三角恒等变换和解三角形题型总结（有参考答案解析）.doc

三角恒等变换和解三角形基本知识回顾（2009年11月19日）1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：如（1）下列各式中，值为的是 A、B、C、D、　（答：C）；（2）命题P：，命题Q：，则P是Q的　A、充要条件　　B、充分不必要条件　　　C、必要不充分条件　D、既不充分也不必要条件（答：C）；（3）已知，那么的值为____（答：）；（4）的值是______（答：4）；(5)已知，求的值（用a表示）甲求得的结果是，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）2.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，，，，等），如（1）已知，，那么的值是_____（答：）；（2）已知，且，，求的值（答：）；（3）已知为锐角，，，则与的函数关系为______（答：）(2)三角函数名互化(切化弦)，如（1）求值（答：1）；（2）已知，求的值（答：）(3)公式变形使用（。

如（1）已知A、B为锐角，且满足，则＝_____（答：）；(2)设中，，，则此三角形是____三角形（答：等边）(4)三角函数次数的降升(降幂公式：，与升幂公式：，)如(1)若，化简为_____（答：）；（2）函数的单调递增区间为___________（答：）(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)如（1）（答：）；（2）求证：；（3）化简：（答：）(6)常值变换主要指“1”的变换（等），如已知，求（答：）.(7)正余弦“三兄妹—”的内存联系――“知一求二”，如（1）若，则 __（答：)，特别提醒：这里；（2）若，求的值答：）；（3）已知，试用表示的值（答：）3、辅助角公式中辅助角的确定：(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用如（1）若方程有实数解，则的取值X围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数取得最大值时，的值是______(答：)；（3）如果是奇函数，则=(答：－2)；（4）求值：________(答：32)4、求角的方法：先确定角的X围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的X围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。

