06考研数一真题及答案收集.pdf

中国教育（） 中国最权威考研门户中国教育考研频道2006 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、 填空题： 16 小题，每小题4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. （1）0ln(1)lim1cosxxxx_【分析】本题为00未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可. 【详解】002ln(1)limlim211cos2xxxxx xxx. （2）微分方程(1)yxyx的通解是 _ 【详解】原方程等价为d11 dyxyx，两边积分得1lnlnyxxC，整理得exyCx.（1eCC）（3）设是锥面22(01)zxyz的下侧，则d d2 d d3(1)d dx y zy z xzx y_ 【详解】设1：221(1)zxy，取上侧，则d d2 d d3(1)d dx y zy z xzx y11d d2 d d3(1)d dd d2 d d3(1)d dx y zy z xzx yx y zy z xzx y. 而1d d2 d d3(1)d dx y zy z xzx y211006d6ddd2rVvr rz，1dd2dd3 (1 ) dd0 xyzyzxzxy. 所以d d2 d d3(1)d d2x y zy z xzx y. （4）点(2,1,0)到平面3450 xyz的距离d_ 【分析】本题直接利用点到平面距离公式000222AxByCzDdABC中国教育（） 中国最权威考研门户中国教育考研频道进行计算即可.其中000(,)xyz为点的坐标，0AxByCzD为平面方程 . 【详解】2223241502345d. （5）设矩阵2112A，E为 2 阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B_ 【分析】将矩阵方程改写为AXBXABAXBC或或的形式， 再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】由题设，有()2B AEE于是有4BAE，而11211AE，所以2B. 二、选择题： 714 小题，每小题4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数( )yf x具有二阶导数，且( )0,( )0fxfx，x为自变量x在点0 x处的增量，dyy与分别为( )f x在点0 x处对应的增量与微分，若0 x，则(A) 0dyy. (B) 0dyy. (C) d0yy. (D) d0yy. 【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】由( )0,( )0fxfx知，函数( )f x单调增加， 曲线( )yf x凹向， 作函数( )yf x的图形如右图所示，显然当0 x时，00d()d()0yyfxxfxx，故应选 (). （8）设( ,)f x y为连续函数，则1400d( cos ,sin) df rrr r等于（）22120d( , )dxxxf x yy. （B）221200d( , )dxxf x yy. 中国教育（） 中国最权威考研门户中国教育考研频道(C)22120d( , )dyyyf x yx.(D) 221200d( ,)dyyf x yx. 【分析】本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可. 【详解】由题设可知积分区域D如右图所示， 显然是Y型域，则原式22120d( ,)dyyyf x yx. 故选（） . （9）若级数1nna收敛，则级数(A) 1nna收敛. （B）1( 1)nnna收敛 . (C) 11nnna a收敛 . (D) 112nnnaa收敛 . 【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】由1nna收敛知11nna收敛，所以级数112nnnaa收敛，故应选(). 或利用排除法：取1( 1)nnan，则可排除选项（） ， （） ；取1( 1)nnan，则可排除选项（）.故（）项正确.（10）设( , )( ,)fx yx y与均为可微函数，且( ,)0yx y，已知00(,)xy是( ,)f x y在约束条件( ,)0 x y下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy. (B) 若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy. (C) 若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy. (D) 若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy. 【分析】利用拉格朗日函数( , ,)( ,)( , )F x yf x yx y在000(,)xy（0是对应00,xy的参数的值）取到极值的必要条件即可. 中国教育（） 中国最权威考研门户中国教育考研频道【详解】 作拉格朗日函数( , ,)( , )( , )F x yf x yx y， 并记对应00,xy的参数的值为0，则000000(,)0(,)0 xyFxyFxy， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0 xxyyfxyxyfxyxy. 消去0，得00000000(,)(,)(,)(,)0 xyyxfxyxyfxyxy, 整理得000000001(,)(,)(,)(,)xyxyfxyfxyxyxy.（因为( , )0yx y） ，若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.故选（） . （11）设12,s均为n维列向量，A为m n矩阵，下列选项正确的是(A)若12,s线性相关，则12,sAAA线性相关 . (B)若12,s线性相关，则12,sAAA线性无关 . (C) 若12,s线性无关，则12,sAAA线性相关 . (D) 若12,s线性无关，则12,sAAA线性无关 . C 【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】记12(,)sB，则12(,)sAAAAB. 