孤立子可积系统的研究与非线性发展方程的精确解.docx

分类号：0175.08 密 级：公开U D C : 单位代码：10424学位论文孤立子可积系统的研究与非线性发展方程的精确解闫孟华申请学位级别：硕士学位专业名称： 应用数学指导教师姓名：董焕河 职 称: 教授山东科技大学二零一四年四月论文题目：孤立子可积系统的研究与非线性发展方程的精确解作者姓名：闫孟华 入学时间： 2011年9月专业名称：应用数学 研究方向：微分方程理论及应用指导教师：董焕河 职 称： 教 授论文提交日期： 2014年4月论文答辩日期： 2014年6月授予学位日期：RESEARCHES ON THE INTEGRABLE ANDEXACT SOLUTIONS OF NON-LINEAREVOLUTION EQUATIONA Dissertation submitted in fulfillment of the requirements of the degree ofMASTER OF SCIENCEfromShandong University of Science and TechnologybyYan Meng HuaSupervisor: Professor Dong Huan HeCollege of Information Science and EngineeringMay,2014声明本人呈交给山东科技大学的这篇硕士学位论文，除了所列参考文献和 世所公认的文献外，全部是本人在导师指导下的研究成果，该论文资料尚 没有呈交于其它任何学术机关作鉴定。

硕士生签名:日 期:AFFIRMATIONI declare that this dissertation, submitted in fulfillment of the requirements for the award of Master of science in Shandong University of Science and Technology, is wholly my own work unless referenced of acknowledge. The document has not been submitted for qualification at any other academic institute.Signature:Date:摘要本文研究了孤立子理论中的可积系统与如何求解非线性发展方程的精确解第一章 中简要概述了孤立子理论与Liouville可积、Lax可积的历史渊源和发展进程在第二章 中，通过构造一个loop代数，给出了 loop代数所满足的条件，然后设计了一个等谱问 题，试探求解了(2+1)-维静态零曲率方程，得到了一个(2+1)-维Li方程族。

构建线性代 数空间，应用屠格式，得到了一个李超代数与李族的超可积耦合在本文的第三章中， 首先根据齐次平衡原则得到Boussinesq方程和修正的Kawahara方程的精确孤立波解， 广义五阶Kdv方程的Backlund变换和它的精确孤立波解，借助Matlab这种有力的数学 工具给出了解的图形其次，利用双曲函数展开法给出了 Boussinesq方程的精确解，最 后，利用Jacobi椭圆函数展开法探讨了长波和短波相互作用的五阶模型方程，通过推导 获得了这个方程的精确孤立波解，然后利用Matlab软件给出了解的图形关键词：静态零曲率方程，Liouville可积，Lax可积，Hamilton结构，可积耦合，非 线性偏微分方程，精确解，双曲函数展开法，齐次平衡法，Jacobi椭圆函数展开法AbstractThe major contents in this paper include: researchers on the integrable systems and the exact solutions of several kinds of the non-linear evolution equation. In the first chapter, history of soliton study and integrable system are presented. In the second chapter, by constructing a loop algebra, algebra given loop conditions are satisfied, then the design of a spectrum of issues, and then solving the static zero curvature equation corresponding Lionville integrable systems with Hamilton structure temptation to solve (2 +1) - dimensional static zero curvature equation, we get a (2 +1) - dimensional equation Li family, such as through further application of Tu format, get a Lie super algebras and corresponding super-Li hierarchies.In the third chapter, firstly, get the exact solution and the modified Boussinesq equation based on the principle of homogeneous balance Kawahara equation, generalized fifth Bdcklund transformation Kdv equation and its exact solitary wave solutions, using Matlab gives this powerful mathematical tool to understand graphics. Secondly, the use of hyperbolic function expansion method gives the exact solution of Boussinesq equation, finally, the use of Jacobi elliptic function expansion method discussed the long-wave and short-wave interaction fifth-order model equations, we systematically obtained exact solitary wave solutions of this equation also given to understand by using Matlab software graphics.Keywords : zero curvature equation, integrable system, Hamilton structure, Integrable coupling, non-linear evolution equation, exact solution, homogeneous balance method, Jacobi elliptic functions method, the hyperbolic function expansion method .目录1绪论 11.1孤立子理论的历史渊源及发展进程 11.2可积系统与非线性发展方程的解 21.3 本文研究的主要内容和方法 62李族、李超代数与李族的超可积耦合 72.1 一般理论及方法 72.2 (2+1)维 Li 方程族 1112.3李超代数与李族的超可积耦合 1133非线性方程的精确解 173.1 齐次平衡法求解非线性发展方程 173.2利用双曲函数展开法求解非线性发展方程 293.3 Jacobi椭圆函数展开法在非线性发展方程中的应用 33致谢 38主要参考文献 39Contents1 Introduction 11.1 Historical origins and development process of soliton theory 11.2 Integrable systems and solutions of nonlinear evolution equations 21.3 The main contents and methods of this study 62 Lie super algebras and corresponding super-Li hierarchies 72.1 General theory and method 72.2 (2 +1'dimensional equation Li hierarchy 112.3 Lie super algebras and corresponding super-Li hierarchies 133 The exact solutions of th。

nonlinear evolution equations 173.1 Solving the nonlinear evolution equations by Homogeneous balance method 173.2 Expansion method for solving nonlinear evolution equations by using hyperbolic function .... 293.3 Solving the nonlinear evolution equations by Jacobi elliptic functions expansion method 33Reference 391绪论1.1孤立子理论的历史渊源及发展进程随着科技的高速发展，人类的不断进步，非线性科学在自然科学，社会科学领域中 的应用越来越广泛，为了研究各类非线性问题，人们往往借助它的数学模型-…非线性偏 微分方程来研究和探讨它，这样求解这类方程的精确解就成为科学家特别是数学家们长 期探讨的重要课题之一孤立波这种现象是在观察自然界的过程中产生的，它是非线性 研究的一个热点，孤立波(Solitary waves)现象最初是英国科学家J.Scott.Rusell在1834年 沿运河旅游时偶然间发现的。

当时Rusell正骑马沿着运河走动，无意中看到正在行进的 船突然停了下来，由于河道过于狭窄，水团在船体的带动下聚在船头猛烈翻动着，随后, 形成了一个孤立波峰，波峰急速离开船头迅速向前运动，在行进过程中波的形状及其速 度并没有明显的变化，随后高度逐渐下降，很长一段距离后才渐渐消失在河道上罗素 被这一奇特的水波现象折服了⑶之后罗素将他发现的这种奇特的波包称为孤立波，并在他的后半生中专门从事孤立 波的研究他用大水槽模拟运河，并模拟当时情形给水以适当的推动，给出了他发现孤 立波时的情形罗素认为孤立波可能是流体力学的一个解，他千方百计试图找到这个解, 但是由于当时的科学技术水平和数学物理理论以及实验的条件都比较落后，虽然罗素在 实验室里进行了很多实验，但他都无法从理论上给予孤立波以圆满合理的解释最终也 没能引起大家特别是数学家和物理学家们的高度重视，孤立波从此被掩埋在了历史的尘。