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第第2章章 线性时不变系统线性时不变系统Linear Time-Invariant Systems第2章 线性时不变系统Linear Time-Invariav LTI系统的框图结构表示系统的框图结构表示本章主要内容：本章主要内容：v 信号的时域分解信号的时域分解用用 表示离散时间信号；表示离散时间信号；用用 表示连续时间信号表示连续时间信号v LTI系统的时域分析系统的时域分析卷积积分与卷积和卷积积分与卷积和v LTI系统的微分方程及差分方程表示系统的微分方程及差分方程表示v 奇异函数奇异函数LTI系统的框图结构表示本章主要内容：信号的时域分解2.0 引言引言 (Introduction)基本思想：基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，那么只要得到了的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号系统对基本信号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合应的线性组合由于由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具系统满足齐次性和可加性，并且具有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定了基础。

的理论与方法奠定了基础2.0 引言(Introduction)基本思想：如果问题的实质：问题的实质：1.研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来构成任意信号；性组合来构成任意信号；2.如何得到如何得到LTI系统对基本单元信号的响应系统对基本单元信号的响应作为基本单元的信号应满足以下要求：作为基本单元的信号应满足以下要求：1.本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示（构成）尽可能广泛的其它信号；（构成）尽可能广泛的其它信号；2.LTI系统对这种信号的响应易于求得系统对这种信号的响应易于求得问题的实质：1.研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任如果解决了信号分解的问题，即：若有如果解决了信号分解的问题，即：若有则则 将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换域进行，相应地就产生了对换域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、系统的时域分析法、频域分析法和变换域分析法。

频域分析法和变换域分析法分析方法分析方法：如果解决了信号分解的问题，即：若有则 将信号分解可以在时域 离散时间信号中离散时间信号中,最简单的是最简单的是 ,可以由它的线可以由它的线性组合构成性组合构成 ，即：，即：2.1 离散时间离散时间LTI系统：卷积和系统：卷积和一一.用单位脉冲表示离散时间信号用单位脉冲表示离散时间信号 对任何离散时间信号对任何离散时间信号 ,如果每次从其中取出一如果每次从其中取出一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）离散时间信号中,最简单的是 ,可以由它的线性组合线性时不变系统课件二二.卷积和卷积和（Convolution sum）于是有于是有：表明：表明：任何信号任何信号 都可以被分解成移位加权的单都可以被分解成移位加权的单位脉冲信号的线性组合位脉冲信号的线性组合如果一个线性系统对如果一个线性系统对 的响应是的响应是 ，由线性特性就有系统对任何输入由线性特性就有系统对任何输入 的响应为：的响应为：若系统具有时不变性，即若系统具有时不变性，即：若若 ，则则二.卷积和（Convolution sum）于是有：表明因此，只要得到了因此，只要得到了LTI系统对系统对 的响应的响应单位脉冲响应单位脉冲响应(impulse response)，就可以得到就可以得到LTI系统对任何输入信号系统对任何输入信号 的响应：的响应：这表明：这表明：一个一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征。

这种求得系统响应的运算关系称为响应来表征这种求得系统响应的运算关系称为卷卷积和（积和（The convolution sum）因此，只要得到了LTI系统对 的响应单位脉冲响应(i三三.卷积和的计算卷积和的计算计算方法计算方法：有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）运算过程运算过程：将一个信号将一个信号 不动不动，另一个信号经反转后成另一个信号经反转后成为为 ,再随参变量再随参变量 移位在每个移位在每个 值的情况值的情况下，将下，将 与与 对应点相乘，再把乘积的对应点相乘，再把乘积的各点值累加各点值累加，即即得到得到 时刻的时刻的 例例1：三.卷积和的计算计算方法：有图解法、列表法、解析法（包括数.例例2：例2：时时，时时，时时，时时，时，时，时，通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是很有用的很有用的例例3.列表法列表法分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：与与 的的所有各点都要遍乘一次；所有各点都要遍乘一次；在遍乘后，各点相加时，根据在遍乘后，各点相加时，根据 ，参与相加的各点都具有参与相加的各点都具有 与与 的宗量之和的宗量之和为为 的特点。

