2008年高考北京数学理(含答案).doc

巨人高考网 第 1 页（共 11 页）2008 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页，共 150 分．考试时间 120 分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集 ，集合 ， ，那么集合UR|23Ax≤ ≤ |14Bx或等于（ ）ABðA． B．|24x≤ |4x或≤ ≥C． D．|1≤ |13≤ ≤2．若 ， ， ，则（ ）0.5aπlog3b2πlsin5cA． B． C． D．cacabbca3． “函数 存在反函数”是“函数 在 上为增函数”的（ ）()fxR()fxRA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．若点 到直线 的距离比它到点 的距离小 1，则点 的轨迹为（ ）P1x(20)， PA．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线5．若实数 满足 则 的最小值是（ ）xy， 0，，， ≥≥≤ 23xyzA．0 B．1 C． D．96．已知数列 对任意的 满足 ，且 ，那么 等于（ ）na*pqN， pa26a10a 巨人高考网 第 2 页（共 11 页）A． B． C． D．16530217．过直线 上的一点作圆 的两条切线 ，当直线 关于 对yx2(5)()xy12l， 12l， yx称时，它们之间的夹角为（ ）A． B． C． D．3046098．如图，动点 在正方体 的对角线 上．过点 作垂直于平面 的P1AB1P1BD直线，与正方体表面相交于 ．设 ， ，则函数 的图象大致是（ MN， PxNy()fx）A BCD MNPA1 B1C1D1 yxA．OyxB．OyxC．OyxD．O2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类） （北京卷）第Ⅱ卷（共 110 分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在题中横线上．9．已知 ，其中 是虚数单位，那么实数 ．2()aii a10．已知向量 与 的夹角为 ，且 ，那么 的值为 ．b1204b(2)Ab11．若 展开式的各项系数之和为 32，则 ，其展开式中的常数项为 231nx n． （用数字作答）12．如图，函数 的图象是折线段 ，其中 的坐标分别为 ，则()fABC， ， (04)2(6)， ， ， ， ，；(0)f． （用数字作答）01()limxf2BCAyx1O 3 4 5 61234 巨人高考网 第 3 页（共 11 页）13．已知函数 ，对于 上的任意 ，有如下条件：2()cosfxxπ2， 12x，① ； ② ； ③ ．12x211其中能使 恒成立的条件序号是 ．2()ffx14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 棵树种植在点k处，其中 ， ，当 时，()kkPxy， 11y2k≥1552kkkTy，．表示非负实数 的整数部分，例如 ， ．()Taa(.6)2T(0.)按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为 ；第 2008 棵树种植点的坐标应为 ．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15． （本小题共 13 分）已知函数 （ ）的最小正周期为 ．2 π()sin3sin2fxx0π（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）求函数 在区间 上的取值范围．()fxπ03，16． （本小题共 14 分）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ．PABC290ACBPABC（Ⅰ）求证： ；（Ⅱ）求二面角 的大小；（Ⅲ）求点 到平面 的距离．ACBP 巨人高考网 第 4 页（共 11 页）17． （本小题共 13 分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名ABCD， ， ，志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量 为这五名志愿者中参加 岗位服务的人数，求 的分布列． 18． （本小题共 13 分）已知函数 ，求导函数 ，并确定 的单调区间．2()1xbf()fx()fx19． （本小题共 14 分）已知菱形 的顶点 在椭圆 上，对角线 所在直线的斜率为 1．ABCD， 234xyBD（Ⅰ）当直线 过点 时，求直线 的方程；(01)， AC（Ⅱ）当 时，求菱形 面积的最大值．6BD20． （本小题共 13 分）对于每项均是正整数的数列 ，定义变换 ， 将数列 变换成数列12nAa： ， ， ， 1TA．1()TA： 12nna， ， ， ，对于每项均是非负整数的数列 ，定义变换 ， 将数列 各项从大到小排列，12mBb： ， ， ， 2B然后去掉所有为零的项，得到数列 ；()T又定义 ．22121()mmSBbb 设 是每项均为正整数的有穷数列，令 ．