(习题解答)习题9-2常数项级数收敛性的判定.doc

习题 9-21.判断下列级数的敛散性.（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； 　　　　 （6）（）．解：（1）；措施一：（运用正项级数的比较鉴别法）由于，而调和级数发散，从而也发散；由正项级数的比较鉴别法，得级数发散措施二：（运用正项级数的比较鉴别法的极限形式）由于，而调和级数发散，则由正项级数的比较鉴别法的极限形式，得级数发散2）；措施一：（运用正项级数的比较鉴别法）由于，而级数收敛（级数的结论）；由正项级数的比较鉴别法，得级数收敛措施二：（运用正项级数的比较鉴别法的极限形式）由于，而级数收敛（级数的结论），则由正项级数的比较鉴别法的极限形式，得级数收敛3）；措施一：（运用正项级数的比较鉴别法）由于（），且调和级数发散；则由正项级数的比较鉴别法，得级数发散措施二：（运用正项级数的比较鉴别法的极限形式）由于，而，因此，即，又调和级数发散，则由正项级数的比较鉴别法的极限形式，得级数发散4）；措施一：（运用正项级数的比较鉴别法）由于，而级数收敛（级数的结论），由正项级数的比较鉴别法，得级数收敛措施二：（运用正项级数的比较鉴别法的极限形式）由于，而级数收敛（级数的结论），则由正项级数的比较鉴别法的极限形式，得级数收敛。

5）；由于，而调和级数发散，则由正项级数的比较鉴别法的极限形式，得级数发散注：本题中，级数的一般项要进行合适的缩小不易，因此采用正项级数的比较鉴别法做起来相对比较困难某些，而采用正项级数的比较鉴别法的极限形式相对容易某些6）（）．当时，，则由级数收敛的必要条件，得级数（）发散；当时，，则由级数收敛的必要条件，得级数（）发散；当时，，且级数是公比为（）的等比级数，是收敛的，则由正项级数的比较鉴别法的极限形式，得级数收敛综上，当时，级数发散；当时，级数收敛 2. 判断下列级数的敛散性.（1）； （2）； （3）（）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）（其中，均为正数）.解：（1）；措施一：（运用正项级数的比较鉴别法）由于，且收敛，由正项级数的比较鉴别法，得级数收敛措施二：（运用正项级数的比较鉴别法的极限形式）由于，且级数收敛，由正项级数的比较鉴别法的极限形式，得级数收敛2）；措施一：（运用正项级数的比较鉴别法的极限形式）由于，且等比级数收敛，由正项级数的比较鉴别法的极限形式，得级数收敛措施二：（运用正项级数的比值鉴别法）由于，由正项级数的比值鉴别法，得级数收敛。

3）（）；由于（），而，运用级数收敛性的结论，得当即时级数是发散的；当即时级数是收敛的；由正项级数的比较鉴别法的极限形式，得当时级数发散；当时级数收敛4）；由于，且级数收敛，由正项级数的比较鉴别法的极限形式，得级数收敛注：本题不能用正项级数的比值鉴别法5）；由于，则由正项级数的比值鉴别法，得级数发散6）；由于，则由正项级数的比值鉴别法，得级数收敛7）；由于，则由正项级数的比值鉴别法，得级数收敛8）；由于，则由正项级数的比值鉴别法，得级数收敛9）；由于，则由正项级数的根值鉴别法，得级数收敛10）；由于，则由正项级数的根值鉴别法，得级数收敛11）；由于，由正项级数的根值鉴别法，当即时级数收敛；当即时级数发散；当即时，级数也许收敛也也许发散3. 判断下列级数的敛散性.（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）； （9）．解：（1）；由于，则由正项级数的比值鉴别法，得级数收敛2）；由于，则由正项级数的比值鉴别法，得级数收敛3）；由于，则由正项级数的比值鉴别法，得级数收敛4）；由于，则由正项级数的比值鉴别法，得级数收敛5）；由于，则由正项级数的比值鉴别法，得级数收敛。

6） ；由于，则由正项级数的比值鉴别法，得级数收敛7）；由于，而调和级数发散，则由正项级数的比较鉴别法的极限形式，得级数发散8）；由于，因此，而调和级数发散，则由正项级数的比较鉴别法的极限形式，得级数发散9）；由于，此时由正项级数的比值鉴别法不能得到级数的敛散性但是由于数列是单调递增的，且，因此，从而，即，从而，此时，运用收敛级数的必要条件，可知级数是发散的4.判断下列级数与否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？（1）；（2）；（3）； （4）；（5）； （6）； （7）.解：（1）；由于发散（级数的结论），因此级数不绝对收敛；对交错级数，由于，且，则由莱布尼兹定理，得交错级数收敛；从而级数条件收敛2）；由于，而，且调和级数发散，则由正项级数的比较鉴别法，得级数发散，即级数不绝对收敛；对交错级数，由于，且，则由莱布尼兹定理，得交错级数收敛；从而级数条件收敛3）；对级数，由于，且级数收敛（级数的结论），则由正项级数的比较鉴别法，得级数收敛，即级数绝对收敛 （4）；由于，而，则由正项级数的根值鉴别法，得级数收敛，即级数绝对收敛5）；由于，而，且发散（级数的结论），则由正项级数的比较鉴别法，得级数发散，因此级数不绝对收敛；对交错级数，令，则，从而当时，即当时单调递减；故，又（由于，因此），则由莱布尼兹定理，得交错级数收敛，从而也收敛。

故级数条件收敛6）；由于，而，则由正项级数的比值鉴别法，得级数收敛，即级数绝对收敛7）；由于，而 ，又，因此，即，则由正项级数的比值鉴别法，得级数发散，此时，也即，故级数发散5.运用级数收敛的必要条件求极限：.解：对级数，由于，则由正项级数的比值鉴别法，得级数收敛由级数收敛的必要条件，得。