的特点通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对于确定卷积优点：优点：缺点缺点：计算非常简单计算非常简单只适用于两个有限长序列的卷积和；只适用于两个有限长序列的卷积和；一般情况下，无法写出一般情况下，无法写出 的封闭表达式的封闭表达式优点：计算非常简单卷积和：对位相乘法卷积和：对位相乘法卷和计算有解析法、图解法和变换法解析法、图解法和变换法 对位乘加法：当两个序列都是有限长序列时都是有限长序列时，可使用“对位乘加法”计算卷和此方法实际上是用对位排列运算巧妙地取代翻转平移运算该方法首先把两序列的样本值右端对齐地排两序列的样本值右端对齐地排列，然后把逐个样本值对应相乘但不要进位把逐个样本值对应相乘但不要进位，最后把同同一列上的乘积值对位求和一列上的乘积值对位求和，就得到所需卷和卷积和：对位相乘法卷和计算有解析法、图解法和变换法卷积和：对位相乘法卷积和：对位相乘法计算 ，其中卷积和：对位相乘法计算 ，对位相乘法需注意的问题v 卷积后的序列起止点起止点需注意v上题中两个序列的起始点不同，卷积后起点为1，不是0对位相乘法需注意的问题 卷积后的序列起止点需注意对位相乘法需注意的问题v参与卷积运算的序列中间有若干信号值为中间有若干信号值为零零，需补零处理对位相乘法需注意的问题参与卷积运算的序列中间有若干信号值为零对位相乘法需注意的问题v此外，对有限长序列的卷积运算v可通过z变换求解v或者将序列表示为两个有限个样值序列移位加权和形式，直接用卷积的性质求解对位相乘法需注意的问题此外，对有限长序列的卷积运算直接利用有限长序列求解卷积v 卷积后的序列起止点起止点需注意直接利用有限长序列求解卷积 卷积后的序列起止点需注意利用z变换求解v 利用z变换求解 与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的线性组合。

至少单位阶跃与单位冲激之间有这号的线性组合至少单位阶跃与单位冲激之间有这种关系：种关系：对一般信号对一般信号 ，可以将其分成很多，可以将其分成很多 宽度的区宽度的区段，用一个阶梯信号段，用一个阶梯信号 近似表示近似表示 当 时时，有有（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）一一.用冲激信号表示连续时间信号用冲激信号表示连续时间信号2.2 连续时间连续时间LTI系统：卷积积分系统：卷积积分 与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信号应该可以分引用引用 ，即：，即：则有则有：引用 ，即：则有：当当 时，时，第第 个矩形可表示为：个矩形可表示为：这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号 ，即：即：表明：表明：任何连续时间信号任何连续时间信号 都可以被分解成移位都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的线性组合加权的单位冲激信号的线性组合于是：于是：当 时，第 个矩形可表示为：二二.卷积积分卷积积分（The convolution integral）与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统对对 的响应为的响应为 ，则该系统对，则该系统对 的响应可的响应可表示为：表示为：表明表明:LTI系统可以完全由它的系统可以完全由它的单位冲激响应单位冲激响应 来来表征。

这种求得系统响应的运算关系称为表征这种求得系统响应的运算关系称为卷积积分卷积积分（The convolution integral）若系统是时不变的，即：若若系统是时不变的，即：若 ，则有，则有:于是系统对任意输入于是系统对任意输入 的响应的响应可表示为：可表示为：二.卷积积分（The convolution integr三三.卷积积分的计算卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、解析法和数值解法解析法和数值解法运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，一个不动，另一个反转后随参变量一个不动，另一个反转后随参变量 移动对每一移动对每一个个 的值，将的值，将 和和 对应相乘，再计算相对应相乘，再计算相乘后曲线所包围的面积乘后曲线所包围的面积通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有用的三.卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也例例1:例1:例例2:例2:当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，当 时，当 时，当 例题：信号与系统例题：信号与系统信号与系统例：例：计算解：信号与系统例：计算解：信号与系统例：例：计算解：v因果信号与一个有限长信号卷积，可利因果信号与一个有限长信号卷积，可利用解析法直接计算用解析法直接计算信号与系统例：计算解：信号与系统例题：例题：计算注意此处的处理方式信号与系统例题：计算注意此处的处理方式信号与系统简化方法v利用卷积性质：信号与系统简化方法利用卷积性质：举例v已知某线性时不变系统的单位冲激响应和激励信号分别为：，则系统的零状态响应为？信号与系统举例已知某线性时不变系统的单位冲激响应和激励信号分别为：信号与系统卷积计算的图解法卷积计算的图解法卷积计算的运算步骤卷积计算的运算步骤：v变量更换：把信号的时间变量 更换成 ，得 和 ；v翻转：把信号 翻转成 ；v平移：把翻转后的信号 右移 成 ；v加权积分：把信号 用 加权后，对时间变量 进行积分，得 。

