数值计算方法第2章2-1节.ppt

第第2 2 章章 非线性方程的数值解法非线性方程的数值解法 2.1 2.1 初始近似值的搜索初始近似值的搜索 2.2 2.2 迭代法迭代法 2.3 2.3 牛顿迭代法（切线法）牛顿迭代法（切线法） 2.4 2.4 弦截法（割线法）弦截法（割线法）2.1 2.1 初始近似值的搜索初始近似值的搜索2.1.12.1.1方程的根单根和重根有根区间  假设假设f(x)f(x)在区间在区间[ [a,ba,b] ]内内有一个实根有一个实根x x* *, ,若若 b – ab – a较小，较小，则可在则可在(a,b)(a,b)上任取一点上任取一点x x0 0作作为为初始近似根初始近似根 一般情形，可用逐步搜一般情形，可用逐步搜索法2.1.2 逐步搜索法逐步搜索法例 对方程 搜索有根区间解解 由于由于f(x)是是连续函数，连续函数， f(0)= -1<0，，f(2)>0，，故方程故方程至少有一正实根。

设从至少有一正实根设从x=0 出发，取出发，取h=0.5为步长，逐步为步长，逐步右跨搜索，得右跨搜索，得x 0 0.5 1.0 1.5f(x) ― ― ― +所以所以f(x)在区间（在区间（1,1.5）上单调连续，因而在）上单调连续，因而在(1,1.5)内有且仅有一个实根，故可取内有且仅有一个实根，故可取[1 ,1.5]上任一点做初上任一点做初始近似根始近似根可见在（可见在（1，，1.5）内有根又）内有根又 2.1.3 2.1.3 区间二分法区间二分法 定理定理 函数函数f f( (x x) )在在[ [a,ba,b] ]上单调连续，且上单调连续，且f(a)f(b)f(a)f(b)<0<0，，则方程则方程f(x)=0f(x)=0在区间在区间[ [a,ba,b] ]上有且仅有上有且仅有一个实根一个实根x x* * 二分法的基本思想二分法的基本思想 将有根的区间二分为两个小区间，然后判断根在将有根的区间二分为两个小区间，然后判断根在那个小区间，舍去无根的小区间，而把有根的小区间那个小区间，舍去无根的小区间，而把有根的小区间再一分为二，再判断根属于哪个更小的区间，如此反再一分为二，再判断根属于哪个更小的区间，如此反复复 ，直到求出满足精度要求的近似根。

直到求出满足精度要求的近似根令令 近似根近似根xk的误差估计的误差估计中点中点这时有三种情况：这时有三种情况： f(x0)=0, x0为所求的根为所求的根. f(x0)和和a0 同号，取同号，取x0 = a1 f(x0)和和b0 同号，取同号，取x0 = b1 x*x*新的有根区间为新的有根区间为(a1 , b1 ) ，，长度是原来的一半长度是原来的一半如此反复，有如此反复，有∈∈( a k , b k ) , k=0,1,2,….. 近似根近似根xk的误差估计的误差估计第第2次二分，取中点次二分，取中点若若 f(a1 )f(x1 )<0，，则则 x*∈∈( a1 , x1 )，，令令a2=a1 , b2=x1；；否则否则 令令 a2=x1 , b2=b1 新的有根区间为新的有根区间为(a2 , b2 ) 由此得由此得二分过程结束的原则：二分过程结束的原则：先给定精度要求先给定精度要求ε(绝对误差限绝对误差限)，， （（2））当当|bk+1 – ak+1|< ε时结束二分计算，取时结束二分计算，取 x*≈xk ；； （（1）事先由）事先由ε估计出二分的最小次数估计出二分的最小次数 k ，，取取 x*≈xk 。