2019秋浙教版八年级上册数学同步测试题：对点专题提升5—几何动点问题含答案.docx

2019秋浙教版八年级上册数学同步测试题：对点专题提升5——几何动点问题(教材P82作业题第2题)已知，如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP＝PC，AP⊥PC.求证：△ABP≌△PDC.　(教材母题图)证明：∵∠APB＋∠A＝90°，∠APB＋∠CPD＝90°，∴∠A＝∠CPD，在△ABP和△PDC中，∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠CPD，AP＝PC，∴△ABP≌△PDC.【思想方法】 动态问题就是利用运动特征，寻找题目中的某些量之间的关系，遇到计算问题的时候注意运用方程思想和分类讨论思想．　一个点的运动1．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A，P，D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是(　B　) (第1题图)【解析】 当点P在AD上运动，即0≤x≤4时，y的值为0；当点P在DC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大；当点P在CB上运动，即8＜x≤12时，y不变；当点P在BA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小．故选B.2．[乐清校级期中]在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 cm，AC＝6 cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以2 cm/s的速度匀速运动，若点D 运动t s时，以A，D，B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为__或5或8__s.【解析】 ①如答图①，当AD＝BD时，在Rt△ACD中，根据勾股定理得到AD2＝CD2＋AC2，即BD2＝(8－BD)2＋62，解得BD＝(cm)，则t＝＝(s)；第2题答图① 　　第2题答图②②如答图②，当AB＝BD时．在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AB＝＝＝10，则t＝＝5(s)；③如答图③，当AD＝AB时，BD＝2BC＝16，则t＝＝8(s)．第2题答图③综上所述，t的值可以是或5或8.3．[杭州余杭区校级期中]如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q.(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；(2)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，点P以每秒1单位长度的速度匀速运动，当△ADQ恰为等腰三角形时，求点P运动的时间．　(第3题图)　　 第3题答图解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠DAC＝∠BAC，在△ADQ和△ABQ中，AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，AQ＝AQ，∴△ADQ≌△ABQ.(2)①当AQ＝DQ时，∠QDA＝∠QAD＝45°，则点Q为正方形ABCD的中心，点B与点P重合，此时点P运动的时间为t1＝4÷1＝4(s)；②如答图，当AQ＝AD时，则∠ADQ＝∠AQD，∵正方形ABCD边长为4，∴AC＝＝4，∴CQ＝AC－AQ＝4－4，∵AD∥BC，∴∠CPQ＝∠ADQ，∴∠CPQ＝∠AQD＝∠CQP，∴CP＝CQ＝4－4，∴BP＝4－(4－4)＝8－4，∴P点运动的时间为t2＝(4＋8－4)÷1＝(12－4)s.③当AD＝DQ时，C，P，Q三点重合，此时P点运动时间为t3＝(4＋4)÷1＝8(s)．综上，当△ADQ恰为等腰三角形时，点P运动时间可以为4 s或(12－4)s或8 s.4．[杭州上城区校级期中]如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动一周，且速度为每秒 2 cm，设运动的时间为t s.(1)求t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分；(2)求t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求此时CP的长；(3)求t为何值时，△BCP为等腰三角形？(请直接写出答案)　(第4题图)解：(1)∵AC＝8 cm，BC＝6 cm，∴AB＝＝＝10 cm，依题意得2t＝(10＋8＋6)÷2，解得t＝6，∴t＝6时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分；(2)∵CP要把△ABC的面积分成相等的两部分，∴P为AB的中点，∴2t＝8＋5，得t＝6.5 s，此时CP＝AB＝×10＝5 cm.(3)△BCP为等腰三角形，共有三种情况，①CP＝CB，P在AC上，CP＝6 cm，t＝＝3(s)，P在AB上，此时可求得BP＝7.2 cm，∴AP＝2.8 cm，∴t＝(8＋2.8)÷2＝5.4(s)；②BC＝BP，点P在AB上，BP＝6 cm，CA＋AP＝8＋10－6＝12 cm，∴t＝＝6 s.