信号与系统卷积计算的图解法卷积计算的运算步骤：2.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质（Properties of Linear Time-Invariant Systems）一一.卷积积分与卷积和的性质卷积积分与卷积和的性质1.交换律：交换律：2.3 线性时不变系统的性质（Properties of结论：结论：一个单位冲激响应是一个单位冲激响应是h(t)的的LTI系统对输入信系统对输入信号号x(t)所产生的响应，与一个单位冲激响应是所产生的响应，与一个单位冲激响应是x(t)的的LTI系统对输入信号系统对输入信号h(t)所产生的响应相同所产生的响应相同结论：2.分配律：分配律：2.分配律：结论：结论：两个两个LTI系统并联，其总的单位脉冲系统并联，其总的单位脉冲(冲激冲激)响响应等于各子系统单位脉冲应等于各子系统单位脉冲(冲激冲激)响应之和响应之和3.结合律结合律:结论：两个LTI系统并联，其总的单位脉冲(冲激)响应等于各子v 两个两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激系统级联时，系统总的单位冲激(脉冲脉冲)响响应等于各子系统单位冲激应等于各子系统单位冲激(脉冲脉冲)响应的卷积。

响应的卷积v 由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换次序可以调换结论：结论：两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激(脉冲)响应等于各子产生以上结论的前提条件：产生以上结论的前提条件：系统必须是系统必须是LTI系统；系统；所有涉及到的卷积运算必须收敛所有涉及到的卷积运算必须收敛产生以上结论的前提条件：系统必须是LTI系统；如如：平方平方乘乘2乘乘2平方平方若交换级联次序，即成为：若交换级联次序，即成为：又如：若又如：若 ，虽然系统，虽然系统都是都是LTI系统当 时，如果交时，如果交换级联次序，则由于换级联次序，则由于 不收敛，因而也是不收敛，因而也是不允许的不允许的显然与原来是不等价的因为系统不是显然与原来是不等价的因为系统不是LTI系统如：平方乘2乘2平方若交换级联次序，即成为：又如：若 4.卷积运算还有如下性质：卷积运算还有如下性质：若若 ，则，则卷积积分满足微分、积分及时移特性：卷积积分满足微分、积分及时移特性：若若 ，则，则4.卷积运算还有如下性质：若 若若 ，则，则卷积和满足差分、求和及时移特性：卷积和满足差分、求和及时移特性：若若 ，则，则恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：若 ，则卷积和满足差分、求和及将将 微分一次有微分一次有:例如：例如：2.2 中的例中的例2根据微分特性有根据微分特性有:*将 微分一次有:例如：2.2 中的例2根据微分特性有:*利用积分特性即可得利用积分特性即可得:利用积分特性即可得:信号与系统卷积计算的图解法例题卷积计算的图解法例题例：例：用图解法计算 ，其中 解：卷积结果如图 信号与系统卷积计算的图解法例题例：用图解法计算 Matlab求解举例：信号与系统Matlab求解举例：信号与系统Matlab求解举例：信号与系统Matlab求解举例：信号与系统信号与系统例题：例题：v如图所示系统由四个子系统组成，各子系统冲激响应分别为积分器 ，单位延迟器 和倒相器 ，求系统冲激响应。

信号与系统例题：如图所示系统由四个子系统组成，各子系统冲激信号与系统例题：例题：解：根据卷积运算的性质有：信号与系统例题：解：根据卷积运算的性质有：信号与系统卷积的性质汇总卷积的性质汇总微积分性质：微积分性质：1)1)微分性质：微分性质：卷积运算与微分运算可交换；2)2)积分性质：积分性质：卷积运算与积分运算可交换；3)3)N N阶导数性质：阶导数性质：特殊地信号与系统卷积的性质汇总微积分性质：举例v已知两信号v求 信号与系统举例已知两信号信号与系统卷积微积分性质使用注意v卷积微积分性质中，被微分的信号需要满足条件v即该信号中不能包含有直流分量，此时不能直接应用该性质求解卷积，需将直流分量的卷积分离出来单独计算信号与系统卷积微积分性质使用注意卷积微积分性质中，被微分的信号需要满足举例v计算卷积：信号与系统举例计算卷积：信号与系统举例v一般的直流信号卷积指数衰减信号为：信号与系统举例一般的直流信号卷积指数衰减信号为：信号与系统信号与系统例题：例题：计算（1）；信号与系统例题：计算（1）信号与系统例题：计算信号与系统例题：计算信号与系统卷积的性质汇总卷积的性质汇总1)1)信号与延迟冲激信号的卷积等于延迟信号信号与延迟冲激信号的卷积等于延迟信号2)2)信号与阶跃信号的卷积等于信号积分信号与阶跃信号的卷积等于信号积分 信号与系统卷积的性质汇总信号与延迟冲激信号的卷积等于延迟信号信号与系统卷积的性质汇总卷积的性质汇总3)3)信号与冲激偶的卷积等于信号微分信号与冲激偶的卷积等于信号微分4)4)信号与冲激的信号与冲激的m m阶导数的卷积等于信号的阶导数的卷积等于信号的m m阶阶导数导数 信号与系统卷积的性质汇总信号与冲激偶的卷积等于信号微分信号与系统例题例题v计算矩形脉冲 的自卷积。

v解：信号与系统例题计算矩形脉冲 的自卷积信号与系统例题：例题：v计算矩形脉冲 与指数信号 的卷积信号与系统例题：计算矩形脉冲 信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例v加入椒盐噪声的图像空间域去噪，可利用卷积实现信号与系统卷积的应用举例加入椒盐噪声的图像空间域去噪，可利用信号与系统卷积的应用举例卷积的应用举例信号与系统卷积的应用举例二二.LTI系统的性质系统的性质1.记忆性：记忆性：LTI 系统可以由它的单位冲激系统可以由它的单位冲激/脉冲响应来表征，脉冲响应来表征，因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）都应在其单位冲激都应在其单位冲激/脉冲响应中有所体现。

