时间序列模型概述.docx

编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页 共1页Wold分解定理：任何协方差平稳过程xt，都可以被表示为xt - m - dt = ut + y1 ut-1+ y2 ut-2 + … + = 其中m 表示xt的期望dt 表示xt的线性确定性成分，如周期性成分、时间t的多项式和指数形式等，可以直接用xt的滞后值预测y0 = 1，< ∞ut为白噪声过程ut表示用xt的滞后项预测xt时的误差ut = xt - E(xt | xt-1, xt-2 , …)称为xt的线性非确定性成分当dt = 0时，称xt为纯线性非确定性过程 Wold分解定理由Wold在1938年提出Wold分解定理只要求过程2阶平稳即可从原理上讲，要得到过程的Wold分解，就必须知道无限个yj参数，这对于一个有限样本来说是不可能的实际中可以对yj做另一种假定，即可以把Y (L)看作是2个有限特征多项式的比， Y(L) === 注意，无论原序列中含有何种确定性成分，在前面介绍的模型种类中，还是后面介绍的自相关函数、偏自相关函数中都假设在原序列中已经剔除了所有确定性成分，是一个纯的随机过程（过程中不含有任何确定性成分）。

如果一个序列如上式， xt = m + dt + ut + y1 ut-1+ y2 ut-2 + … +则所有研究都是在yt = xt - m - dt 的基础上进行例如前面给出的各类模型中都不含有均值项、时间趋势项就是这个道理2.3 自相关函数以上介绍了随机过程的几种模型实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具1. 自相关函数定义 在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念由第一节知随机过程{xt}中的每一个元素xt，t = 1, 2, … 都是随机变量对于平稳的随机过程，其期望为常数，用 m 表示，即 E(x t) = m, t = 1, 2, … (2.25)随机过程的取值将以 m 为中心上下变动平稳随机过程的方差也是一个常量 Var(x t) = E [(xt - E(xt))2 ] = E [(xt - m)2 ] = sx2 , t = 1, 2, … (2.26)sx2用来度量随机过程取值对其均值 m 的离散程度。

相隔k期的两个随机变量x t 与xt - k 的协方差即滞后k期的自协方差，定义为 gk = Cov (xt , x t - k ) = E[(xt - m ) (xt - k - m ) ] (2.27)自协方差序列 gk , k = 0, 1, …, K,称为随机过程 {xt} 的自协方差函数当k = 0 时 g0 = Var (xt) = sx2 自相关系数定义 rk = （2.28） 因为对于一个平稳过程有 Var (xt) = Var (xt - k) = sx2 (2.29)所以（2.28）可以改写为 rk = == （2.30）当 k = 0 时，有 r 0 = 1 以滞后期k为变量的自相关系数列 rk, k = 0, 1, …, K (2.31)称为自相关函数。

因为rk = r- k 即Cov (xt - k , xt ) = Cov (xt , x t + k )，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可2.自回归过程的自相关函数 (1) 平稳AR(1)过程的自相关函数AR(1) 过程如下 xt = f1 xt-1 + ut , |f1| < 1用xt- k 同乘上式两侧 xt xt- k = f1 xt-1 xt- k + ut xt- k两侧同取期望， gk = f1 gk -1其中E(xt- k ut) = 0（ut与其t - k期及以前各项都不相关）两侧同除 g0 得, rk = f1 rk -1 = f1 f1 rk -2 = … = f1k r0因为 ro = 1所以有 rk = f1k , （k ³ 0）对于平稳序列有 | f1| < 1所以当 f1为正时，自相关函数按指数衰减至零（过阻尼情形），当 f1为负时，自相关函数正负交错地指数衰减至零见图2.6因为对于经济时间序列，f1一般为正，所以第一种情形常见指数衰减至零的表现形式说明随着时间间隔的加长，变量之间的关系变得越来越弱。

f1 > 0 （经济问题中常见） f1 < 0 （经济问题中少见）图2.6 AR(1) 过程的自相关函数（2）AR(p) 过程的自相关函数用xt - k , (k > 0) 同乘平稳的 p阶自回归过程 xt = f 1 xt -1 + f 2 xt -2 +…+ f p xt - p + ut (2.32)的两侧，得 xt - k xt = f1 xt - k xt -1 + f2 xt - k xt -2 + … + fp xt - k xt - p + xt - k ut (2.33)对上式两侧分别求期望得 gk = f1 gk -1 + f2 gk -2 + … + fp gk - p ， k > 0 (2.34)上式中对于 k > 0，有E(xt - k ut ) = 0因为当 k > 0时，xt - k 发生在ut 之前，所以 xt - k 与 ut不相关。

