本定律及稳态导热基本概念Ø温度场：某一时刻物体内部各点温度大小。

稳态：基本概念Ø温度梯度导热微分方程导热基本定律：直角坐标中导热微分方程式：圆柱坐标系：球坐标系：有限元法基础数学基础基本思想有限元法基础偏微分方程及其求解偏微分方程及其求解精确求解精确求解： 行波法、分离变量法等近似求解：近似求解： 有限差分法——从微分方程出发，将区域划分网格节点，经过离散处理后，近似地用差分、差商代替微分、微商，这样，微分方程和定解条件的求解就归结为求解一组线性代数方程，得到的是数学解数学基础变分法有限元法基础数学基础Ø古典变分法就是对泛函求极值的计算方法泛函：Ø加权余值法：从微分方程出发的“变分”计算方法加权余量法不需要去寻找泛函，所以适用的范围更广有限元法基础数学基础以近似解以近似解 代入：代入：称为余量或误差残量有限元法基础数学基础通常使，为了提高精度，引入加权余量的概念：权函数的选取，伽辽金法基本思想 1）将连续的求解系统离散为一组由节点相互联在一起的单元组合体 2）在每个单元内假设近似函数来分片表示系统的求解场函数 有限元法基础有限元法是将变分原理与有限差分法相结合得到的一种新方法：有限元计算基本方程离散、计算定义域上的总体合成温度场的有限元计算基本方程以平面温度场为例具有内热源和瞬态温度分布的固体导热微分方程（平面问题）：平面温度场有限元法求解第一类：第二类：第三类：初始条件：有限元计算的基本方程推导平面温度场有限元法求解由微分方程得到，选取计算加权余量：有限元计算的基本方程推导格林公式：根据格林公式，有限元计算的基本方程推导在边界上，存在此即，平面温度场有限单元法计算的基本方程因此，可得：有限元计算的基本方程不同边界条件下第一类第一类：第二类第二类：第三类第三类：常用单元模型 单元模型插值关系一一对应单元类型一维单元、二维单元、三维单元等参单元、超参单元、次参单元离散、计算 常用单元模型一维单元 2节点线单元3节点线单元梁单元常用单元模型二维单元3节点三角形线性单元6节点三角形二次单元常用单元模型二维单元10节点三角形三次单元4节点四边形双线性单元常用单元模型二维单元8节点四边形二次单元12节点四边形三次单元常用单元模型三维单元4节点四面体线性单元10节点四面体二次单元常用单元模型三维单元8节点六面体线性单元20节点六面体二次单元单元模型构造 有限元法的基本思想 通过单元分片近似，在每个单元内假设近似函数来分片表示系统的场函数 选择近似函数简单、实用的原则在有限元法中，近似函数称为插值函数 单元模型构造插值函数 一般都采用多项式函数，主要原因是: 采用多项式插值函数比较容易推导单元平衡方程，特别是易于进行微分和积分运算。

随着多项式函数阶次的增加，可以提高有限元法的计算精度从理论上说，无限提高多项式的阶数，可以求得系统的精确解单元模型构造方法 整体坐标系法局部坐标系法 Lagrange插值方法Hermite插值方法收敛性条件 ① 在单元内，场函数必须是连续的；② 完备性：插值多项式的阶次必须由低到高依次增加，不能出现跳跃现象；③ 协调性：各单元边界必须连续，单元边界不能出现开裂现象插值多项式收敛性条件 收敛：当单元逐渐缩小时，如果插值多项式满足收敛性条件，则数值解将收敛于精确解插值多项式收敛性条件协调单元 满足插值多项式收敛性条件①和③的单元 完备单元 满足插值多项式收敛性条件②的单元cr 阶连续性 插值多项式的第r阶导数是连续的 插值多项式收敛性条件非协调单元与部分协调单元 对于一般固体力学问题来说，协调性要求单元在变形时，相邻单元之间不应引起开裂、重叠或其它不连续现象例如，梁、板、壳等单元，在单元边界不但要求位移是连续的，而且其一阶导数也必须是连续的板、壳单元位移函数沿单元边界的法向导数（转角）的连续性一般比较难实现，因此出现了许多不完全满足协调性要求的“非协调单元”或“部分协调单元”，有时它们的精度也很好。