脉冲响应中有所体现则在任何时刻则在任何时刻 ，都只能和都只能和 时刻的输入有关，时刻的输入有关，和式中只能有和式中只能有 时的一项为非零，因此必须有：时的一项为非零，因此必须有：根据根据 ，如果系统是无记忆的，如果系统是无记忆的，即：即：二.LTI系统的性质1.记忆性：LTI 系统可所以，无记忆系统的单位脉冲所以，无记忆系统的单位脉冲/冲激响应为：冲激响应为：当当 时系统是时系统是恒等系统恒等系统如果如果LTI系统的单位冲激系统的单位冲激/脉冲响应不满足上述要脉冲响应不满足上述要求，则系统是求，则系统是记忆的记忆的2.可逆性：可逆性：如果如果LTI系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且逆系统也是逆系统也是LTI系统，它们级联起来构成一个恒等系系统，它们级联起来构成一个恒等系统此时，此时，所以，无记忆系统的单位脉冲/冲激响应为：当 时系统是恒因此有：因此有：例如：例如：延时器是可逆的延时器是可逆的LTI系统，系统，其，其逆系统是逆系统是 ，显然有：，显然有：累加器是可逆的累加器是可逆的LTI系统，其系统，其 ，其逆，其逆系统是系统是 ，显然也有：，显然也有：因此有：例如：延时器是可逆的LTI系统，3.因果性：因果性：由由 ，当，当LTI系统是因果系统时，系统是因果系统时，在任何时刻在任何时刻 ，都只能取决于，都只能取决于 时刻及其以前时刻及其以前的输入，即和式中所有的输入，即和式中所有 的项都必须为零，的项都必须为零，即：即：或或:对连续时间系统有对连续时间系统有:这是这是LTI系统具有因果性的充分必要条件系统具有因果性的充分必要条件。

但差分器是不可逆的但差分器是不可逆的3.因果性：由 ，当 根据稳定性的定义，由根据稳定性的定义，由 ，若若 有界，则有界，则 ;若系统稳定，则要若系统稳定，则要 求求 必有界，由必有界，由可知，必须有可知，必须有:对连续时间系统，相应有对连续时间系统，相应有:这是这是LTI系统稳定的充分必要条件系统稳定的充分必要条件4.稳定性：稳定性：根据稳定性的定义，由 5.LTI系统的单位阶跃响应：系统的单位阶跃响应：在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描述在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描述LTI系统单位阶跃响应就是系统对系统单位阶跃响应就是系统对 或或 所产生所产生的响应因此有的响应因此有:LTI系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述5.LTI系统的单位阶跃响应：在工程实际中，也常用单位2.4 用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LTI系统系统 在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来描述分析这类描述。

分析这类LTI系统，就是要求解线性常系数微系统，就是要求解线性常系数微分分方程方程或差分方程或差分方程一一.线性常系数微分方程线性常系数微分方程（Linear Constant-Coefficient Differential Equation）均为常数均为常数(Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equations)2.4 用微分和差分方程描述的因果LTI系统 在工程实 求解该微分方程，通常是求出求解该微分方程，通常是求出通解通解 和和一一个特解个特解 ，则，则 特解 是是与输入与输入 同类型的函数，通解同类型的函数，通解 是齐次方程是齐次方程的解，即的解，即 的解欲求得齐次解，可欲求得齐次解，可根据齐次方程建立一个特征方程：根据齐次方程建立一个特征方程：求出其特征根在特征根均为单阶根时，可得出齐求出其特征根在特征根均为单阶根时，可得出齐次解的形式为：次解的形式为：其中其中 是待定的常数是待定的常数求解该微分方程，通常是求出通解 和一个 要确定系数要确定系数 ，需要有一组条件，称为，需要有一组条件，称为附加条件附加条件。