0A21()0)kkA， ， ，（Ⅰ）如果数列 为 5，3，2，写出数列 ；0 ，（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列 ，证明 ；1()(STA（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 ，存在正整数 ，当 时，0Kk≥．1()(kkSA 巨人高考网 第 5 页（共 11 页）2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类） （北京卷）参考答案一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9． 10． 11．5 10 12．0213．② 14． (1)， 2)，三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15． （共 13 分）解：（Ⅰ） 1cos23()sin2xfxx31sin2cos2xx．πsin26因为函数 的最小正周期为 ，且 ，()fxπ0所以 ，解得 ．π21（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．1()sin26fx因为 ，π03≤ ≤所以 ，7266x≤ ≤所以 ，1πsin1≤ ≤因此 ，即 的取值范围为 ．30i262x≤ ≤ ()fx302，16． （共 14 分）解法一：（Ⅰ）取 中点 ，连结 ．ABDPC，，P．，CACBDP 巨人高考网 第 6 页（共 11 页）．CDAB，P平面 ．平面 ，．（Ⅱ） ， ，ABP．PC△ ≌ △又 ，．又 ，即 ，且 ，90CAPC平面 ．BA取 中点 ．连结 ．PEB，， ．P是 在平面 内的射影，C．是二面角 的平面角．C在 中， ， ， ，BE△ 902B36EAB．6sin3二面角 的大小为 ．BAPC6arcsin3（Ⅲ）由（Ⅰ）知 平面 ，D平面 平面 ．过 作 ，垂足为 ．H平面 平面 ，APBP平面 ．C的长即为点 到平面 的距离．AB由（Ⅰ）知 ，又 ，且 ，CAC平面 ．P平面 ，D．C在 中， ， ，Rt△ 12AB36PDB．2PACBEPACBDPH 巨人高考网 第 7 页（共 11 页）．23PCDHA点 到平面 的距离为 ．B解法二：（Ⅰ） ， ，ACP．P△ ≌ △又 ，．B，平面 ．平面 ，AC．P（Ⅱ）如图，以 为原点建立空间直角坐标系 ．Cxyz则 ．(0)(20)()B， ， ， ， ， ， ， ，设 ．Pt， ，，BA， ．2t(0)， ，取 中点 ，连结 ．PEC，， ，CBP， ．A是二面角 的平面角．B， ， ，(01)E， ， (01)， ， (21)E， ，．3cos6CBA二面角 的大小为 ．Parcos3（Ⅲ） ，ACB在平面 内的射影为正 的中心 ，且 的长为点 到平面 的距离．APB△ HCAPB如（Ⅱ）建立空间直角坐标系 ．Cxyz，2HE A C BPzxyHE 巨人高考网 第 8 页（共 11 页）点 的坐标为 ．H23， ，．C点 到平面 的距离为 ．APB2317． （共 13 分）解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加 岗位服务为事件 ，那么 ，AAE32451()0APC即甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率是 ．140（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 ，那么 ，4251()0A所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 ．9()1PE（Ⅲ）随机变量 可能取的值为 1，2．事件“ ”是指有两人同时参加 岗位服务，2则 ．2354()CAP所以 ， 的分布列是1()1 3P418． （共 13 分）解：24(1)()(1)xbxfA32()bx．3[1]() 巨人高考网 第 9 页（共 11 页）令 ，得 ．()0fx1b当 ，即 时， 的变化情况如下表：1b2()fx1)b， (1)b， ()，()fx0 当 ，即 时， 的变化情况如下表：1b2x(1)， ()b， 1()b，)f0 所以，当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，2b(x)， ()，在 上单调递减．(1)，当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递()fx1)， (1)b， (1)b，减．当 ，即 时， ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调1b22()fx()fx1)， ()，递减．19． （共 14 分）解：（Ⅰ）由题意得直线 的方程为 ．BD1y因为四边形 为菱形，所以 ．ACAC于是可设直线 的方程为 ．xn由 得 ．234xyn， 226340因为 在椭圆上，AC，所以 ，解得 ．216403n设 两点坐标分别为 ，， 12()xy， ， ，则 ， ， ， ．123nx2141xn2yxn 巨人高考网 http://gk。