2021高考数学满分突破之解析几何篇专题04 抛物线与阿基米德三角形（解析版）.doc

专题04 抛物线与阿基米德三角形【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形的得名，是因为阿基米德本人最早利用逼近的思想证明 如下结论：抛物线与阿基米德三角形定理：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．下面来逐一介绍阿基米德三角形的一些推论:如图，已知是抛物线准线上任意一点，过作抛物线的切线、分别交抛物线于、两点，为 中点，则：1.若过焦点，则的端点的两条切线的交点在其准线上．2.阿基米德三角形底边上的中线平行于坐标轴，即．3.过抛物线的焦点4.5.阿基米德三角形面积的最小值为【考点精选例题精析】：例1.(2020年模拟题精选)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的纵坐标为8，且1）求抛物线的方程；（2）若点是抛物线准线上的任意一点，过点作直线与抛物线相切于点，证明：．【解析】（1）由题意可知，抛物线的准线方程为，又点的纵坐标为8，且，于是，∴，故抛物线的方程为2） 设点，，，∵，∴，切线方程为，即，令，可解得，∴，又，∴，∴。

∴考点点睛】当点在准线上时，过焦点，底边的中线平行于对称轴，且的最小值为证明：（此步骤必须牢记，在大题中要体现）设抛物线方程为：，设，由前面步骤可知：，即过焦点的中点为，而由上面步骤可知：，即底边的中线平行于对称轴当时，其面积最小为例2、已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，AB所在直线经过抛物线的焦点F，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.证明：为定值.【解析】：由题意，设直线AB的方程为代入得设则又所以切线方程分别为，从而所以，故即所以为定值.【达标检测】：1.(2014年辽宁卷)已知点在抛物线：的准线上，过点的直线与在第一象限相切于点，记的焦点为，则直线的斜率为 ( )A. B. C. D.【解析】D【解析】：知抛物线为：，设，则切线方程为：，代入点A，得，选D秒杀公式：阿基米德三角形：由，选D2. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2=2px（p＞0），弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ为（　　）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随Q位置变化前三种情况都有可能【答案】B【解析】秒杀公式：阿基米德三角形3. 已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,－2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________.【答案】4.已知点 P (- 3, 2)在抛物线 C： y 2 = 2 px (p > 0)的准线上，过点 P 的直线与抛物线 C 相切于 A，B 两点，则直线 AB 的斜率为（ ）2A．1 B．3C． D． 3【答案】【解析】P（﹣3，2）在抛物线 C： y 2 = 2 px (p > 0)的准线上，故 p=6，抛物线C：y2=12x，根据秘籍中的性质（1）可知，AB 中点的纵坐标与 P 点纵坐标相等即 y0 = 2 ，且 AB 过抛物线的焦点；设 AB 方程为 x = ky + 3 ，代入抛物线方程得：y -12ky - 36 = 0故直线 AB 的斜率为 35.已知抛物线 P : x 2 = 2 py (p > 0)．（1）抛物线上点 M (m, 2) 到焦点 F 的距离为 3，求抛物线 P 的方程；（2）设抛物线 P 的准线与 y 轴的交点为 E，过 E 作抛物线 P 的切线,求此切线方程;【答案】（1）. x2 = 4 y （2）.x - y -1 = 0 或 x + y + 1 = 0 6.如图△PAB是阿基米德三角形，N为抛物线弦AB的中点，则直线PN平行于抛物线的对称轴.【证明】：以抛物线x2＝2py（p＞0）为例，由题意设,B(x2,),x1＜x2, 由x2＝2py得,则,所以,.因此直线PA的方程为,直线PB的方程为.所以由①②得 N为抛物线弦AB的中点，N的横坐标为因此则直线PN平行于y轴,即平行于抛物线的对称轴.7.如图,设抛物线方程为x2＝2py(p＞0),M为直线y＝－2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.(Ⅰ)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2,－2p)时,.求此时抛物线的方程;(Ⅲ)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2＝2py(p＞0)上,其中,点C满足(O为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】：（1）由题意设由得，则 所以因此直线MA的方程为　　　　　　　　直线MB的方程为所以① ②由①、②得　　 因此，即所以A、M、B三点的横坐标成等差数列。

2）解：由（1）知，当x0=2时，将其代入①、②并整理得：，所以，x1、x2是方程的两根， 因此又 所以由弦长公式得又， 所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为或3）解：设D（x3，y3），由题意得C（x1+ x2，y1+ y2），则CD的中点坐标为　 设直线AB的方程为　由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，代入得　 若D（x3，y3）在抛物线上，则因此，x3=0或x3=2x0即D（0，0）或（i）当x0=0时，则，此时，点M（0，-2p）适合题意；（ii）当，对于D（0，0），此时又，AB⊥CD，所以即矛盾对于，因为此时直线CD平行于y轴， 又所以，直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的M点综上所述，仅存在一点M（0，-2p）适合题意。