仅仅从确定待定系数仅仅从确定待定系数 的角度来看，这一组附加条的角度来看，这一组附加条件可以是任意的，包括附加条件的值以及给出附加件可以是任意的，包括附加条件的值以及给出附加条件的时刻都可以是任意的条件的时刻都可以是任意的当微分方程描述的系统是线性系统时，必须满足当微分方程描述的系统是线性系统时，必须满足系统零输入系统零输入零输出的特性也就是系统在没有输零输出的特性也就是系统在没有输入，即入，即 时，时，此时，微分方程就蜕此时，微分方程就蜕变成齐次方程，因而描述线性系统的微分方程其齐变成齐次方程，因而描述线性系统的微分方程其齐次解必须为零，这就要求所有的次解必须为零，这就要求所有的 都为零要确定系数 ，需要有一组条件，称为附加条件仅仅从确 可以证明：当这组可以证明：当这组零附加条件在信号加入的时刻零附加条件在信号加入的时刻给出时，给出时，LCCDE描述的系统不仅是线性的，也是因描述的系统不仅是线性的，也是因果的和时不果的和时不变的也就是要求确定待定系数所需的一组也就是要求确定待定系数所需的一组附加条件的附加条件的值必须全部为零值必须全部为零，即：，即：LCCDE具有一组零附加条具有一组零附加条件时，才能描述线性系统。

件时，才能描述线性系统在信号加入的时刻给出的零附加条件称为在信号加入的时刻给出的零附加条件称为零初始零初始条件条件可以证明：当这组零附加条件在信号加入的时刻给出时，LCC结论：结论：LCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描述具有一组全部为零的初始条件可以描述一个一个LTI因果系统这组条件是：因果系统这组条件是：如果一个因果的如果一个因果的LTI系统由系统由LCCDE描述，且方程描述，且方程具有零初始条件，就称该系统具有零初始条件，就称该系统初始是静止的初始是静止的或或最初是最初是松弛的如果如果LCCDE具有一组具有一组不全为零的初始条件不全为零的初始条件，则可，则可以证明它所描述的系统是以证明它所描述的系统是增量线性的增量线性的结论：LCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描述一个LTI信号与系统系统响应的一般表示系统响应的一般表示v系统响应的表示式：v系统的响应还可分解为暂态响应暂态响应和稳态响应稳态响应信号与系统系统响应的一般表示系统响应的表示式：信号与系统例题1：v描述某LTI系统的微分方程为：信号与系统例题1：描述某LTI系统的微分方程为：信号与系统例题1：信号与系统例题1：信号与系统例题2：v描述某LTI系统的微分方程为：信号与系统例题2：描述某LTI系统的微分方程为：信号与系统例题2信号与系统例题2信号与系统例题3：v描述某LTI系统的微分方程为：信号与系统例题3：描述某LTI系统的微分方程为：信号与系统例题3：信号与系统例题3：二二.线性常系数差分方程线性常系数差分方程:(Linear Constant-Coefficient Difference Equation)一般的线性常系数差分方程可表示为：一般的线性常系数差分方程可表示为：与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个特特解解 和通解，即齐次解和通解，即齐次解 来进行，其过程与解来进行，其过程与解微分方程类似。

微分方程类似要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组附加条附加条件件同样地，同样地，当当LCCDE具有一组全部为零的初始条具有一组全部为零的初始条件时，所描述的系统是线性、因果、时不变的件时，所描述的系统是线性、因果、时不变的二.线性常系数差分方程:一般的线性常系数差分方程可表示对于差分方程，可以将其改写为：对于差分方程，可以将其改写为：可以看出：要求出可以看出：要求出 ，不仅要知道所有的，不仅要知道所有的 ，还要知道还要知道 ，这就是一组，这就是一组初始条初始条件件，由此可以得出，由此可以得出 进一步，又可以通过进一步，又可以通过 和和 ，求得，求得 ，依次类推，依次类推可求出所有可求出所有 时的解若将差分方程改写为：若将差分方程改写为：对于差分方程，可以将其改写为：可以看出：要求出 ，则可由则可由 求得求得 ，进而由，进而由 可求得可求得 ，依次可推出，依次可推出 时的解由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为递归方程递归方程（recursive equation）当当 时，差分方程变为：时，差分方程变为：则可由 求得 ，进而此时此时,求解方程不再需要迭代运算，因而称为求解方程不再需要迭代运算，因而称为非非递归方程递归方程（nonrecursive equation）显然，此时方显然，此时方程就是一个卷积和的形式，相当于程就是一个卷积和的形式，相当于 此时，系统单位脉冲响应此时，系统单位脉冲响应 是有限长的是有限长的,因而因而把这种方程描述的把这种方程描述的LTI系统称为系统称为FIR（Finite Impulse Response）系统系统。