插值多项式选择条件 插值多项式应该尽可能满足其收敛性条件（收敛性）由插值多项式所确定的场函数变化应该与局部坐标系的选择无关（各向同性） 假设的插值多项式系数的数量应该等于单元的节点数（解的唯一性） 选择条件离散、计算 在每个单元上，离散、计算 在总体区域上，离散、计算 单元的模型计算取插值函数用矩阵法求解待定系数:单元的模型计算矩阵中的元素计算式:逆矩阵中的计算式:行列式的值:各待定系数的计算式:单元的模型计算单元形状函数或型函数单元温度场的插值公式:单元的模型计算单元的积分计算单元的积分计算单元的积分计算第一类边界单元、内部单元第一类边界单元、内部单元：单元的积分计算第一类边界单元、内部单元第一类边界单元、内部单元：单元的积分计算第一类边界单元、内部单元第一类边界单元、内部单元：单元刚度矩阵单元刚度矩阵单元的积分计算第一类边界单元、内部单元第一类边界单元、内部单元：单元的积分计算第二类边界单元第二类边界单元： 对此类单元，考虑到编程的方便，通常将边界设为jm边，在边界上有：相应的，单元的积分计算第二类边界单元第二类边界单元：单元的积分计算第三类边界单元第三类边界单元：同样，将边界设为jm边，在边界上有：单元的积分计算第三类边界单元、内部单元第三类边界单元、内部单元：总体合成在总体区域上，上式可给出n个方程，以节点的温度为变量。