③PB＝PC，点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即为AB中点，有CA＋AP＝8＋5＝13(cm)，t＝＝6.5 s.综上可知，t＝3 s或5.4 s或6 s或6.5 s时，△BCP为等腰三角形．　两个点的运动5．[湖州校级期中]如图，等边三角形ABC的边长为6，有从点A出发每秒1个单位且垂直于AC的直线m交三角形的边于P和Q两点且由A向C平移，点G从点C出发每秒4个单位沿C→B→P→Q→C路线运动，如果直线m和点G同时出发，则点G回到点C的时间为__3＋__s.　(第5题图)【解析】 点G与点P相遇，点G在水平方向上速度为4×＝2，P点在水平方向上速度与Q点相同，是1.故相遇时，时间为6÷(2＋1)＝2.相遇时，AQ＝2，所以PQ＝AQ＝2，故点G在PQ上从P运动到Q点，需时间＝.当运动到Q点时，AQ＝2＋，余下的CQ＝6－AQ＝4－，点G需时间÷4＝1－.故总的时间是2＋＋1－＝s.6．[杭州上城区校级期中]如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿 A→B方向运动，且速度为每秒1 cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2 cm，它们同时出发，设出发的时间为t s.(1)当t＝2 s时，求PQ的长；(2)求出发时间为几秒时，△PQB第一次成等腰三角形？(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．　(第6题图) 　　第6题答图解：(1)BQ＝2×2＝4 cm，BP＝AB－AP＝8－2×1＝6 cm，∵∠B＝90°，∴PQ＝＝＝2 cm.(2)由题得BQ＝BP，即2t＝8－t，t＝ s，即t为 s时，△PQB第一次成等腰三角形．(3)分3种情况：①当CQ＝BQ时，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∵∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝5，BC＋CQ＝11，t＝11÷2＝5.5 s；②当CQ＝BC时，BC＋CQ＝12，∴t＝12÷2＝6 s.③当BC＝BQ时，如答图，过B点作BE⊥AC于E，BE＝＝＝4.8 cm，∴CE＝＝3.6 cm，∴CQ＝2CE＝7.2 cm，∴BC＋CQ＝13.2 cm，∴t＝13.2÷2＝6.6 s.∴t为5.5 s或6 s或6.6 s时△BCQ为等腰三角形．7．[乐清校级期中]如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1 cm，设出发的时间为t s.(1)出发2 s后，求△ABP的周长；(2)问t满足什么条件时，△BCP为等腰三角形？(3)另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2 cm，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？　(第7题图) 　　第7题答图解：(1)t＝2时，CP＝2，AP＝AC－CP＝2，BP＝＝，∴△ABP的周长＝AB＋BP＋AP＝7＋.(2)当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在CA上，t＝3 s；如答图，若点P在AB上，CP＝CB＝3，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得CD＝，在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝，∴PB＝2BD＝，∴CA＋AP＝4＋5－＝5.4，此时t＝5.4÷1＝5.4(s)；当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形，∴AP＝AB－BP＝2，∴t＝(4＋2)÷1＝6 s；当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则BD＝CD，∴PD为△ABC的中位线，∴AP＝BP＝AB＝，∴t＝÷1＝(s)．综上所述，t为3 s或5.4 s或6 s或 s时，△BCP为等腰三角形；(3)∵△ABC的周长为12，∴PQ将△ABC周长分为6和6两部分，∵2t≤12，∴t≤6，∴t＋2t＝6或t＋2t＝12＋6，解得t＝2 s或6 s.　几何图形与函数的结合8．如图，已知：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝1，P是AC上不与A，C重合的一动点，PQ⊥BC于Q，QR⊥AB于R.(1)求证：PQ＝CQ；(2)设CP的长为x，QR的长为y，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；(3)PR能否平行于BC？如果能，试求出x的值；如果不能，请简述理由．　(第8题图)解：(1)证明：∵∠A＝90°，AB＝AC＝1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，∵PQ⊥CQ，∴△PCQ为等腰直角三角形，∴PQ＝CQ；(2)∵△ABC为等腰直角三角形，∴BC＝AB＝，∵△PCQ为等腰直角三角形，∴CQ＝PC＝x，同理可证得△BQR为等腰直角三角形，∴BQ＝RQ＝y，∵BQ＋CQ＝BC，∴y＋x＝，∴y＝－x＋1(0＜x＜1)；(3)能．理由如下：AR＝1－y，AP＝1－x，当AR＝AP时，PR∥BC，即1－＝1－x，解得x＝，∵0＜x＜1，∴当x＝时，PR∥BC.。