复变函数幂级数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2 幂级数,第四章 解析函数的幂级数表示法,定,义,设复变函数列：,称为复变函数项级数.,称为（1）的部分和.,1.幂级数的概念,2.收敛定理,定理1(阿贝尔(Able)定理）,a,3.收敛圆与收敛半径,由,Able,定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：,(,i,)在复平面上处处收敛;,(,ii,)在复平面上除,z=a,外处处发散;,a,将收敛部分染成,红色,，,将发散部分染成,蓝色,，,红色,、蓝色,不会交错,幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，,在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析收敛圆,收敛圆周,收敛半径,?,(根值法),(比值法),4.收敛半径的求法,分析运算,定理4,-幂级数的逐项求导运算,-幂级数的逐项积分运算,5.幂级数的运算和性质,代数运算,-幂级数的加、减运算,-幂级数的乘法运算,注：幂级数在收敛圆内绝对收敛,满足加法的结合律、交换律及分配律,-幂级数的代换(复合)运算,幂级,数的代换运,算在函数展,成幂级数中,很有用,.,例3,分析：,代换,解,代换,展开,还原,3,解析函数的泰勒展式,通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。

现在我们来研究与此相反的问题，就是：,任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？,这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值.,Taylor,定理：设,f,(,z,)在区域,D,内解析，,a,D,，只要圆,K:,z-a,R,含于,D，,则,f,(,z,)在,K,内,能展为幂（,Taylor）,级数，,a,R,且展示是惟一的.,z,r,证明思路：,据柯西积分公式,?,将函数展开成泰勒级数的方法,例1：,求,f,(,z,),=,1,/,(1,-z,),在,z=i,处的,Taylor,展开解：,例2：,将,f,(,z,)=,e,z,在,z=,0展为,Taylor,级数解：,|,z,|+,根据泰勒展式的唯一性，因此通常用,间接展开法,，,即利用基本展开公式及幂级数的代数运算、代换、,逐项求导或逐项积分等将函数展开成幂级数，,基本展开公式如下：,例3：将,cosz,和,sinz,以,z=0,为中心展为,Taylor,级数解：,|,z,|+,注意：代数运算,交换律与结合律,级数的绝对收敛,|,z,|+,逐项求导,逐项求导法,1,代换,解：,逐项积分法,解：,代数运算,代换,交换律与结合律,级数的绝对收敛,绝对收敛级数的乘法（柯西乘积）,解：,将上面两式直接相乘即可。

解：利用,参照多项式的除法,解：,化成微分方程法,于是,对上逐次求导有,令 则,依次可得到,据直接法进而得到此函数的在0点的幂级数展开式,（即麦克劳林级数）,解：先计算展开系数,例,将,f,(,z,)=（1+,z,),m,在,z=,0展为,Taylor,级数易求其收敛半径为1，故,式中,在许多的单值分支中，n0那一支即 的那一个叫作 的,主值,上式也就是指数为非整数的,二项式定理,a,z,R,r,。