排序不等式学案.doc

选修4-5学案 §3.2.1排序不等式 姓名 ☆学习目标： 1. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题; 2. 体会运用经典不等式的一般思想方法☻知识情景：1. 一般形式的柯西不等式：设为大于1的自然数，(1,2,…,)， 则： . 当且仅当 时, 等号成立. (若时，约定，1,2,…,). 变式10. 设 则： . 当且仅当 时, 等号成立. 变式20. 设 则：. 当且仅当时,等号成立. 变式30. (积分形式)设与都在可积， 则， 当且仅当时,等号成立. 2. 探究 如图， 设，自点沿边依次取个点， 边依次取取个点，在边取某个点与边 某个点连接，得到，这样一一搭配，一共可得到 个三角形。

显然，不同的搭配方法，得到的 不同，问：边上的点与边上的点 如何搭配，才能使个三角形的 面积和最大（或最小）？？？ 设，由已知条件，得 因为的面积是 ，而 是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为 代数问题： 则 何时取最大（或最小）值？ 我们把叫做数组与的乱序和. 其中, 称为 序和. 称为 序和.这样的三个和大小关系如何? ☆ 新知建构： 1.检验操作: 填表:2.一般性证明: 任意一个排 列(有 个不同的排列). 所以, 的不同值也只 有有限个(个).其中必有最大值 和最小值. 考察, 10.若,则应有某,且,对换得 . . 说明将中第一项换为后, 和式变 . 20.若,则转而考察,并进行类似讨论.可证将式中第二项换为后,和式变 . 如此继续下去, 经有限步调整, 可知一切和数中, 最大和数只能是 . 且不难知道, 最小和数只能是 . 因此 . 30.容易发现, 当或时, ; 如果不全相等, 也不全相等. 则和 使,考察和数 ∵ ∴ . 定理(排序不等式, 又称排序原理):为两组数, 任意一个排列, 则 . 当且仅当或时, 等号成立.☆ 排序不等式的应用： 例1. 若a1，a2，…，an 为两两不等的正整数， 求证:. 例2 5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是 4分钟,8分钟,6分钟,10分钟,5分钟. 那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等 待的总时间最少？选修4-5练习 §3.2.1排序不等式 姓名 1、若，则下列代数式中值最大的是（ ） A． B． C． D． 2、对a,b,cÎR+, 比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小 3、 4、正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1/,a2/,…an/， 则有 5、设，，，…，为正数，求证：. 6、 : . 7、设, 用排序不等式求证: 8、 9、设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证： 10、设a,b,cÎR+,求证：。