将递归方程描述的系统称为将递归方程描述的系统称为IIR（Infinite Impulse Response）系统系统,此时系统的此时系统的单位脉冲响应是一个无限长的序列单位脉冲响应是一个无限长的序列此时,求解方程不再需要迭代运算，因而称为非递归方程（noFIRFIR系统与系统与IIRIIR系统是离散时间系统是离散时间LTILTI系统中两类很系统中两类很重要的系统，它们的特性、结构以及设计方法都存重要的系统，它们的特性、结构以及设计方法都存在很大的差异在很大的差异由于无论微分方程还是差分方程的特解都具有由于无论微分方程还是差分方程的特解都具有与与输入相同的函数形式，即特解输入相同的函数形式，即特解是由输入信号完全是由输入信号完全决定的，因而特解所对应的这一部分响应称为决定的，因而特解所对应的这一部分响应称为受迫受迫响应响应或或强迫响应强迫响应齐次解所对应的部分由于与输入齐次解所对应的部分由于与输入信号无关，也称为系统的信号无关，也称为系统的自然响应自然响应FIR系统与IIR系统是离散时间LTI系统中两类很重要的零输入响应和零状态响应零输入响应 边界值边界值零状态响应 边界值边界值零输入响应和零状态响应零输入响应 边界值零状态响应 边界值 增量线性系统的响应分为增量线性系统的响应分为零状态响应零状态响应和和零输零输入响应入响应。

零输入响应由于与输入信号无关，因此零输入响应由于与输入信号无关，因此它属于自然响应零状态响应既与输入信号有关，它属于自然响应零状态响应既与输入信号有关，也与系统特性有关，因而它包含了受迫响应，也也与系统特性有关，因而它包含了受迫响应，也包含有一部分自然响应包含有一部分自然响应三三.由微分和差分方程描述的由微分和差分方程描述的LTI系统的方框图表示系统的方框图表示 （Block-Diagram Respresentation of the LTI System described by LCCDE）增量线性系统的响应分为零状态响应和零输入响应零输 由由LCCDE 描述的系统，其数学模型是由一些描述的系统，其数学模型是由一些基本运算来实现的，如果能用一种图形表示方程的基本运算来实现的，如果能用一种图形表示方程的运算关系，就会更加形象直观；另一方面运算关系，就会更加形象直观；另一方面,分析系分析系统很重要统很重要的的目的是为了设计或实现一个系统目的是为了设计或实现一个系统,用图用图形表示系统的数学模型形表示系统的数学模型,将对系统的特性仿真、硬将对系统的特性仿真、硬件或软件实现具有重要意义件或软件实现具有重要意义。

不同的结构也会在设计和实现一个系不同的结构也会在设计和实现一个系统时带来统时带来不同的影响：如系统的成本、灵敏度、误差及调试不同的影响：如系统的成本、灵敏度、误差及调试难度等方面都会有差异难度等方面都会有差异由LCCDE 描述的系统，其数学模型是由一些基本运算1.由差分方程描述的由差分方程描述的LTI系统的方框图表示：系统的方框图表示：由由 可看出：可看出：方程中包括三种基本运算：乘系数、相加、移位方程中包括三种基本运算：乘系数、相加、移位（延迟）（延迟）可用以下符号表示：可用以下符号表示：D若令若令 ,则则1.由差分方程描述的LTI系统的方框图表示：由 直接直接型型据此可得方框图：据此可得方框图：DDDDDD直接型据此可得方框图：DDDDDD 将其级联起来将其级联起来,就成为就成为LCCDE描述的系统，它具描述的系统，它具有与差分方程完全相同的运算功能显然有与差分方程完全相同的运算功能显然,它可以看它可以看成是两个级联的系统，可以调换其级联的次序成是两个级联的系统，可以调换其级联的次序,并将并将移位单元合并，于是得到：移位单元合并，于是得到：直接直接型型DDD 将其级联起来,就成为LCCDE描述的系统，它具有与差分 由由 看出它也包括三种基本看出它也包括三种基本运算：微分、相加、乘系数。

运算：微分、相加、乘系数但由于微分器不仅在工程实现上有困难，而且对但由于微分器不仅在工程实现上有困难，而且对误差及噪声极为灵敏，因此，工程上通常使用积分误差及噪声极为灵敏，因此，工程上通常使用积分器而不用微分器器而不用微分器将微分方程两边同时积分将微分方程两边同时积分 N 次，即可得到一个积次，即可得到一个积分方程：分方程：2.由微分方程描述的由微分方程描述的LTI系统的方框图表示：系统的方框图表示：由 看出它也包括三直接直接型型对此积分方程完全按照差分方程的办法有对此积分方程完全按照差分方程的办法有：直接型对此积分方程完全按照差分方程的办法有：直接直接型型通过交换级联次序，合并积分器可得直接通过交换级联次序，合并积分器可得直接型：型：直接型通过交换级联次序，合并积分器可得直接型：信号与系统冲激函数的性质v偶函数偶函数v积分积分v筛选筛选 v相乘相乘 信号与系统冲激函数的性质偶函数信号与系统冲激函数的尺度性质v冲激函数的尺度性质v证明：利用冲激函数的偶性、阶跃函数的尺度性和冲激函数是阶跃函数的微分，有信号与系统冲激函数的尺度性质冲激函数的尺度性质信号与系统冲激函数的检零性质v当冲激函数应用于非线性函数时，具有应用于非线性函数时，具有检测其零点，并反映其导数的性质检测其零点，并反映其导数的性质。