对每个方程来说，都是对所有单元求和而成而节点温度变量仅与包含该节点的单元有关总体合成 以右图为例，考察节点3的温度T3，仅与单元③、④和⑤有关，而在其它单元中的系数为0因此，总体合成单元③中总体合成单元④中单元⑤中总体合成总体合成总体合成总体合成总体合成对于稳态温度场：稳态温度场的有限元求解第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件实例－稳态温度场的求解【例】有无限大平板如图所示，厚度0.2m，导热系数k=1[W/(m.oC)]一侧介质温度Tf1=100 oC，另一侧介质温度Tf2=0 oC，介质对平板的换热系数 =20[W/(m2.oC)]求平板二侧面及中心温度实例－稳态温度场的求解【求解】1.分析题中的条件，构建有限元模型如图：分析题中的条件，构建有限元模型如图： =20 [W/(m2.oC)] =20 [W/(m2.oC)]iiiimjjjjmmmxy1(0,0)2(0,0.1)3(0.1,0)5(0.2,0)4(0.1,0.1) 6(0.2,0.1)si=0.1mTf2=0 oCTf1=100 oCsi=0.1m0.1m0.1m实例－稳态温度场的求解 =20 [W/(m2.oC)] =20 [W/(m2.oC)]iiiimjjjjmmmxy1(0,0)2(0,0.1)3(0.1,0)5(0.2,0)4(0.1,0.1) 6(0.2,0.1)si=0.1mTf2=0 oCTf1=100 oCsi=0.1m0.1m0.1m【求解】2.分别对各个单元进行计算分别对各个单元进行计算单元：第三类边界单元实例－稳态温度场的求解【求解】分别对各个单元进行计算单元：第三类边界单元实例－稳态温度场的求解 =20 [W/(m2.oC)] =20 [W/(m2.oC)]iiiimjjjjmmmxy1(0,0)2(0,0.1)3(0.1,0)5(0.2,0)4(0.1,0.1) 6(0.2,0.1)si=0.1mTf2=0 oCTf1=100 oCsi=0.1m0.1m0.1m【求解】分别对各个单元进行计算单元 ：内部单元实例－稳态温度场的求解【求解】分别对各个单元进行计算单元 ：内部单元实例－稳态温度场的求解 =20 [W/(m2.oC)] =20 [W/(m2.oC)]iiiimjjjjmmmxy1(0,0)2(0,0.1)3(0.1,0)5(0.2,0)4(0.1,0.1) 6(0.2,0.1)si=0.1mTf2=0 oCTf1=100 oCsi=0.1m0.1m0.1m【求解】分别对各个单元进行计算单元 ：内部单元实例－稳态温度场的求解【求解】分别对各个单元进行计算单元 ：内部单元实例－稳态温度场的求解 =20 [W/(m2.oC)] =20 [W/(m2.oC)]iiiimjjjjmmmxy1(0,0)2(0,0.1)3(0.1,0)5(0.2,0)4(0.1,0.1) 6(0.2,0.1)si=0.1mTf2=0 oCTf1=100 oCsi=0.1m0.1m0.1m【求解】分别对各个单元进行计算单元 ：第三类边界单元实例－稳态温度场的求解【求解】分别对各个单元进行计算单元 ：第三类边界单元实例－稳态温度场的求解【求解】3. 总体合成总体合成 =20 [W/(m2.oC)] =20 [W/(m2.oC)]iiiimjjjjmmmxy1(0,0)2(0,0.1)3(0.1,0)5(0.2,0)4(0.1,0.1) 6(0.2,0.1)si=0.1mTf2=0 oCTf1=100 oCsi=0.1m0.1m0.1m实例－稳态温度场的求解【求解】3. 总体合成总体合成 =20 [W/(m2.oC)] =20 [W/(m2.oC)]iiiimjjjjmmmxy1(0,0)2(0,0.1)3(0.1,0)5(0.2,0)4(0.1,0.1) 6(0.2,0.1)si=0.1mTf2=0 oCTf1=100 oCsi=0.1m0.1m0.1m实例－稳态温度场的求解【求解】3. 总体合成总体合成 =20 [W/(m2.oC)] =20 [W/(m2.oC)]iiiimjjjjmmmxy1(0,0)2(0,0.1)3(0.1,0)5(0.2,0)4(0.1,0.1) 6(0.2,0.1)si=0.1mTf2=0 oCTf1=100 oCsi=0.1m0.1m0.1m实例－稳态温度场的求解【求解】3. 总体合成总体合成实例－稳态温度场的求解【求解】4. 解线性代数方程组解线性代数方程组作业作业: 计算稳态温度场计算稳态温度场iijjmmxy1(0,0)2(0,0.1)3(0.1,0)5(0.2,0)4(0.1,0.1)6(0.2,0.1)T=25 oCT=100 oC0.1m0.1m8(0.3,0.1)0.1m0.1m7(0.3,0)总体刚度矩阵K的特性 对称性 奇异性 稀疏性 非零元素带状分布 方程组求解过程—特点方程组求解有限元计算过程中很重要的一部分，在有限元法的发展过程中，有限元方程的求解效率一直是其应用的最大瓶颈之一 有限元方程组的特点： 有限元方程组的系数矩阵具有对称、稀疏、带状分布以及正定、主元占优。

有效地利用这些特点，以减少系数矩阵的存贮量，提高方程组求解效率 方程组求解过程—分类比较线性方程组的解法主要分两大类: 直接解法：以高斯消去法基础，以等带宽或变带宽方式存贮系数矩阵内元素，对于求解规模比较大的问题，要存贮的元素非常巨大 迭代解法：只需要存贮系数矩阵中非零元素，存贮量很小，一般是变带宽存贮量的20%或更少，有些算法的求解效率也非常高，适合求解大规模线性方程组但是这种解法对接近病态的方程组很难保证收敛性 方程组求解过程—带宽定义有限元方程组系数矩阵是稀疏的、非零元素呈带状分布，带宽就是它的宽度，带宽的大小是由系统有限元网格的节点号排序决定的，具体求法是 带宽=(单元最大节点号之差+1)*节点自由度数 带宽是网格节点标注方法直接决定的，不同标注方法带宽可能相关很大 方程组求解过程—带宽带宽是网格节点标注方法直接决定的，不同标注方法带宽可能相关很大 方程组求解过程—带宽所示四边形网格的三种节点号标注方法，每个节点是2个自由度结构的带宽分别是12，18，56，相差很大，其中12和56之间相差近5倍，这就意味着系数矩阵的存贮量也是相差5倍，因此，对于大规模复杂系统的节点号优化是十分必要的 方程组求解过程—系数矩阵存贮 系数矩阵存贮 如果节点号排序优化的比较好，系数矩阵的存贮量就会减少很多。