用 g0分别除（2.34）式的两侧得 rk = f1 rk -1 + f2 rk -2 + … + fp rk -p ， k > 0 (2.35)令 F(L) = (1 - f1 L - f2 L2 - … - fp Lp）其中L为k的滞后算子，则上式可表达为 F(L) rk = 0因 F(L) 可因式分解为， F(L) =,则（2.35）式的通解（证明见附录）是 rk = A1 G1k + A2 G2k + … + Ap Gpk. (2.36)其中Ai, i = 1, … p 为待定常数这里 Gi-1, i = 1, 2, …, p 是特征方程 F(L) = (1 - f1 L - f2 L2 - … - fp Lp ) = 0的根为保证随机过程的平稳性，要求 | Gi | < 1, i = 1, 2, …, p这会遇到如下两种情形 ① 当Gi为实数时，(2.36) 式中的Ai Gik 将随着k 的增加而几何衰减至零，称为指数衰减（过阻尼情形）。

② 当Gi 和Gj 表示一对共轭复根时，设Gi = a + bi, Gj = a – bi, = R，则Gi , Gj的极座标形式是Gi = R (Cosq + i Sinq )，Gj = R (Cosq - i Sinq )若AR(p) 过程平稳，则 |Gi| < 1，所以必有R <1那么随着k的增加，Gik = Rk (Coskq + i Sinkq )，Gjk = Rk (Coskq - i Sinkq )，自相关函数（2.36）式中的相应项Gik , Gjk将按正弦振荡形式衰减（欠阻尼情形）实际中的平稳自回归过程的自相关函数常是由指数衰减和正弦衰减两部分混合而成③ 从（2.36）式可以看出，当特征方程的根取值远离单位圆时，k不必很大，自相关函数就会衰减至零④ 有一个实数根接近1时，自相关函数将衰减的很慢，近似于线性衰减当有两个以上的根取值接近1时，自相关函数同样会衰减的很慢 a. 两个特征根为实根 b. 两个特征根为共轭复根图2.6 AR(2) 过程的自相关函数3. 移动平均过程的自相关函数 (1) MA(1) 过程的自相关函数。

对于MA(1)过程xt = ut + q1 ut-1有 gk = E(xt xt- k) = E [(ut + q1 ut -1) (ut - k + q1 ut -k -1)]当k = 0时，　　　 g0 = E(xt xt) = E [(ut + q1 ut -1) (ut + q1 ut -1)] = E (ut2 + q1 ut ut-1 + q1 ut ut-1 + q12 ut-12 ) = (1 + q12 ) s 2当k = 1时 g1 = E(xt xt- 1) = E [(ut + q1 ut -1) (ut – 1 + q1 ut – 2 )] = E (ut ut -1 + q1 ut -12 + q1 ut ut -2 + q12 ut -1 ut -2) = q1 E (ut -1) 2 = q1 s 2当 k > 1 时， gk = E [(ut + q1 ut -1) (ut – k + q1 ut – k -1)] = 0综合以上三种情形，MA(1)过程自相关函数为 rk = = , k = 1 0 , k > 1，见图2.7。

q1 > 0 q1 < 0图2.7 MA(1)过程的自相关函数可见MA(1) 过程的自相关函数具有截尾特征当k > 1时，rk = 0 (2) MA(q) 过程的自相关函数 MA(q) 过程的自相关函数是 rk = , k = 1, 2, …, q , 0 k > q ,当k > q 时，rk = 0，说明 rk , k = 0, 1, … 具有截尾特征 （注意：模型移动平均项的符号以及这里 rk的符号正好与Box-Jenkins书中的符号相反，这样表示的好处是保持与计算机输出结果一致 4. ARMA (1, 1) 过程的自相关函数ARMA (1, 1) 过程的自相关函数rk 从 r1。