如（1）若，且、是方程的两根，则求的值______（答：）；（2）中，，则＝_______（答：）；（3）若且，，求的值（答：）.5、. 三角形中的有关公式： (1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：；；；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3)余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状. (4)面积公式：（其中为三角形内切圆半径）.如中，若，判断的形状（答：直角三角形）特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化如（1）中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；（2）在中，A＞B是成立的_____条件（答：充要）；（3）在中，，则＝_____（答：）；(4)在中，分别是角A、B、C所对的边，若，则＝____（答：）；（5）在中，若其面积，则=____（答：）；（6）在中，，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是_______（答：）；（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，=，的最大值为（答：）；（8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值X围是（答：）；（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若，且的面积满足关系式，求（答：）．两角和与差的三角函数（2009年11月20日）例1．求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.解：原式======变式训练1：(1)已知∈(,)，sin=,则tan()等于（）A. B.7 C.－ D.－7 (2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A.－ B. C.－ D.解：(1)A (2)B例2. 已知α(，)，β(0，),(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．解：∵α－＋＋β＝α＋β＋α∈() β∈(0,)∴α－∈(0,) β＋∈(,π)∴sin(α－)＝ cos()＝－∴sin(α＋β)＝－cos[＋(α＋β)]＝－cos[(α－)＋()]＝变式训练2：设cos（－）=－，sin（－β）=，且＜＜π，0＜β＜，求cos（+β）.解：∵＜＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.故由cos（－）=－，得sin（α－）=.由sin（－β）=，得cos（－β）=.∴cos=cos［（－）－（－β）］==∴cos（+β）=2cos2－1=-1=－.例3. 若sinA=,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.解∵A、B均为钝角且sinA=,sinB=，∴cosA=-=-=-，cosB=-=-=-，∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=×-×=①又∵＜A＜, ＜B＜,∴＜A+B＜2②由①②知，A+B=.变式训练3：在△ABC中，角A、B 、C满足4sin2-- cos2B=,求角B的度数.解 在△ABC中，A+B+C=180°,由4sin2-cos2B=,得4·-2cos2B+1=,所以4cos2B-4cosB+1=0.于是cosB=,B=60°.例4．化简sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.解 方法一 （复角→单角，从“角”入手）原式=sin2·sin2+cos2·cos2-·(2cos2-1)·(2cos2-1)=sin2·sin2+cos2·cos2-(4cos2·cos2-2cos2-2cos2+1)=sin2·sin2-cos2·cos2+cos2+cos2-=sin2·sin2+cos2·sin2+cos2-=sin2+cos2-=1-=.方法二 （从“名”入手，异名化同名）原式=sin2·sin2+(1-sin2)·cos2-cos2·cos2=cos2-sin2 (cos2-sin2)-cos2·cos2=cos2-sin2·cos2-cos2·cos2=cos2-cos2·=-cos2·=-cos2=.方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式=·+·-cos2·cos2=(1+cos2·cos2-cos2-cos2)+(1+cos2·cos2+cos2+cos2)-·cos2·cos2=.方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）原式=(sin·sin-cos·cos)2+2sin·sin·cos·cos-cos2·cos2=cos2(+)+sin2·sin2-cos2·cos2=cos2(+)-·cos(2+2)=cos2(+)- ·［2cos2(+)-1］=.变式训练4：化简：（1）sin+cos;(2）.解 （1）原式=2=2=2cos=2cos(x-).（2）原式===1.二倍角的正弦、余弦、正切（2009年11月21日）例1. 求值：解：原式＝＝＝变式训练1：(cos＋sin)＝（）A．－ B．－C． D．解：D例2． 已知α为锐角，且，求的值. 解：∵α为锐角∴＝＝＝＝变式训练2：化简：解：原式＝＝1例3．已知；(1) 求的值； (2) 设，求sinα的值．解：（1）∵∴（2）∴16sin22－4sinα－11＝0 解得∵故变式训练3：已知sin()＝，求cos()的值．解：cos(＋2α)＝2cos2(＋α)－1＝2sin2(－α) －1＝－例4．已知sin2 2α＋2α cosα－cos2α＝1，α(0，)，求sinα、tanα的值．解：由已知得sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0即(sin2α＋2cosα) (sin2α－cosα)＝0cos2α(1＋sinα) (2sinα－1)＝0∵α∈(0，) cosα≠0 sinα≠－1∴2sinα＝1 sinα＝∴tanα＝变式训练4：已知α、β、r是公比为2的等比数列，且sinα、sinβ、sinr也成等比数列，求α、β、r的值．解：∵α、β、r成公比为2的等比数列．∴β＝2α，r＝4α∵sinα、sinβ、sinr成等比数列∴即，解得cosα＝1或当cosα＝1时，sinα＝0与等比数列首项不为零矛盾故cosα＝1舍去当时，∵2∈[0,2π] ∴或∴或简单的三角恒等变换（2009年11月22日）例1：不查表求值=．例2：已知（1）求的值；（2）求的值．解析：（1）由, ， 　　 ． （2） 原式＝ ． 【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手.例3. (某省师大附中2008年高三上期期末考试)设向量，若，，求的值。

解题思路】先进行向量计算,再找角的关系.解析:【名师指引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换、例4．(2007·某 )已知<<<,(Ⅰ)求的值.（Ⅱ）求.【解题思路】由同角关系求出再求；又结合角的X围定角[解析]（Ⅰ）由，得∴，于是（Ⅱ）由，得又∵，∴由得：,所以【名师指引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力例题5：（08某卷16）已知函数（Ⅰ）将函数化简成（，，）的形式；（Ⅱ）求函数的值域.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ） 　＝（Ⅱ）由得在上为减函数，在上为增函数，又（当），即故g(x)的值域为例6：:证明tan－tan＝【解题思路】细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系：＋＝2x，－＝x－＝x∴sinx＝sincos－cossin ①又cosx＋cos2x＝2coscos ②①÷②即得：＝－＝tan－tan.【名师指引】三角恒等式的证明在高考中出现较少,方法与化简类似.。