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第七章第七章 总体参数估计总体参数估计Population Parameter Estimation 第一节第一节 总体均值与方差的点估计总体均值与方差的点估计 〔〔Point estimation of the population mean and variance〕〕一、点估计和区间估计一、点估计和区间估计         (point estimation and interval estimation)  1.点估计点估计   点点估估计计：：当当总总体体参参数数不不清清楚楚时时，，用用一一个个特特定定值值〔〔普普通通用用样样本本统统计计量量〕〕对对其其进进展展估计，称为点估计估计，称为点估计2．区间估计．区间估计    区区间间估估计计：：是是指指用用数数轴轴上上的的一一段段间间隔隔表表示未知参数能够落入的范围示未知参数能够落入的范围概括地说：     经常需求对总体进展估计的两个数字特征是：总体的均值和方差假设将总体的均值和方差视为数轴上的两个点，这种估计称为点估计假设要求估计总体的均值或方差将落在某一段数值区间，这种估计称为区间估计 二、用样本平均数、方差和规范差估二、用样本平均数、方差和规范差估计总体平均数、方差和规范差计总体平均数、方差和规范差    1. 用样本平均数估计总体平均数       样本平均数是总体均值的良好估计。

公式：2. 用样本方差估计总体方差用样本方差估计总体方差  同理，用样本规范差估计总体规范差3. 一个好的样本统计量估计总体参数的要求一个好的样本统计量估计总体参数的要求无偏性无偏性    是是指指假假设设用用多多个个样样本本的的统统计计量量作作为为总总体体参参数数的的估估计计值值时时，，有有的的偏偏大大，，有有的的偏偏小小，，而而偏偏向向的的平平均数为均数为0，这时，这个统计量就是无偏估计量这时，这个统计量就是无偏估计量 一致性一致性   是是指指当当样样本本容容量量无无限限增增大大时时，，估估计计值值应应能能越越来来越接近它所估计的总体参数越接近它所估计的总体参数    即即: 当当N时时, X, S2n-12n有效性n         是指当总体参数的无偏估计不止一个统计量时，无偏估计变异性小者有效性高，变异大者有效性低n充分性n           是指一个容量为n的样本统计量，能否充分地反映了全部n个数据所反映总体的信息，这就是充分性4．举例．举例 〔〔1〕一项关于赞同提高汽油税的调查〕一项关于赞同提高汽油税的调查      用用计计算算机机随随机机从从一一个个投投赞赞同同票票的的人人数数为为60%的的总总体体中中抽抽出出10个个样样本本，，每每个个样样本本容容量量为为500个个观观测测值值，，算算出出每每个个样样本本中中赞赞同同提提高高汽汽油油税税的的人人的百分比，其结果如下：的百分比，其结果如下：      58.0  57.8  61.0  59.4  55.8  63.2  59.0  60.6  57.4  58.6      〔〔2〕二战中德国人制造了多少辆坦克〕二战中德国人制造了多少辆坦克？？问题：           在第二次世界大战进展过程中，盟军缴获了一些德军的坦克，并记录了他们的消费编号。

怎样用这些号码来估计德军坦克的总数呢？ 处理问题的思绪：n设定总体参数和样本统计量n   在这个问题中，总体参数是未知的消费出的坦克总数N，而样本那么是缴获的坦克编号n对坦克总数的估计n   首先我们可以一定：制造出来的坦克总数一定大于等于记录中的最大编号 处理方法： 2种点估计方法：〔1〕求出被缴获的坦克编号的平均值，并把它作为全部编号的中点然后将样本均值乘以2就是总数的一个估计值     估计坦克总数N的公式：        N=全部编号的均值×2n前提条件：是先要假设缴获的坦克代表了一切坦克的一个随机样本 n缺陷：不能保证均值的2倍一定大于记录中的最大编号，故经常低估真值〔〔2〕〕 估计估计N的另一个点估计公式的另一个点估计公式n用观测到的最大编号乘以因子1＋1/n，其中n是被缴获的坦克个数n公式： n           N=〔1＋1/n〕×最大编号n  n  此种方法的前提是我们以为实践数略大于最大编号例如，缴获了10辆坦克，其中最大编号是50，那么坦克总数的估计值是：                       N=〔1＋1/n〕×50=55     第二节第二节 总体平均值的区间估计总体平均值的区间估计〔〔Interval estimation of the population mean〕〕一、根本概念一、根本概念总体均值的区间估计，置信度，置信区间：总体均值的区间估计，置信度，置信区间：日常用语表达：日常用语表达：        就是估计总体均值能够在什么范围之内。

就是估计总体均值能够在什么范围之内准确的数学言语表达：准确的数学言语表达：         总总体体均均值值的的区区间间估估计计就就是是确确定定总总体体均均值值将将以以特特定定概概率落入其间的数值界限率落入其间的数值界限          这这个个特特定定概概率率称称为为置置信信度度〔〔或或称称显显著著性性程程度度〕〕，，用用 表表示示，，这这个个数数值值界界限限称称为为置置信信界界限限，，置置信信界界限限上上下下限之间的区间，称为置信区间限之间的区间，称为置信区间二、总体方差二、总体方差 2知，对总体平均数的估计知，对总体平均数的估计1．计算公式．计算公式     假设一个随机变量假设一个随机变量Z服从规范正态分布服从规范正态分布( =0，， 2=1的正态分布的正态分布),    那么那么          P{-1.96