根据系数矩阵的对称性，一般都是按半带宽存贮系数矩阵存贮的方法 二维等带宽存贮 一维变带宽存贮 方程组求解过程—二维等带宽存贮 二维等带宽存贮 方程组求解过程—二维等带宽存贮二维等带宽存贮消除了最大带宽以外的全部零元素，节省了系数矩阵元素的存贮量但是由于取最大带宽为存贮范围，因此不能排除在带宽内的大量零元素当系数矩阵的各行带宽变化不大时，适合采用二维等带宽存贮，方程组求解过程中系数矩阵元素的寻址也比较方便，求解效率较高当出现局部带宽特别大的情况时，采用二维等带宽存贮时，将由于局部带宽过大而使整体系数矩阵的存贮大大增加 方程组求解过程—一维变带宽存贮 一维变带宽存贮 一维变带宽存贮方法就是把变化的带宽内的元素按一定的顺序存贮在一个一维数组中由于它不按最大带宽存贮，因此比二维等带宽存贮更节省内存按照解法可分为按行一维变带宽存贮和按列一维变带宽存贮 按行一维变带宽存贮 方程组求解过程—一维变带宽存贮 辅助的寻址数组M 一维变带宽存贮是最节省内存的一种方法，但是由于要借助于寻址数组寻找系数矩阵元素的位置，相对二维等带宽存贮方法来说要复杂一些，而且在程序实现时也要复杂得多，方程组求解过程中也要消耗一些数组寻址时间。

因此，在选用存贮方法时要权衡二者的利弊，统盘考虑一般当带宽变化不大，计算机内存允许时，采用二维等带宽存贮方法是比较合适的 方程组求解过程—一维变带宽存贮 方程组求解过程—求解方法方程组求解方法 高斯消去法 三角分解法 雅可比（Jacobi）迭代法 高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法 瞬态温度场的有限元求解含时间变量问题的处理 含时间空间问题的纯有限元解法非常复杂，实用价值不大通常把时间有限差分技术移植到有限元技术中来 因此，这类问题的求解是在空间域内用有限元网格剖分，在时间域内则用有限差分网格剖分，实际上是有限元和有限差分的混合解法混合解法时间的有限差分：瞬态温度场的有限元求解瞬态温度场的有限元求解瞬态温度场的有限元求解有限元数值分析软件ANSYS介绍ANSYS的结构ANSYS分析过程实例分析The ANSYS Family of Products Educational/Non Educational/Non Commercial Use Commercial Use ProductsProductsEase of use &Ease of use &Entry level capabilityEntry level capabilityPowerful tools Powerful tools for the physics for the physics specialistspecialistHigh performance High performance mechanical & Thermalmechanical & ThermalExtreme functionalityExtreme functionalityThe whole enchilada!The whole enchilada!ANANSYSSYS MultiphysicsMultiphysicsANANSYSSYS MechanicalMechanicalANANSYSSYS FLOTRANFLOTRANANANSYSSYS EmagEmagANANSYSSYS ProfessionalProfessionalANANSYSSYS Structural StructuralANANSYS SYS MCAD & ECAD Connection productsMCAD & ECAD Connection productsANANSYSSYS UniversityUniversityWhat is ANSYS Multiphysics? A general purpose analysis tool allowing a user to combine the effects of two or more different, yet interrelated physics, within one, unified simulation environment.ANSYS的结构Preprocessing Create a solid model Define materials properties Mesh ——discrete the solid modelSolution Define the initial and boundary condition Select the reasonable solution parameters solute Postprocessing——display the results热应力场的有限元求解广义虎克定律：广义虎克定律：热应力场的有限元求解平面问题中应变与位移关系的向量形式：平面问题中应变与位移关系的向量形式：热应力场的有限元求解xyzoΔxΔyΔz热应变的产生：热应变的产生：当均质物体在均匀温度变化下作自由热膨胀当均质物体在均匀温度变化下作自由热膨胀时，并不产生热应力。