v 由于函数在其零点 ，i=1,2,n有 ，使得在其零点领域，有v根据尺度性质，有信号与系统冲激函数的检零性质当冲激函数应用于非线性函数时，具信号与系统冲激偶的性质v面积面积v“筛选筛选”信号与系统冲激偶的性质面积信号与系统例例:计算 信号与系统例:计算 信号与系统例例 计算 信号与系统例 计算 信号与系统举例：计算下列信号的一阶微分信号与系统举例：计算下列信号的一阶微分信号与系统举例：计算下列信号的一阶微分信号与系统举例：计算下列信号的一阶微分举例：计算下列信号的一阶微分信号与系统举例：计算下列信号的一阶微分信号与系统举例：计算下列信号的一阶微分信号与系统举例：计算下列信号的一阶微分信号与系统举例：简化下列式子v用冲激信号与阶跃信号的性质和定义来进行化简信号与系统举例：简化下列式子信号与系统举例：简化下列式子v用冲激信号与阶跃信号的性质和定义来进行化简信号与系统举例：简化下列式子信号与系统举例：简化下列式子信号与系统举例：简化下列式子信号与系统举例：简化下列式子信号与系统举例：简化下列式子信号与系统信号与系统补充：增量线性系统补充：增量线性系统根据电路的线性叠加原理，有：v零状态线性零状态线性：起始状态为零时，系统的零状态响应对输入信号呈现线性（包括可加性和齐次性）v零输入线性零输入线性：当外部激励为零时，系统的零输入响应对系统初始状态呈现线性v线性系统扩展定义线性系统扩展定义：一个既具有零输入响应和零状态响应分解特性分解特性，又具有零输入线零输入线性和零状态线零状态线性性的系统称为线性系统，否则称为非线性系统v全响应全响应：系统在初始条件初始条件下对初始时刻后初始时刻后的输入在初始时刻后初始时刻后产生的响应成为全响应v全响应等于零输入响应和零状态响应之和全响应等于零输入响应和零状态响应之和v常系数线性微分方程常系数线性微分方程描述的系统只有在起始状态为零的条件下，系统才是线性时不变的，并且是因果的信号与系统补充：增量线性系统根据电路的线性叠加原理，有：信号与系统例：使用零状态线性和零输入线性计算系统响应例：使用零状态线性和零输入线性计算系统响应 LTI系统在某初始条件下，对激励 和 的全响应分别为 和 ，求在该初始状态下，对激励 的全响应 。

核心：利用线性系统扩展的定义求解核心：利用线性系统扩展的定义求解信号与系统例：使用零状态线性和零输入线性计算系统响应 LT信号与系统例：使用零状态线性和零输入线性计算系统响应例：使用零状态线性和零输入线性计算系统响应 LTI系统在某初始条件下，对激励 和 的全响应分别为 和 ，求在该初始状态下，对激励 的全响应 解：解：信号与系统例：使用零状态线性和零输入线性计算系统响应 LT信号与系统补充例题：补充例题：v已经某系统激励与响应、初始条件符合：v根据广义线性的定义，上述系统零输入和零状态响应可分解；零输入响应具备线性性；但零状态响应不符合线性性；因此整个系统不是广义线性系统信号与系统补充例题：已经某系统激励与响应、初始条件符合：信号与系统补充例题：冲激响应的计算补充例题：冲激响应的计算使用零状态线性概念计算系统冲激响应使用零状态线性概念计算系统冲激响应例例:某LTI系统，对激励 的零状态响应是 ，对激励 的零状态响应是 ，求该系统的冲激响应解 信号与系统补充例题：冲激响应的计算使用零状态线性概念计算系统信号与系统补充例题：冲激响应的计算补充例题：冲激响应的计算使用零状态线性概念计算系统冲激响应使用零状态线性概念计算系统冲激响应例例:某LTI系统，对激励 的零状态响应是 ，对激励 的零状态响应是 ，求该系统的冲激响应。