但是，做这种区间估计不能够保证完全无误，估计错误的概率大约为0.053．求解步骤．求解步骤〔1〕计算样本平均数和规范差〔2〕计算规范误       a．总体方差知〔查正态分布表〕       b．总体方差未知〔查t分布表〕〔3〕确定置信区间〔或显著性程度〕〔4〕根据样本平均数的分布，确定查何种统计表〔5〕确定并计算置信区间〔6〕解释总体均数的置信区间 4．课堂练习．课堂练习例，某弱智儿童学校的学生智力程度低于正常儿童，假设该校学生的智商分数服从正态分布，抽查10名学生的智力程度，测得智商如下:    85         70           90           81           72    75         80           82           76           79〔1〕试估计该校学生智商分数的平均值〔2〕假设知道该校学生智商分数的方差为25，试找出该校学生平均智商的置信区间二、总体方差二、总体方差 2未知时，对总体平均数的估计未知时，对总体平均数的估计1．求规范误．求规范误计算规范误的公式为：计算规范误的公式为：           样本样本n<30，查，查t分布表，原那么上，假设分布表，原那么上，假设n>30那么仍用正态分布。

那么仍用正态分布2．利用t分布估计总体平均值的置信区间的解题步骤   条件为：总体为正态分布，X～N(,2)，当总体方差2未知时，求总体平均值的置信区间步骤：〔1〕由样本容量为n的随机变量X的值X1，X2，X3，····，Xn求出X，S，自在度df=n-1；〔2〕求出SEx=S/n-1；〔3〕确定显著性程度，查t值分布表，找出临界值；〔4〕由于 P{ t }=0.95，        将公式t=〔X-)/SEx代入上式，得：        P{ 〔X-)/SEx  }=0.95   整理得：              P{X-·SEx    X+·SEx}=0.95   分别求出：             X-·Sn-1/  n和X+· Sn-1/  n〔5〕求出总体平均值的置信区间：            [X-·SEx ，X+·SEx]3．课堂练习．课堂练习例1：对某校学生的智商程度进展抽样测查，共丈量了20名学生，所得智商分数如下：90，92，94，95，97，98，99，101，101，102，103，104，105，105，106，110，115，120，88，85。

  问该校学生平均智商分数在什么范围内?   给出平均数和规范差：         X=Xi/n=100.5         S2n-1 =(Xi-X) 2/(n-1)=76 第三节第三节  2分布与总体方差的区间估计分布与总体方差的区间估计一、利用2分布估计总体方差2的置信区间 〔1〕样本方差知      知：2=〔n-1〕S2n-1/2，置信度为0.05    在横轴上设2个临界点1和2，使：        P{1 2 2}=0.95，   将上式代入，得：        P{1 (n-1)S2n-1 /2  2}=0.95   2边同除(n-1) S2n-1得：          1/(n-1) S2n-1  1/2  2/(n-1) S2n-1   得总体方差2的置信区间：         (n-1)S2/2  2  (n-1)S2/1  写成：          [(n-1)S2/2，(n-1)S2/1]        其中：1为2/2，2为21-/2           [(n-1)S2/2/2，(n-1)S2/21-/2]  〔〔2〕样本方差未知〕样本方差未知由于：〔n-1〕S2=〔Xi-X〕2     假设样本方差S2未知，那么用下式估计总体方差2的置信区间：              〔Xi-X〕2/2    2    〔Xi-X〕2/1        那么总体方差2的置信区间：            [〔Xi-X〕2/2，〔Xi-X〕2/1]  其中： 1= 21-/2 ， 2= 2/2二、课堂练习二、课堂练习 例：根据30名被试的视反响时的实验结果，计算出视反响时的方差为900毫秒，试估计当置信度为0.05时，总体方差的置信区间。

  第四节第四节 F分布与二总体方差之比的区间估计分布与二总体方差之比的区间估计一、利用一、利用F分布估计二总体方差之比的置信区间公式分布估计二总体方差之比的置信区间公式    由由F分分布布知知：：F=S2n1-1/S2n2-1，，服服从从F分分布布，，且且df1=n1-1，，df2=n2-1    又又知知样样本本方方差差S2是是总总体体方方差差的的无无偏偏估估计计，，其其之之比比S2n1-1/S2n2-1是是围围绕绕总总体体方方差差之之比比 12/ 22上上下下动摇，故二总体方差动摇，故二总体方差 12= 22  二个样本的总体方差相等的区间估计那么用下式：二个样本的总体方差相等的区间估计那么用下式：                     12/ 22=1   而不用而不用      12- 22=0 由于F分布不是对称分布，假设F分布右侧一端的概率为：            F=S2n1-1/S2n2-1，      那么另一侧的概率可用：            F’=1/F= S2n2-1/S2n1-11．12222．12=22二、课堂练习二、课堂练习例：8名男女生在某项心思实验中所得丈量结果的方差分别为1.12和4.98。

问男女生丈量值的总体方差能否相等样本统计量估计总体参数小结：1.点估计用样本平均数、方差和规范差估计总体平均数、方差和规范差公式：2. 区间估计〔〔1〕样本平均数对总体平均数的区间估计〕样本平均数对总体平均数的区间估计A总体方差总体方差 2知，对总体平均数的估计知，对总体平均数的估计       规范误：规范误： SEx= / n       Z值：值：      Z=〔〔X- 〕〕/SEx       求解总体平均值估计的公式：求解总体平均值估计的公式：       P{X-1.96 SEx< 

样本方差未知样本方差未知总体方差总体方差 2的置信区间：的置信区间：            [ 〔〔Xi-X〕〕2/2，， 〔〔Xi-X〕〕2/1]  其中：其中：           1=  21- /2 ，， 2=  2 /2〔〔3〕利用〕利用F分布估计二总体方差之比的置信区间分布估计二总体方差之比的置信区间A1222B12=22   小学生说：我的意思是这个值是11，但误差在2之间Gudmund R. Iversen说：            。