时，并不产生热应力热应力场的有限元求解杜阿梅尔杜阿梅尔—诺伊曼诺伊曼线性热应力理论：在温度变化不大的情线性热应力理论：在温度变化不大的情况下，温度变化引起的应力况下，温度变化引起的应力(或应变或应变)和外力引起的应力和外力引起的应力(或或应变应变)可以叠加．根据这个理论，考虑热应力的广义虎克定可以叠加．根据这个理论，考虑热应力的广义虎克定律，其形式如下：律，其形式如下：热应力场的有限元求解平面热弹性问题平面热弹性问题•平面热弹性平衡方程热应力场的有限元求解平面热弹性问题平面热弹性问题•平面热弹性运动方程热应力场的有限元求解•边界条件平面热弹性问题平面热弹性问题热应力场的有限元求解平面热弹性问题－平面热弹性问题－平面应力平面应力热应力场的有限元求解平面热弹性问题－平面热弹性问题－平面应变平面应变热应力场的有限元求解平面热应力问题的有限元基本公式平面热应力问题的有限元基本公式用伽辽金法作“变分”计算，得到有限元法基本方程式基本方程热应力场的有限元求解利用格林公式及边界条件：热应力场的有限元求解热应力场的有限元求解离散和单元位移插值函数离散和单元位移插值函数对于三角形单元对于三角形单元热应力场的有限元求解热应力场的有限元求解内部单元的积分计算内部单元的积分计算热应力场的有限元求解内部单元的积分计算内部单元的积分计算热应力场的有限元求解内部单元的积分计算内部单元的积分计算热应力场的有限元求解内部单元的积分计算内部单元的积分计算热应力场的有限元求解内部单元的积分计算内部单元的积分计算热应力场的有限元求解内部单元的积分计算内部单元的积分计算热应力场的有限元求解内部单元的积分计算内部单元的积分计算热应力场的有限元求解边界单元的积分计算边界单元的积分计算热应力场的有限元求解边界单元的积分计算边界单元的积分计算热应力场的有限元求解边界单元的积分计算边界单元的积分计算热应力场的有限元求解总体合成总体合成热应力场的有限元求解【例题】【例题】有一截面为圆环形的输暖管道，内外半径分别为：200mm、800mm,管道内水温为80oC，管外温度为10oC，求管道内的热应力分布。

材料参数：弹性模量120GPa泊松比0.3膨胀系数1.3e-6m/moC导热系数1.2W/moC平面静态应力场的简单算例平面静态应力场的简单算例热应力场的有限元求解平面静态应力场的简单算例平面静态应力场的简单算例[例题例题] 图示出了一块对角受压的正方形薄板(平面应力问题)，载荷沿厚度均匀分布为20kN／m．正方形对角线长为4m．约束处理过程 为什么要约束处理 ?总体平衡方程组是奇异的消除无限制的刚体运动 使总体平衡方程组存在唯一一组解约束处理过程—边界条件 边界条件分类 力(载荷)边界条件位移边界条件 集中载荷力 表面分布力 自重力热交换引起的温度载荷 固定位移约束 强制位移约束 关联位移约束 约束处理过程—模型简化xy约束处理过程—模型简化yx xy约束处理过程—约束方程123456789101112yx约束处理过程—约束处理方法位移约束处理方法 赋0赋1法 乘大数法 约束处理过程—赋0赋1法基本原理 利用初等变换对求解方程组进行相同的行列变换，既保证方程组解不会改变，又可以保持方程组系数矩阵的对称性 在进行初等变换时，只要保证对方程组系数矩阵做相同的行列变换，就可以保持方程组系数矩阵的对称性。