所以，若向量组12,s线性相关，则()r Bs，从而()()r ABr Bs，向量组12,sAAA也线性相关，故应选(). （12）设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 行加到第1 行得B，再将B的第 1 列的1倍加到第2列得C，记110010001P，则（）1CPAP.（）1CPAP. （）TCP AP.（）TCPAP.中国教育（） 中国最权威考研门户中国教育考研频道【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得110110110110010,010010010001001001001BACBA，而1110010001P，则有1CPAP.故应选（）. （13）设,A B为随机事件，且( )0,(|)1P BP A B，则必有(A)()()PABPA(B) ()( )P ABP B(C)()( )P ABP A(D) ()( )P ABP B B 【分析】利用事件和的运算和条件概率的概念即可. 【详解】由题设，知()(|)1()P ABP A BP B，即()()P ABP A. 又()()()()()P ABP AP BP ABP A. 故应选 (). （14）设随机变量X服从正态分布211(,)N，Y服从正态分布222(,)N，且1211PXP Y则必有(A)12(B) 12(C) 12(D) 12 D 【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】由题设可得12112211XYPP，则12112121，即1211. 其中( )x是标准正态分布的分布函数. 又( )x是单调不减函数，则1211，即12. 中国教育（） 中国最权威考研门户中国教育考研频道故选 (A). 三 、解答题： 1523 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分10 分）设区域22( ,)1,0Dx y xyx， 计算二重积分221d d .1Dxyx yxy【分析】由于积分区域D关于x轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可. 【详解】积分区域D如右图所示 .因为区域D关于x轴对称，函数221( ,)1f x yxy是变量y的偶函数，函数22( , )1xyg x yxy是变量y的奇函数 . 则112222220011ln 2d d2d d2dd1112DDrx yx yrxyxyr22d d01Dxyx yxy，故22222211ln 2d dd dd d1112DDDxyxyx yx yx yxyxyxy. （16） （本题满分12 分）设数列nx满足110,sin(1,2,)nnxxxn（）证明limnnx存在，并求该极限；（）计算211limnxnnnxx. 【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在 . （）的计算需利用（）的结果. 【详解】（）因为10 x，则210sin1xx. 可推得10sin1,1,2,nnxxn，则数列nx有界 . 于是1sin1nnnnxxxx，（因当0sinxxx时，） ， 则有1nnxx， 可见数列nx单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limnnx存在 . 中国教育（） 中国最权威考研门户中国教育考研频道设limnnxl， 在1s innnxx两边令n， 得sinll，解得0l， 即l im0nnx. （）因22111sinlimlimnnxxnnnnnnxxxx，由（）知该极限为1型，令ntx，则,0nt，而222sin111111sin1000sinsinsinlimlim11lim11tttttttttttttttt，又23300001sinsincos1sin1lim1limlimlim366tttttttttttttt. （利用了sin x的麦克劳林展开式）故2211116sinlimlimennxxnnnnnnxxxx. （17） （本题满分12 分）将函数2( )2xf xxx展成x的幂级数 . 【分析】利用常见函数的幂级数展开式. 【详解】2( )2(2)(1)21xxABf xxxxxxx，比较两边系数可得21,33AB，即121111( )3213112fxxxxx. 而01( 1),( 1,1)1nnnxxx，01,( 2,2)212nnxxx，故120001111( )( 1)( 1),( 1,1)23232nnnnnnnnnnxf xxxxxxx. （18） （本题满分12 分）设函数( )f u在(0,)内具有二阶导数，且22zfxy满足等式22220zzxy. 中国教育（） 中国最权威考研门户中国教育考研频道（I）验证( )( )0fufuu；（II）若(1)0,(1)1ff，求函数( )f u的表达式 . 【分析】利用复合函数偏导数计算方法求出2222,zzxy代入22220zzxy即可得 （I）.按常规方法解（II）即可 . 【详解】（I） 设22uxy，则2222( ),( )zxzyfufuxyxyxy. 2222222222222( )( )xxyxyzxxfufuxxyxyxy22322222( )( )xyfufuxyxy，2223222222( )( )zyxfufuyxyxy. 将2222,zzxy代入22220zzxy得( )( )0fufuu. （II） 令( )fup，则dd0ppupupu，两边积分得1lnlnlnpuC，即1Cpu，亦即1( )Cfuu. 由(1)1f可得11C.所以有1( )fuu，两边积分得2( )lnf uuC，由(1)0f可得20C，故( )lnf uu. （19） （本题满分12 分）设在上半平面( , ) |0Dx yy内，函数( ,)fx y具有连续偏导数，且对任意的0t都有2(,)( , )f tx tytf x y.证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有中国教育（） 中国最权威考研门户中国教育考研频道( , )d( , )d0Lyfx yxxfx yy. 【分析】利用曲线积分与路径无关的条件QPxy. 【详解】2(,)( , )f tx tytf x y。