近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-1.doc

近世代数课后习题参考答案近世代数课后习题参考答案第一章第一章基本概念基本概念1 1 集合集合1.,但不是的真子集,这个情况什么时候才能出现?AB BA解 ׃只有在时, 才能出现题中说述情况.证明 如下BA 当,但不是的真子集,可知凡是属于而,显然矛盾;BA BAABa若,但不是的真子集,可知凡属于的元不可能属于,故AB BAABBA 2.假定,,A∩B=? BA?BAI解 ׃此时, A∩B=A, 这是因为 A∩B=A 及由得 AA∩B=A,故,,BAABAIBBAU及由得,故,BABBAUBBAU2 2 映射映射1.=,找一个到的映射.A100, 3 , 2 , 1，AAA解 ׃此时 1),(211aaAaa21,1212),(aaa易证都是到的映射.21,AAA2.在你为习题 所找到的映射之下,是不是的每一个元都是到的一个元的的象?1AAAA解׃容易说明在之下,有的元不是的任何元的象;容易验证在之下,的每个1AAA2A元都是的象.AA3 3 代数运算代数运算1.={所有不等于零的偶数}.找到一个集合 ,使得普通除法AD是到的代数运算;是不是找的到这样的?AADD解׃取为全体有理数集,易见普通除法是到的代数运算;同时说明这样的不DAADD只一个.2..规定的两个不同的代数运算.Acba,,A解 ׃a b caa b ca b cbb c aaa a acc a bbd a aca a a4 4 结合律结合律1.={所有不等于零的实数}. 是普通除法:.这个代数运算适合不适合结合律?Aobabao解 ׃这个代数运算不适合结合律:, ,从而 .212) 11 (oo2)21 (1oo)21 (12) 11 (oooo2.={所有实数}. : 这个代数运算适合不适合结合律?Aobababao2),(解 ׃这个代数运算不适合结合律,cbacba22)(oocbacba42)(oo除非.)()(cbacbaoooo0c3.={},由表Acba,,所给的代数运算适合不适合结合律?解 ׃经过个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律.275 5 交换律交换律1.={所有实数}. 是普通减法:.这个代数运算适合不适合交换律?Aobabao解 ׃一般地 除非.abbaba 2.,由表 },,,{dcbaA a b c daa b c dbb d a ccc a b ddd c a b所给出代数运算适合不适合交换律?a b caa b cbb c acc a b解 ׃, ddcoacdo从而.故所给的代数运算不适合交换律.cddcoo6 6 分配律分配律假定:是的两个代数运算,并且适合结合律,,A适合两个分配律.证明,)()()()(22122111babababa)()()()(22211211babababa证׃)()()()(22122111babababa=])[(])[(221121baabaa=)()(2121bbaa=)]([)]([212211bbabba)()()()(22211211babababa7 7 一 一 映射、变换映射、变换1.={所有的实数},{所有实数}.找一个与间的意义映射.A0 AA A证 : 因为是大于零的实数,所以是实数aaalog aalog即 ,而,而且.因此是到的映射.Aa  AababaloglogA A又给了一个的任意元,一定有一个的元,满足,因此是到的满射.  A aAa  aalogA Aaaalog bbblog若 , 则 .即 因此又是到的单射.总之,ba baloglog babaA A是到的一一映射.A A2. ={所有的实数},{所有实数,}. 找一个到的满射.A0 A a10 aA A证 ,容易验证是到的满射.aaasin: A A3.假定是与间的一个一一映射,是的一个元. A AaA?)]([1A若是的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么??)]([1aA解 ׃, 未必有意义;当是的一一变换时,aa)]([1aa)]([1A.)]([,)]([11aaaa8 8 同态同态1.={所有实数},的代数运算是普通乘法.以下映射是不是到的一个子集AxAAA的同态满射? Axxa)xxb2) 2)xxcxxd)证 ׃ 显然{所有的实数}.又由于 )a A0yxxyxy可知是到的同态满射.xx A A由于 ( 除非)所以不是到的同态满)b)2)(2(2yxxyxy0xyxx2A A射.由于,易知是到的同态满射.这里={所有)c222)()()(yxxyxy2xx A A A的实数}.0一般来说,,:所以不是到的同态满射)d))((yxxyxxA A.2. 假定和对于代数运算和来说同态，和对于代数运算和来说同态，A A  A A  证明 和对于代数运算和来说同态。

A A 证: 用 表示到的同态满射, 表示到的同: 1  aaA A2  aa A A态满射.令： ,容易验证是到的满射])([12aaa A A babababa)][()]([212所以是和的关于代数运算来说的同态满射A A ,9 9 同构、自同构同构、自同构1.={},代数运算由下表给定Acba,,a b cac c cbc c ccc c c找出所有的一一变换.对于代数运算来说,这些一一变换是否是AA的子同构.证 : 所有的一一变换有个A6aa :1bb cc ba :2ab cc ba :3cb ac ca :4bb ac ca :5ab bc aa :6cb bc 容易验证及是的子同构.12A2.={所有有理数},找一个的对于普通加法来说的子同构AA(映射除外)xx 证 :,对普通加法来说是的一个子同构,验证这一点是容易的.xx2A3.{所有有理数};的代数运算是普通加法.{所有的有理数}AA A0的代数运算是普通乘法. A证明 对于给的代数运算来说,与间没有同构映射存在(现决定A A在一个同构映射之下的象)0证: 设与间有同构映射存在,先看在之下的象A A0再看在之下某一元的象 , 那么 . 但 00  aa  aa aaa00. 所以 故必, 即aa 0  aaa0, 0 a10 a10 对来说,在之下设有,  A1Ax 01x由于是一同构映射,于是) 1)(1(12xxx但又知,,故从而,与矛盾.>10 , 02 x0x0x1010 等价关系与集合的分类等价关系与集合的分类1.={所有实数},的元间的关系 以及是不是等价关系?AA解> ׃不是等价关系, 因为不大于 不是等价关系, 因为但 不大于等于.aa12 122.有人说:假如一个关系适合对称和推移律,那么它也适合R反射律.他的推论方法是:因为适合对称律R因为适合推移律 bRaaRb RaRabRaaRb,这个推论方法有什么错误?证: 这里的是受对称律,推移律约束的而不是集合中的任意.今举一例aRaaa说明上述推论方法是错误的:推移律,但不适合反射律.3.规定整数间的关系：aRb 当而且只当)5( ba证明你所规定的一个等价关系,并且找出模的剩余类.5。