解 信号与系统补充例题：冲激响应的计算使用零状态线性概念计算系统 在第一章介绍单位冲激时，开始将在第一章介绍单位冲激时，开始将 定义为定义为 显然是不严密的，因为显然是不严密的，因为 在在 不连不连续进而采用极限的观点，将续进而采用极限的观点，将 视为视为 在在 时的极限这种定义或描述时的极限这种定义或描述 的方法在数学上仍的方法在数学上仍然是不严格的，因为可以有许多不同函数在然是不严格的，因为可以有许多不同函数在 时都表现为与时都表现为与 有相同的特性有相同的特性Singularity function）例如例如:以下信号的面积都等于以下信号的面积都等于1 1，而且在，而且在 时，它们的极限都表现为单位冲激时，它们的极限都表现为单位冲激2.5 奇异函数奇异函数 在第一章介绍单位冲激时，开始将 定义为（Sin线性时不变系统课件线性时不变系统课件 之所以产生这种现象，是因为之所以产生这种现象，是因为 是一个理想化是一个理想化的非常规函数，被称为的非常规函数，被称为奇异函数奇异函数通常采用在卷积通常采用在卷积或积分运算下函数所表现的特性来定义奇异函数或积分运算下函数所表现的特性来定义奇异函数。

一一.通过卷积定义通过卷积定义 从系统的角度从系统的角度,可以说可以说 是一个恒等系统的是一个恒等系统的 单位冲激响应单位冲激响应,因此，因此，这就这就是在卷积运算下是在卷积运算下 的定义根据定义可以得出根据定义可以得出 的如下性质：的如下性质：之所以产生这种现象，是因为 是一个理想化的非常规函 当当 时，有时，有 由此定义可得：由此定义可得：若若 ，则有：，则有：当 时，有 由此定义可得：若 此式即可作为在积分运算下此式即可作为在积分运算下 的定义式的定义式二二.通过积分定义通过积分定义 积分表达式积分表达式 也可以作为也可以作为在积分运算下的定义，这就是在积分运算下的定义，这就是分配函数分配函数的定义方法的定义方法据此定义又可以推出：据此定义又可以推出：若若 是奇函数，则是奇函数，则 ，因此，因此 是偶函数是偶函数，即：即：若令若令 ，代入积分定义式就有，代入积分定义式就有：此式即可作为在积分运算下 的定义式二.通过积分 这就是卷积运算下的定义这就是卷积运算下的定义根据积分下的定义有：根据积分下的定义有：若若 ，则可推出，则可推出因此，若有因此，若有 ,则则 这就是卷积运算下的定义。

若 ，则可推三三.单位冲激偶及其他奇异函数单位冲激偶及其他奇异函数 理想微分器的单位冲激响应应该是理想微分器的单位冲激响应应该是 的的微分，微分，记为记为 ，从卷积运算或，从卷积运算或LTI系统分析的系统分析的角度应该有：角度应该有：所以所以 称为称为单位冲激偶单位冲激偶（Unit doublet）微分器微分器三.单位冲激偶及其他奇异函数 理想微分器的单位冲激 当当 时，有：时，有：考察考察 当当 时，有时，有 ，此积分可，此积分可作为作为 在积分意义下的定义在积分意义下的定义由此定义出发可以推出：由此定义出发可以推出：当 时，有：考察由此定义出发可以推出：若若 是一个偶函数，则是一个偶函数，则 由此可推由此可推得得 是是奇函数奇函数，即：，即：考察考察 若 是一个偶函数，则 由此可推得 若若 ，进而有：，进而有：因此，若有因此，若有 ，则，则按此定义方法推广下去，有：按此定义方法推广下去，有：若 ，进而有：按此定义方法推广下去，有：在积分运算下有：在积分运算下有：例如例如：在积分运算下有：例如：是是理想积分器的单位冲激响应理想积分器的单位冲激响应四四.的积分的积分 用类似方法也可以定义用类似方法也可以定义 的积分。

的积分若用若用 ，则有：，则有：因此：因此：称为单位斜坡函数（称为单位斜坡函数（Unit ramp function）是理想积分器的单位冲激响应四.的积分 事实上，事实上，的各次积分已经是常规函数了，的各次积分已经是常规函数了，当然可以按常规函数定义的方法去描述当然可以按常规函数定义的方法去描述事实上，的各次积分已经是常规函数了，LTI系统的时域分析系统的时域分析卷积和与卷积积分卷积和与卷积积分 LTI系统的描述方法：系统的描述方法：用用 描述系统（也可用描述系统（也可用 述）述）；用用LCCDE连同零初始条件描述连同零初始条件描述LTI系统；系统；2.6 小结小结（Summary）本章主要讨论了以下内容本章主要讨论了以下内容：信号的时域分解信号的时域分解:LTI系统的时域分析卷积和与卷积积分 2.6 小结 奇异函数奇异函数用方框图描述系统（等价于用方框图描述系统（等价于LCCDE描述）v 记忆性、因果性、稳定性、可逆性与记忆性、因果性、稳定性、可逆性与 的关系；的关系；系统级联、并联时，系统级联、并联时，与各子系统与各子系统的关系LTI系统的特性与系统的特性与 的关系：的关系：奇异函数。

用方框图描述系统（等价于LCCDE描述）。