约束处理过程—乘大数法乘大数法基本原理 利用矩阵的初等变换不改变方程组解的思想 约束处理过程—两种方法比较赋0赋1法在约束处理过程中是严格精确的，而乘大数法是一种近似约束处理方法，它的精度取决于所乘大数A值 两种方法都可以消除有限元平衡方程的奇异性，得到符合实际边界条件的唯一一组解但两种方法还是有很大的区别 约束处理过程—两种方法比较采用乘大数法约束处理后的有限元平衡方程在求解时可能造成解的失真，大数A值越大可能解的偏差会越大，而赋0赋1法就不会出现类似的问题，它在约束过程和求解过程都是精确的乘大数法相对于赋0赋1法在约束处理过程上简单一些 约束处理过程—两种方法比较赋0赋1法实际上是将关联位移约束方程代入到有限元平衡方程中的，是代入法而乘大数是将占绝对优势的关联位移约束方程合并到有限元平衡方程中的，是罚方法，计算误差来自于合并过程，计算精度取决于关联位移约束方程的优势大小商业软件中，位移边界条件的约束处理都采用赋0赋1法，乘大数很少被采用主要原因是它是一种近似方法，而且大数的大小也不好确定，有时还会造成求解失败 应变、应力回代过程 单元应变和应力回代求解 通过求解有限元平衡方程得到有限元节点位移后，就可以进行系统的刚度校核。

如果所分析问题要进行强度校核，就要回代求解单元的应变和应力由插值关系和几何关系可得单元应变，再通过本构关系得到单元应力数值积分 为什么要进行数值积分?2节点线单元、3节点三角形单元和4节点四面体单元3种单元的单元刚度矩阵是常数矩阵，不需要再进行数值积分运算 除了这3种单元外，一般其它单元的刚度矩阵都是积分变量的函数，要采用数值积分方法进行计算 数值积分—主要方法常用的单元面内数值积分方法主要有： Hammer积分 Gauss积分 数值积分—积分阶次选择 数值积分的阶次选择 求解单元平衡方程时，绝大多数情况要采用数值积分方法，如何选择数值积分的阶次将直接影响计算精度和计算量如果积分阶次选择不当，有时甚至会导致计算失败 数值积分—积分阶次选择选择积分阶次的原则主要依据以下两点： 积分精度 积分阶次n与被积分多项式的阶次m有直接关系一般来说，有限元应用的经验公式 积分项有两个应变矩阵B相乘，因此m一定是偶数，则积分阶数n等于0.5、1.5、2.5、…… 数值积分—积分阶次选择常用单元的积分阶次选择 一维单元 一般都采用正规自然坐标系法得到的形函数 在单元平衡方程中雅可比矩阵中虽然也含有自然坐标，但是它只是单刚的一个系数，只对单刚中的每个元素的大小有相同的影响，不会改变单刚的特性 数值积分—积分阶次选择2节点线单元只能取高斯积分点n=13节点线单元可以取n=1或n=24节点线单元可以取n=2或n=32节点线单元：m=0，n=0.53节点线单元：m=2，n=1.54节点线单元：m=4，n=2.5按经验公式计算：实际应用计算：数值积分—积分阶次选择在有限元法中，把3节点单元取n=1以及4节点单元取n=2的积分方案称为减缩积分，而3节点单元取n=2以及4节点单元取n=3的积分方案称为正常积分 实际数值结果表明，有时减缩积分方案会带来很大的计算误差，产生零能模式 正常积分方案的有时计算结果也会偏小，产生闭锁现象 数值积分—积分阶次选择造成这些现象的原因有很多，例如，单元形状、单元相对大小、单元受力状况、分析问题的类型等等。

为了避免零能模式和闭锁现象的发生，一般采用减缩积分加阻尼矩阵方法采用减缩积分方案时，对每个节点施加一个柔性弹簧，通过弹簧的阻尼增加刚度矩阵的稳定性，阻止零能模式的发生但是弹簧的刚性系数越大，计算误差就越大，因此弹簧系数的选择也有一定的困难 。