中考数学复习滚动小专题六三角形的有关计算与证明试题.doc

中考数学复习滚动小专题六三角形的有关计算与证明试题1．(xx·齐齐哈尔)如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．解：(1)证明：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠FDB＝∠ADC＝∠BEC＝90°.∴∠C＋∠DAC＝∠C＋∠FBD＝90°，即∠DAC＝∠FBD.∴△ACD∽△BFD.(2)∵tan∠ABD＝1，∴AD＝BD.由(1)，得∠DAC＝∠FBD，∠FDB＝∠ADC＝90°，∴△ACD≌△BFD.∴BF＝AC＝3.2．(xx·滨州)如图，已知B，C，E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：(1)△ACE≌△BCD；(2)＝.证明：(1)∵△ABC与△CDE都为等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠ACE＝∠BCD.∴△ACE≌△BCD(SAS)．(2)∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC＝∠AEC.∵∠GCD＝∠FCE＝60°，∴△GCD≌△FCE(ASA)．∴CG＝CF.又∵∠GCF＝60°，∴△CFG为等边三角形．∴∠CGF＝∠ACB＝60°.∴GF∥CE.∴＝.3．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．解：(1) 证明：∵ AB∥FC，∴∠ADE＝∠CFE.又∵∠AED＝∠CEF，DE＝FE，∴△ADE≌△CFE(ASA)．(2)∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF.∵AB∥FC，∴∠GBD＝∠GCF，∠GDB＝∠GFC.∴△GBD∽△GCF.∴＝.又∵GB＝2，BC＝4，BD＝1，∴CF＝3＝AD.∴ AB＝AD＋BD＝3＋1＝4.4．如图，△ABC和△AED是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，点D，E在∠BAC的外部，连接DC，BE.(1)求证：BE＝CD；(2)若将△AED绕点A旋转，直线CD交直线AB于点G，交直线BE于点K.若AC＝8，GA＝2，试求GC·KG的值．解：(1)证明：∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAC＋∠BAD＝∠EAD＋∠BAD，即∠CAD＝∠BAE.∵AB＝AC，AE＝AD，∴△BAE≌△CAD(SAS)．∴BE＝CD.(2)①当点G段AB上时，∵△BAE≌△CAD ，∴∠ACD＝∠ABE.又∵∠CGA＝∠BGK，∴△CGA∽△BGK.∴＝.∴AG·GB＝KG·GC.∵AC＝8，∴AB＝8.∵GA＝2，∴GB＝6.∴GC·KG＝12；②当点G段AB延长线上时，如图．∵△BAE≌△CAD，∴∠ACD＝∠ABE.又∵∠BGK＝∠CGA，∴△CGA∽△BGK.∴＝.∴AG·GB＝KG·GC.∵AC＝8，∴AB＝8.∵GA＝2，∴GB＝10.∴GC·KG＝20.5．(xx·黄石)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝2α.(1)如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC；(2)如图2，在(1)的条件下，若α＝45°，求证：DE2＝BD2＋CE2；(3)如图3，若α＝45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2＝BD2＋CE2还能成立吗？请说明理由． 　图1　　　　　　图2　　　　　　　图3解：(1)证明：∵点D关于直线AE的对称点为F，∴∠EAF＝∠DAE，AD＝AF，又∵∠BAC＝2∠DAE，∴∠BAC＝∠DAF.∵AB＝AC，∴＝.∴△ADF∽△ABC.(2)证明：∵点D关于直线AE的对称点为F，∴EF＝DE，AF＝AD.∵α＝45°，∴∠BAD＝90°－∠CAD，∠CAF＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD.∴∠BAD＝∠CAF.在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF(SAS)．∴CF＝BD，∠ACF＝∠B.∵AB＝AC，∠BAC＝2α，α＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠B＝∠ACB＝45°.∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°.在Rt△CEF中，由勾股定理，得EF2＝CF2＋CE2，∴DE2＝BD2＋CE2.(3)DE2＝BD2＋CE2还能成立．理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF，CF.由轴对称的性质，得EF＝DE，AF＝AD，∵α＝45°，∴∠BAD＝90°－∠CAD，∠CAF＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD.∴∠BAD＝∠CAF.在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF(SAS)．∴CF＝BD，∠ACF＝∠B.∵AB＝AC，∠BAC＝2α，α＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠B＝∠ACB＝45°.∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°.在Rt△CEF中，由勾股定理，得EF2＝CF2＋CE2，∴DE2＝BD2＋CE2.。